Свойства паров, испарение и кипение жидкостей

60

Свойства паров, испарение и кипение жидкости

Уравнение состояния пара

В обычных условиях плотность паров невылика, и взаимодействием между молекулами пара можно пренебречь. Такие пары, так же как идеальный газ, описывают уравнение Менделеева — Клапейрона:

$$pV = \frac{m}{\mu}RT,$$

где $p$, $V$ и $T$ — соответственно давление, объем и температура пара, $m$ — его масса, $\mu$ — молекулярная масса, $R$ — универсальная газовая постоянная $^*$).

Задача 1. Наименование плотности насыщенного водяного пара и воды при $t = 100^\circ$ С. Давление насыщенного пара воды при эмульгературе $p_H = 10^5 \text{ h/m}^2$.

Плотность пара $\rho = m/V$, где $m$ — масса, $V$ — объем пара. Из уравнения Менделеева—Клапейрона имеем

$$\rho = \frac{p_H \mu}{RT} = \frac{10^5 \cdot 18}{8,3 \cdot 10^3 \cdot 373} = 0,57(\text{кг/м}^3)$$

Отношение этой плотности к плотности воды $p_B = 10^3 \text{ кг/м}^3$ очень малое:

$$\frac{\rho}{\rho_B} = 5,7 \cdot 10^{-4}.$$

Пользуясь уравнению Менделеева — Клапейрона при решении задач на свойство паров, следует помнить, что масса пара $m$, находящаяся в закрытом сосуде, может менять при изменении параметров $p$, $V$ и $T$. Масса пара уменьшается в результате его конденсции и, наоборот, увеличивается при испарении жидкости в сосуде. Например, при изготовлении скатин пар при некотором объеме $V_0$ становится насыщенным; при дальнейшем уменьшении объема $V$ масса пара $m$ также уменьшается пропорционально объему, так что давление пара $p_0 = \frac{RT}{\mu} \frac{m}{V}$ остается постоянным (см. рис. 1, а и б).

Задача 2. В откранный сосуде объемом $V = 5 \cdot 10^{-3} \text{ m}^3$ наливают $m_B = 10^{-3} \text{ kg воды}.$ Определить давление паров в сосуде при температуре $t_1 = 20^\circ$ С. Каким станем это давление, если:

a) уравнение температуры do $t_2 = 100^\circ$ С;

b) содержимость сосуд с другой откранным сосудом можно же объема и той же температуры (рис. 2).

Давление насыщенных водяных паров при температуре $20^\circ$ С равно $2,3 \cdot 10^3 \text{ h/m}^2$, а при $100^\circ$ С — $10^5 \text{ h/m}^2$.

Прежде всего найдем, какое минимальное количество воды необходимо для насыщения объема $V$. Из уравнения Менделеева—Клапейрона имеем

$$m = \frac{p_H V \mu}{RT},$$

где $p_H$ — давление насыщенного пара. Соответственно для температуры $T_1 = 293^\circ$ К и $T_2 = 373^\circ$ К получаем

61

$$m_1 = 9 \cdot 10^{-5} \text{ ке} \text{ и } m_2 = 3 \cdot 10^{-3} \text{ ке}.$$
Масса налитои воды $m_B = 10^{-3} \text{ ке} \text{ менышше, чем } m_2$, но больше, чем $m_1$.
Поэтому при температуре $t_1 = 20^\circ \text{ C}$ пар в сосуде будет насыщенным, и его давление
$$p_1 = 2,3 \cdot 10^3 \text{ н/м}^2.$$
Давление ненасыщенного пара при температуре $t_2 = 100^\circ \text{ C}$ находится по его массе из уравнения Менделеева—Клапейрона:
$$p_2 = \frac{m_B R T_2}{\mu V} = \frac{10^{-3} \cdot 8,3 \cdot 10^3 \cdot 373}{18 \cdot 5 \cdot 10^{-3}} = 3,4 \cdot 10^4 (\text{н/м}^2).$$
При подсоединении второго сосуда объем, занимаемый паром, увеличится вдвое. Следовательно, вдвое увеличится и минимальная масса воды, необходимой для насыщения этого объема. Однако она по-прежнему меньше массы налитои воды. Поэтому пар будет насыщенным, и его давление
$$p_3 = 2,3 \cdot 10^3 \text{ н/м}^2.$$
Заметим, что при решении задачи не учитывался объем, занимаемый водой в сосуде. Это можно делать, так как объем воды мал по сравнению с объемом сосуда.

