Список читателей, приславших правильные решения

48

Точека $A$ лежит внутри окружности $BCD$ (поскольку $A > B + D - C$). Поэтому $NKP = NAP = DAC > DBC = PBL = PKL$, поэтому bicсектирая угла $NKL$ лежит внутри угла $NKP$. Тоно так же bicсектирая угла $MNK$ лежит внутри угла $PNK$. Следовательно, точека пересечения этих bicсектиrics расположена внутри четырехугольника $AKPN$. Остальное ясно (то, что если $ABCD$ вписанный, то $O$ совпадает с точкой $P$ пересечения диагоналей, уже доказано в прямой теореме).

Подумайте, как изменить обратные теоремы 2 и 3, чтобы учеть случай, когда четырехугольник $KLMN$ невыпуклый.

Решению задачи M204 посвязывана отдельная заметка на с. 35—40.

Большинство чистателей, приславших нам в 1972 году решения задач «Задачника», мы направили ответы, в которых указано, какие задачи решены, где допущены ошибки. В этом номере мы приводим список тех, кто прислал в редакцию верные решения задач M200 — M205. Задача M200 верно решалась целым рядом школьников, но во всех работах были приведены недостаточно полные и четкие доказательства. Правильные решения остальных задач прислали (жирная цифра после фамилии — последняя цифра номера решенной задачи): $\Pi$. Аеаронов (Баку) 2; $C$. Аеев (Воронеж) 2; $C$. Акмерще (Магнитогорск) 4; $\Pi$. Баньковский (Уральск) 2; $A$. Бараов (с. Старый Урух КБАССР) 4; $A$. Берлин (Бобруйск) 1, 2; $A$. Блох (Харьков) 1, 2, 4; $A$. Валовой (Москва) 2; $A$. Вальков (Ташкент) 2; $A$. Векслер (Ташкент) 2; $A$. Войновский (Баку) 2; $B$. Гаврин (Ковыкно Морд. АССР) 1; $A$. Грицерян (Баку) 2, 4, 5; $K$. Данильченко (Волгоград) 2; $\Pi$. Дедик (Москва) 2; $A$. Еременко (Харьков) 1, 2; $A$. Журавлев (Москва) 2; $B$. Зарубин (п. Летний Отдых Московской области) 2; $H$. Кирова (Болгария) 1; $M$. Кобозев (Киев) 2; $A$. Колодин (Коломья Ивано-Франковской области) 1; $C$. Коршунов (Монино Московской области) 2; $A$. Команов (п. Цалка ГССР) 1; $A$. Кукуш (Киев) 1, 2; $P$. Купец (Польша) 2; $A$. Курляндчик (Ленинград) 2, 4; $M$. Левин (Витебск) 2; $E$. Мазур (Дербент) 1; $A$. Макарцев (Львов) 1, 2; $C$. Малинский (Полтава) 2; $C$. Мельник (Харьков) 1; $A$. Мехович (Владивосток) 1; $B$. Мильман (Минск) 1, 2; $B$. Надов (Харьков) 2, 3; $A$. Народничкий (Рига) 3; $Ю. Неремин (Москва) 1, 2;$A$. Николаев (Москва) 1, 2;$C$. Нужный (Куйбышев) 2;$B$. Паньков (Минск) 1, 2;$П. Парамонов (Москва) 2, 3; $E. Пасик (Харьков) 2;$A. Резников (Киев) 1, 2; $B. Рыжик (Ленинград) 2;$A. Рязанов (Новокузнецк) 1; $Г. Скляр (Харьков) 2—5;$A. Слесяренко (Рубцовск Алтайского края) 2; $A. Сликин (Москва) 2;$П. Сухов (Саратов) 2; $A. Сыровежкин (с. Гуляй-Борисовка Ростовской обл.) 2;$C. Табачников (Москва) 2, 4; $A. Ткаи (Каменец-Подольский) 2;$Э. Туркевич (Черновцы) 2, 3, 5; $A. Тяпин (Москва) 1;$C. Фомин (Ленинград) 2; $M. Хорошин (Чернигов) 2;$И. Цукерман (Ленинград) 2; $H. Шербина (Диепропетровск) 1, 2, 4;$И. Юнусов (Харьков) 2, 5; $Б. Юсин (Москва) 2$.

