Задачи М241—М245; Ф253—Ф257

Квант 1974, №1 с. 41-43 Тег Y24F

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Наряду с относительной легким задачами здесь встречаются и также, которые нелегко решить и специализатам — математикам и физикам. Самые трудные задачи помещены звездочкой. Если не суммее быстро справиться с задачей,—не опускайте руки, попробуйте вернуться к ней еще раз — через день, через неделю. Если задача вас занитересовала, то не откладывайте ее даже после того как решение найдено,—подумайте, как наиболее рационально и убедительно записать решение, как можно обобщить задачу, уточнить или услиться ее результат, какие близкие задачи она позволяет исследовать.

Во второй части раздела «Задачник», Кванта“» мы помещаем решение задач (примерно через полгода после публикации условий) с учетом присланных читателями писем. По существу, решение каждой задачи — это небольшая заметка, и мы советуем позначить с ним и тем, кто не получал в процессе году «Кванта» или не решал задач. В нечетных номерах «Кванта» (№ 1, 3, …) мы приводим фамилии читателя, приславших нам правильные решения задач. Школьники, которые в течение года регулярно присылют интересные и полезные решения, получают право участвовать в области трех Всесоюзной олимпийды по математике или физике наравне с победителями районных олимпидов. Кроме того, для победителей нашего постоянного конкурса по решению задач редакции устанавливает несколько специальных премии (о них мы сообщим позднее).

Разумеется, не все наши задачи публикуются впервые. После формирования мы обычно указываем, кто предложил нам задачу. Придумать новую оригинальную задачу — сделать небольшое самостоятельное «открытие», пожалей, даже труднее, чем решить готовуючую. Если вам это удострача, пришите нам задачу вместе с решением. Напишите, как возникла у вас задача: встречали ли вы пожожие задачи или идеи решения, с какими общими явлениями или математическими теоремиами связан ваш новый результат. Наноблее красивые и интересные задачи мы опубликовем в «Задачнике» или других разделах «Кванта».

Наш адрес: 117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15, редакция журнала «Квант»

На конверте после адреса написите, решение каких задачи вы посылете (например: «задачник M242, M245» или «Ф257» или «новая задача по математике (по физике)»). Решения задачи по каждому предмету (по математике, и по физике), а также новые задачи по каждому предмету присылайте в отдельных конвертах. Формулировки новых задачи (как и любые другие материалы, предназначенные для публикации в журнале) нужно присылать в двух экземплярах. Мы получаем очень много писем от читателей и страемся отчевать всем нашим постоянным корреспондентам. Очень просим оформлять решения аккуратоно, чтобы облегчить работу редакции и консультантам раздела «Задачник», Кванта“». В начале письма обязательно написать свою фамилию, имя, отчество, домашний адрес, а также класс и школа, в которой вы учитель (и ваш «номер», если вы — ученик ВЗМШ). В письмо входите с написанным на нем вашим адресом (для ответа после проверки решения). Письма от читателей мы сможем учитывать только в том случае, если они будут написаны на русском языке и присланы не позже, чем через полтора месяца после выхода из печати соответствующего номера.

Крайний срок присылки ответов на задачи этого номера — 1 марта 1974 года.

Задание
M241—M245; Ф2 53—Ф257

M241. Докажите, что $3^{1974} + 5^{1974}$ делится на 13.
С. И. Мейзус

M242. Пусть $A_i H_i$ — высота и $A_i M_i$ — медиана, проведенные из вершины $A_i$ остроугольного треугольника $A_1 A_2 A_3$ ( $i = 1, 2, 3$ ). Докажите, что одно из трех произведений
$|H_1 M_1| \cdot |A_2 A_3|, |H_2 M_2| \cdot |A_3 A_1|, |H_3 M_3| \cdot |A_1 A_2|$
равно сумме двух других $^*$ ). Верно ли это утверждение для прямогоугольного и тупоугольного треугольника?
С. Сальников, ученик 10 класса (2. Мары)

M243. $n$ отрезков $A_1 B_1, A_2 B_2, \dots, A_n B_n$ (рис. 1) расположены на плоскости
$^*$ ) Через $|KL|$ обозначается длина отрезка с концами $K$ и $L$ .

M244. Данны два набора из $n$ вещественных чисел:
$a_1, a_2, \dots, a_n$ и $b_1, b_2, \dots, b_n$ . Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
a) из $a_i < a_j$ следует, что $b_i \leq b_j$ ;
b) $^*$ из $a_i < a < a_j$ , где $a = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$ , следует, что $b_i \leq b_j$ ;
то верно неравенство
$n (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n) \geq \geq (a_1 + a_2 + \dots + a_n) (b_1 + b_2 + \dots + b_n)$ .
A. Грицорян, ученик 10 класса (Баку)

M245. Предлагается построить $N$ точек на плоскости так, чтобы все попарные расстояния между ними равнялись заранее заданным числом:
для каждой двух точек $M_i, M_j$ известно, чем должно равняться расстояние $|M_i M_j| = r_{ij}$ ( $i$ и $j$ — любые числа от 1 до $N$ ).
a) Можно ли произвести построение, если расстояния $r_{ij}$ заданы так, что всякие $N$ точки построить можно?
b) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всекие $N$ точки?
b) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее $K$ , для которого возможно построение любых $K$ из данных $N$ точки обеспечивает построение и всех $N$ точки?

M. Л. Гервер

Рис. 2.

Ф253. Шар, изготовленный из твердого диэлектрика, помещили в однородное электрическое поле с напряженной E. При этом диэлектрик оказывается полностью поляризованным. Воспользовавшись принципом суперпозицини, найти напряжность электрического поля в центре шара и в точках на расстоянии r от центра шара (r меньше радиуса шара).

Молекули диэлектрика можно представить как гантельки длины l с зарядами +q и —q на концах. Число молекул в единице объема равно n.

Ф254. Tonкостенная трубка рутного барометра открытом концом опирается на дно чашки со рутью. Закрытый конец удерживает вертикальный нитью, так что трубка составляет угол α с вертикально, (рис. 2). Длина трубки l, масса m, плотность рутииρ, атмосферное давление h mm pm. cm. Найти силу натяжения нити. Размером погруженной в руть части трубки пренебречь. Площадь секения трубки S.

Ф255. При фотографировании Луны с Земли фотоаппаратом, объектив у которого имеет фокусное расстояние F, на фотопластике получено размещение изображение Луны в виде диска радиуса R. Затем с помощью того же аппарата получают резкое изображение Луны. Она имеет радиус R1. На какое расстояние сметли при втором фотографировании Луны объективное фотоаппарата относительно фотопластики?

Диаметр объекта D. (Дифракцию не учитывать.)

Ф256. В центр квадратной свободно подвешенной dockи попадает пуля. Если скорость пуля v > v0, то она пробивает dockу насковозь. С какой скоростью будет движаться dockа, если скорость пуля будет равна 2 v0? nv0? При какой скорости пуля скорость dockи будет максимальной?

Масса пуля m, масса dockи M, сопротивление считать независим от скорости.

Задана из стимы Л. Эйлера «Об ударе пуль при стрелле по dockе», 1770 г.

Рис. 3.

Ф257. В схеме, изображенной на рисунке 3, вначале все ключи разомкнуты. Конденсаторы C1 и C2 разряжены. Э. д. с. батарей E. Затем ключи K1 и K3 замыкают и через некоторое время их размыкают. После этого замыкают ключи K2. Какая разность потенциальов установится на конденсаторе C1 после замыкания ключа K2?