Влажность воздуха
Наличие в воздуха водяных паров можно описать количественно с помощью двух характеристик — абсолотной и относительной влажности воздуха.
Абсолотной влажностью воздуха, как известно, называют плотностью водяных паров $\rho = m/V$, а относительной влажность — выраженное в процентах относение плотности водяного пара к плотности насыщенного пара при той же температуре, то есть $f = \frac{\rho}{\rho_H} \cdot 100\%$. Относительно влажность воздуха можно также определить как относение давления воды пара к давлению насыщенного пара при той же температуре. Действительно, при постоянной температуре плотность пара пропорциональна

62

$$f_2 = \frac{\rho_2}{\rho_1} \cdot 100\% = \frac{3,4 \cdot 10^4}{10^5} \cdot 100\% = 34\%.$$

При изменении температуры, даже при постоянной абсолотной влажности, относительной влажность меняется. Так, по мере охлаждения влажного воздуха при некоторой температуре $T_p$ его относительная влажность достигает 100%, а пар, содержащийся в воздуха, становится насыщенным. При дальнейшем охлаждения пар будет конденсировать. Температура $T_p$ называется точкой росы (при этой температуре выпадает роса).

Задача 3. При какой максимальной относительной влажности воздуха $f_0$ в комнате бумажка молока, выпуманая из холодильника, не будем заполнять? Температура в холодильнике $t_1 = 5^\circ\text{C}$, а в комнате $t_2 = 25^\circ\text{C}$. Давление насыщенныхаров воды при $5^\circ\text{C}$ $p_1 = 866\text{ h/m}^2$, а при $25^\circ\text{C}$ $p_2 = 3192\text{ h/m}^2$.

Возле бутылки температура влажного воздуха становится равной $t_1 = 5^\circ\text{C}$. Бутылка не заполняется, если относительная влажность воздуха при этой температуре не превышает 100%:

$$f = \frac{\rho}{\rho_1} \cdot 100\% \leq 100\%$$

где $\rho_1 = \frac{\rho_1\mu}{RT_1}$ — плотность насыщенного водыного пара при $T_1 = 278^\circ\text{K}$, $\rho$ — абсолотная влажность воздуха в комнате, не зависящая от температуры. Поэтому максимальная абсолотная влажность воздуха, при которой бутылка еще не заполняется, $\rho_0 = \rho_1 = \frac{\rho_1\mu}{RT_1}$. Соответствующая относительная влажность воздуха при температуре $T_2 = 298^\circ\text{K}$ будет:

$$f_0 = \frac{\rho_0}{\rho_2} \cdot 100\% = \frac{\rho_1 T_2}{\rho_2 T_1} \cdot 100\% = \frac{866 \cdot 298}{3192 \cdot 278} \cdot 100\% \approx 30\%$$

Задача 4. Кондцционер пропускает комнату ежесекундно

63

Задча 5. В комнате объемом $V = 50 \text{ m}^3$ влажность воздуха $f = 60\%$ при температуре $t = 20^\circ\text{C}$ и давлении $p = 10^5 \text{ h/m}^2$. Чему равна масса $m$ влажного воздуха в комнате? Как изменится эта масса при увеличении влажности на $\Delta f = 10\%$ при изменении температуре и давления? Изменится ли при этом общее число молекул влажного воздуха в комнате? Давление насыщенного пара при $t = 20^\circ\text{C}$ $p_H = 2,3 \cdot 10^3 \text{ h/m}^2$.

Масса влажного воздуха $m$ складывается из массы сухого воздуха $m_1$ и массы водяного пара $m_2$:

$$m = m_1 + m_2.$$

Из уравнения Менделеева—Клапейрона

$$m_1 = \frac{p_1V\mu_1}{RT} \quad \text{и} \quad m_2 = \frac{p_2V\mu_2}{RT},$$

где $\mu_1 = 29 \text{ ке/кмоль}$ и $\mu_2 = 18 \text{ ке/кмоль}$ — молекулярные массы воздуха и водяного пара, $p_1$ и $p_2$ — соответствуют парциальные давления. По условию задачи $p_2 = \frac{f}{100\%} p_H$, а согласно закону Дальтона $p_1 = p - p_2 = p - \frac{f}{100\%} p_H$.