Ф211. С идеальным одноапомним газом проводим замкнутый процесс (цикл), показанный на рисунке 1.1. В моче $C$ газ имел объем $V_C$ и давление $p_C$, а в моче $B$ — объем $V_B = \frac{1}{2} V_C$ и давление $p_B = 2p_C$. Найдите $k$. $n$. $d$. эмодо цикла и сравните его с максимальным теоретическим $k$. $n$. $d$. цикла, $y$ котором температуры нарезаемы и холодильника равны соответствующим максимальным и минимальным температурам расстампиваемого цикла.

По определению к. п. д. цикла равен $\eta = \frac{A}{Q_1}$, где $A$ — работа, совершаемая за цикл, а $Q_1$ — количество теплоты, полученной газом извне. Работа, совершаемая за цикл, численно равна площади, ограниченной контуром цикла на диаграмме $(p, V)$. В данном случае это площадь треугольника $ABC$ (рис. 11):

$$A = \frac{1}{2} (p_B - p_C)(V_C - V_B) = \frac{1}{4} p_C V_C.$$

Теперь найдем количество теплоты, полученной газом при нагревании. Согласно первому закону термодинамики

$$Q = \Delta U + A,$$

где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа, $A$ — совершенная газовая работа. Если $Q > 0$, то газ получает теплоту, если $Q < 0$ — он отдает ее. Внутренняя энергия

50

При дальнейшем расширении (на участке $KC$) газ отделен теплоту.

Таким образом, количество теплоты, полученной газом за цикл, равно

$$Q_1 = Q'_1 + Q''_1 = \frac{3}{4} p_C V_C + \frac{49}{64} p_C V_C = \frac{97}{64} p_C V_C.$$

Теперь можно найти к. п. д. цикла:

$$\eta = \frac{\frac{1}{4} p_C V_C}{\frac{97}{64} p_C V_C} \approx 0.165, \eta = 16.5\%.$$

Максимальный же теоретический к. п. д. цикла равен

$$\eta_{\max} = \frac{T_1 - T_2}{T_1},$$

где $T_1$ — максимальная, а $T_2$ — минимальная температура газа.

Из рисунка 12 видно, что температура газа минимальная в точке $A$, то есть

$$T_2 = T_A = \frac{\mu p_A V_A}{mR} = \frac{\mu p_C V_C}{2mR}.$$

Состояние газа, в котором его температура максимальная, соответствует точке $M$ на отрезке $BC$, в котором изотерма касается отрезка $BC$. Из симметрики графика цикла следует, что эта точка находится на середине отрезка $BC$, так что $V_M = \frac{3}{4} V_C^*$.

При этом $pV = (pV)_{\max} = \frac{9}{8} p_C V_C$. Температура газа в точке $M$ равна

$$T_1 = \frac{9\mu}{8mR} p_C V_C.$$

Подставив найденные выражения для $T_1$

*) Это можно показать непосредственно, рассмотрев, при каком значении произведение $pV = \left( 3p_C - 2\frac{p_C}{V_C} V \right) V$ для точек, лежащих на $BC$, максимальное. Для тех, кто знаком с дифференцированным, ясно, что в точке $M$ произвольная функция $T(V) = \frac{\mu}{mR} \left( 3p_C - 2\frac{p_C}{V_C} V \right) V$ равна нулю, то есть

$$\left( \frac{dT(V)}{dV} = \frac{\mu}{mR} 3p_C - 4\frac{p_C}{V_C} V \right) = 0.$$

Отсюда $V_M = \frac{3}{4} V_C$.

51

и $T_2$ в формулу для $\eta_{\max}$, найдем
$$\eta_{\max} = 0.556 = 55.6\%.$$
Сравним $\eta$ и $\eta_{\max}$:
$$\frac{\eta_{\max}}{\eta} = 3.36,$$
то есть максимальный теоретический к.п. д. в 3,36 раза больше к.п. д. расматриваемого цикла.

М. Е. Маринчук

Ф212. От сползационного океан по кругому склону ледника на лубине 1 км откалываемся льба льда — айсберг (его высота меньше 1 км). Какая часть айсберг может расплавиться при вспливании? Температур льда и воды равны $0^\circ\text{C}$.

Сначала найдем, какое количество теплоты выделится при вспливании айсберг. Оно равно изменению потенциальной энергии системы льда — вода.