Тогда окончательно получим

$$m = m_1 + m_2 = \frac{V}{RT} \left[ p\mu_1 - \right.$$

$$- \frac{f}{100\%} p_H \left( \mu_1 - \mu_2 \right] = \frac{50}{8,3 \cdot 10^3 \cdot 293} \times$$

$$\left[ 10^5 \cdot 29 - \frac{60}{100} \cdot 2,3 \cdot 10^3 \left(29 - 18\right) \right] = 58 \left(\kappa e\right).$$

Как видно из последней формулы, при увеличении влажности $f$ при неизменных $p$ и $T$ масса влажного воздуха в комнате $m$ умешается $(\mu_1 - \mu_2 > 0)$. Изменение массы при увеличении влажности на $\Delta f$ будет равно

$$\Delta m = \frac{p_HV}{RT} \left( \mu_1 - \mu_2 \right) \frac{\Delta f}{100\%} =$$

$$= \frac{2,3 \cdot 10^3 \cdot 50}{8,3 \cdot 10^3 \cdot 293} \left(29 - 18\right) \frac{10}{100} = 0,05 \left(\kappa e\right).$$

Уменьшение массы влажного воздуха в комнате при увеличении влажности можно понять с помощью закона Авогадро: в одинаковых объемах при одинаковых давлениях и температуре содержится одинаковое число молекул любого газа. При увеличении влажности воздуха в комнате не меняется, а происходит лишь заменение части молекул воздуха на молекулы воды (см. рис. 3): увеличивается число молекул водыного пара и умешается число молекул сухого воздуха. Так как $\mu_2 < \mu_1$, масса влажного воздуха умешается.

Теплота парообразования. Кипение

Превращение жидкости в пар, как известно, требует подвода энергии. Колчество теплоты, которое необходимо подвести для того, чтобы испарить единицу массы жидкости при измененной температуре (изотермический) и внешнем давлении, равном давлению ее насыщенных паров, называется удельной теплой парообразования. Можно также сказать, что удельная теплота парообразования $L$ — это количество теплоты, которое надо затрапить, чтобы перевести в пар единицу массы жидкости при ее кипении. Частой энергии идет на увеличение потенциальной энергии молекул (на работу

64

против сил молекулярного прияжения), а часть — на работу по распределению против сил внешнего давления (так как удельный объем *) пара больше удельного объема жидкости).

Задача 6. Определить, какая часть удельной температуры парообразования воды идем на увеличение внутренней энергии системы при $T = 373^\circ\text{K}$. $L = 2,3 \cdot 10^6$ дж/кг.

Из закона сохранения энергии имеем

$$L = \Delta w + A,$$

где $\Delta w$ — изменение внутренней энергии при испарении 1 ккалокости, $A$ — работа по распределению. Так как распределение проискит изобарическая, то

$$A = p_H (v_H - v_0),$$

где $v_H = \frac{RT}{p_H \mu}$ — удельный объем насыщенного пара, а $v_0$ — удельный объем воды, который по сравнению с $v_H$ можно пренебречь (см. задачу 1). Таким образом

$$\frac{\Delta w}{L} = \frac{L - A}{L} = 1 - \frac{RT}{\mu L} = 1 - \frac{8,3 \cdot 10^3 \cdot 373}{18 \cdot 2 \cdot 10^6} \approx 0,9.$$

To есть на предоление сил взаимодействия молекул при испарении воды при $373^\circ\text{K}$ трапится 90% подводимой теплоты.

*) Напомним, что удельный объем — это величины, обратная плотности, то есть объем единичной массы вещества.

Задача 7. В дилином цилиндрическом сосуда с несесомим поршнем площадью $S = 0,01$ м² находится $m_B = 0,01$ ке воды при температуре $T_0 = 273^\circ\text{K}$. Поршень плотно прилегает к стенкам сосуда, но ходит без претеня и в начальной моментах находится у поверхности воды (рис. 4, а). Воду нареваются, причем моцность наревается $N = 1$ ккм постояна, а меньшимводом через стенки сосуда и поршень можно пренебречь. Нарисуйте график зависимости высоты поднятия поршня $h$ от времени $t$. Атмосферное давление $p_0 = 10^5$ н/м².

Пока давление насыщенных паров воды не станет равным нормальному атмосферному давлению (это произойдет при температуре $T_1 = 373^\circ\text{K}$), поршень будет находиться у поверхности воды, поднимаясь только за счет ее теплового распределения. Время работы наревается $t_1$, необходимое для нарева воды до температуры $T_1$, легко находится:

$$t_1 = \frac{cm_B (T_1 - T_0)}{N} = \frac{4 \cdot 10^3 \cdot 0,01 \cdot 100}{10^3} = 4 \text{ (с)}$$

(здесь $c = 4 \cdot 10^3 \text{ дж/кг} \cdot \text{эрад}$ — удельная темперакость воды). Соответствующей участок на графике (см. рис. 5) изображен прямой без наклона:

$$h = 0 \text{ при } 0 < t < t_1,$$

так как коэффициент теплового распределения воды пренебрежимо мал.

65

При температуре $T_1 = 373^\circ$ К давление насыщенного пара становится равным внешнему давлению, и поршень начинает подниматься над поверхностью воды (см. рис. 4, 6) (под поршнем образуется насыщенный водной пар). Так как мощность нагревателя постоянна, масса пара $m = \frac{N(t-t_1)}{L}$ (где $L = 2,3 \cdot 10^6 \partial x/\partial z$ – удельная теплота парообразования воды) пропорциональна времени работы нагревателя после достижения температуры $T_1$. Из уравнения Менделеева-Клапейрона объем пара $V = \frac{R T_1 m}{p_0 \mu} = \frac{R T_1 N}{p_0 \mu L}(t-t_1)$ тоже пропорционален этому времени (поскольку $T_1$ и $p_0$ постоянны). Для высоты поднятия поршня $h$ окончательно имеем

$$h = \frac{V}{S} = \frac{R T_1 N}{p_0 \mu L}(t-t_1)$$ при $t_1 < t < t_2$,

где $t_2 = t_1 + \frac{m_B L}{N} = 4 + \frac{0,01 \cdot 2,3 \cdot 10^6}{10^3} = 27(c)$

— момент времени, когда все вода в сосуда испарится. На графике этот участок изображен прямой с углом наклона $\alpha$, причем

$$tg \alpha = \frac{R T_1 N}{p_0 \mu LS} = \frac{8,3 \cdot 10^3 \cdot 373 \cdot 10^3}{10^5 \cdot 18 \cdot 2 \cdot 10^6 \cdot 0,01} \approx 0,08 (m/c).$$

После этого температура пара будет расти, и он перестанет быть насыщенным. Изменение температуры пара происходит по закону: $\Delta T = \frac{N(t-t_2)}{c_p m}$, где $c_p = 2 \cdot 10^3 \frac{\partial x/\partial z}{\kappa \cdot \varepsilon \rho \alpha} -$ удельная тепломкость водыного пара при изобарическом нагревании. Соответствующие изменения объема нахождения из уравнения Менделеева—

$$Kлапейрона: \Delta V = \frac{m R \Delta T}{\mu p_0} = \frac{NR(t-t_2)}{mc_p p_0}.$$

Для высоты поднятия поршня имеем

$$h = h_1 + \frac{NR}{\mu c_p p_0 S}(t-t_2)$$ при $t > t_2$,

где $h_1 = \frac{m_p RT_1}{\mu p_0 S} = \frac{0,01 \cdot 8,3 \cdot 10^3 \cdot 373}{18 \cdot 10^5 \cdot 0,01} \approx 1,7 (m)$ – высота поднятия поршня в момент окончания испарения воды. На графике этот участок изображен прямой с углом наклона $\beta$, причем

$$tg \beta = \frac{NR}{\mu c_p p_0 S} = \frac{10^3 \cdot 8,3 \cdot 10^3}{18 \cdot 2 \cdot 10^3 \cdot 10^5 \cdot 0,01} \approx 0,2 (m/c).$$

При решении последней задачи встает вопрос: будет ли кипеть вода в сосуда при $T_1 = 373^\circ$ К? Как извесно, для кипения необходимо, чтобы пузырыки газа на дне сосуда начали растить за счет испарения жидкости внутри их. Строгого говоря, это происходит, когда давление насыщенного пара несколько превозходит внешнее атмосферное давление, а именно, на сумму величин избыточного давления

$$p_1 = \frac{2 \sigma}{r},$$ где $\sigma$ – коэффициент поверхностиного натяжения жидкости, а $r$ – радиус пузырыка, и гидростатическая давления $p_2 = \rho g h$, где $\rho$ – плотность, а $h$ – высота жидкости в сосуда. Поэтому кипение жидкости при нормальном внешнем давлении начинается при несколько более высоком температуре, чем $373^\circ$ К$^*$), и в рассматриваемой задаче жидкость не будет. Obviously, правила, заменного перегрева жидкости не происходит, так как дополнительное давление малое по сравнению с внешним давлением. Для того чтобы перегреть жидкость, ее и стенки сосуда необходимо тщательно очистить от газов.

Задание 8. Определить наиболее допустимый пузырыковый воздуша, при котором происходит водный перегрев воды на $0,1^\circ$. Норм

*) В таком случае говорят, что жидкость перегрета.

66

malное атомосферное давление $p_0 = 10^5 \text{ h/m}^2$. Коэффициент поверхностного натяжения воды при $T = 373^\circ \text{ K}$ $\sigma = 0,06 \text{ h/m}$, а изменение давления насыщенного пара воды вызuisцит $T = 373^\circ \text{ K}$ можно считать пропорциональным изменению температуры с коэффициентом пропорциональности $k = 3 \cdot 10^3 \text{ h/m}^2 \cdot \text{эрад}$.

При перегреве на величины $\Delta T = T_1 - T = 0,1^\circ$ давление насыщенного пара увеличается на $\Delta p = k \Delta T = 3 \cdot 10^2 \text{ h/m}^2$. Приравнивая $\Delta p$ избыточному давлению $\frac{2\sigma}{r}$ получаем, что радиус пузырька

$$r = \frac{2\sigma}{\Delta p} = \frac{2 \cdot 0,06}{3 \cdot 10^2} = 4 \cdot 10^{-4} (\text{m}).$$

Оцените самостояльно влияние единростатического давления на температуркупения.

Уражнения

1. В широкке сообщающееся сосуда налита вода при температуре $T = 293^\circ \text{ K}$. Один из сосудов плотно закрывают. Определить разность уровней воды в сосудах, если давление насыщенного пара при этой температуре $p = 2 \cdot 10^3 \text{ h/m}^2$. Давлением паров воды в открытом сосуде можно пребежать.

2. Тяжелая кастрюля, перевернутая вверх дом, плавает в воде. При температуре воды $T_1 = 293^\circ \text{ K}$ воздух занимает всего 1/15 часть объема кастрюли, а при нагреве воды до $T_2 = 373^\circ \text{ K}$ заполняет 2/3 ее объема. Определить массу кастрюли $m$, считая ее тонкостенным цилиндром с площадью дна $S = 10^{-2} \text{ m}^2$. Атмосферное давление $p_0 = 10^5 \text{ h/m}^2$. Давлением насыщенных паров воды при начальной температуре пребрежчь. Температуру воздуха в кастрюле считать равной температуре воды.

3. В широком сосуде находится $m = 0,5 \text{ kg}$ воды при температуре $T = 273^\circ \text{ K}$. Воздух из сосуда быстро откачал. При этом часть воды замерзла вследствие интенсивного испарения. Определить массу замерзшей воды, считая, что система телопозирована. Удельная теплота парообразования воды $L = 2,3 \cdot 10^6 \text{ дж/кг}$, а удельная теплота плавления льда $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \text{ дж/кг}$.

4. Под стеклянный колпак помещили два сосуда с водой. Уровни воды в сосудах разные. Объясните, как будет меняться высота уровней со временем.

5. Объясните, почему сырая вода закипает быстрее, чем кипяченая. Закипит ли сырая вода в кастрюле, плавающей в кипящей кипяченой воде?