При вспливании льдны потенциальная энергия увечивается на величины
$$\rho_{\text{л}} V_{\text{л}} gh$$
($\rho_{\text{л}}$ — плотность льда, $V_{\text{л}}$ — объем льдины, $h$ — высота поднятия льдины; изменением объема льда за счет таяния пребрегаем) и уменышается одновременно на величины
$$\rho_{\text{в}} V_{\text{в}} gh$$
($\rho_{\text{в}}$ — плотность воды), так как при вспливании льдны соответствуют объемом воды опускается с поверхности вниз. Изменение энергии системы льда во время выделения теплоте:
$$Q = V_{\text{л}} (\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{л}}) gh.$$
Будем считать, что все эта теплота пошла на таяние льда (мы пребрегаем теплопроводную воду и движением ее слоев, то есть кинетическая энергия, при подъеме льда):
$$Q = \Delta m_{\text{л}} \lambda$$
($\lambda$ — удельная теплота плавления льда);
отсюда
$$\Delta m_{\text{л}} = \frac{V_{\text{л}} (\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{л}}) gh}{\lambda}$$

или
$$\frac{\Delta m_{\text{л}}}{M_{\text{л}}} = \frac{\Delta m_{\text{л}}}{V_{\text{л}} \rho_{\text{л}}} = \frac{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}} \frac{gh}{\lambda}.$$
Подставляя сюда $\rho_{\text{л}} = 0,9 \cdot 10^3 \text{ кel/м}^3$, $\rho_{\text{в}} = 10^3 \text{ кel/м}^3$, $g = 10 \text{ m/c}^2$, $h = 10^3 \text{ m}$ и $\lambda = 334000 \text{ дж/кг}$, найдем
$$\frac{\Delta m_{\text{л}}}{M_{\text{л}}} \approx \frac{1}{300}.$$
И. Ш. Слободецкий

В этом номере нашшего журнала мы помещаем список читателей, прилавших彼此.

Задачу Ф211 правильно решили: С. Акмерцев (Магнитогорск), А. Бараов (с. Старый Урух Кабардино-Балкарской АССР), Ю. Виззин (Ленинград), В. Маркин (Толочин Витебской обл.), А. Сергеев (Подольск Московской обл.), Ю. Смоленцев (Ессентуки), В. Терехов (Сокольники Тульской обл.), И. Уразильдиан (Москва), Е. Федоров (Магнитогорск).

Задачу Ф212 правильно решили: С. Алекшин (Липецк), А. Амиров (Оренбург), В. Бакиров (Куйбышев), В. Бенхан (Калинин), Л. Брацисккий (Фрунзе), М. Васнецов (Киев), А. Волков (Челябинск), Д. Габризелян (Белая Калитва Ростовской обл.), В. Грязев (Кокчетав Каз. ССР), А. Гуревиц (Минск), Ю. Докучаев (Ленинград), В. Дунцов (Душанбе), Р. Залавуждино (Канаш Чувашской АССР), А. Ивлев (пос. Стройкерамики Куйбышевской обл.), А. Калошин (Москва), С. Карпенко (Киев), Е. Кирилова (Альметевск), В. Ковалевский (Витебск), Ю. Кастрылин (Каменец-Подольский Хмельницкой обл.), А. Кренцкий (Энгельс), И. Куцык (Ярославль), А. Мамян (пос. Ноемберян Арм. ССР), О. Марин (Пермь), С. Мельник (Харьков), Н. Миронов (ВЫкаса), А. Молотков (Кубинка Московской обл.), Ю. Муринец (Магнитогорск), С. Нужный (Куйбышев), С. Пак (Ташкент), А. Паровичников (Обнинск), А. Парфентьев (с. Миссское Челябинской обл.), А. Полянский (Челябинск), А. Пономарев (Киев), Н. Попов (Ленинград), А. Ремеев (Ташкент), В. Решетняк (Киев), В. Розенбаум (Харьков), Р. Сирома (Харьков), А. Смолчи (Калинин), В. Спиридонов (ст. Мартиновка Николаевской обл.), Ч. Тарусердев (Сназан Азерб. ССР), И. Усвям (Ташкент), Ю. Филимонов (Химки Московской обл.), В. Хацимовский (Краснойрск), В. Черкашин (Ташкент), Е. Шафирович (Ногинск Московской обл.), Е. Шестаков (д. Ровкович Гомельской обл.).

Р. Г. Минц

52

В текущем году редакция продолжит публикацию материалов в традиционном разделе «Практикум абитурента». Статы по отдельным теоретическим вопросам школьных курсов математики и физики, разбор конкурсных задач и анализ типичных ошибок абитурентов, варианты встретильных экзаменов в различных университетах и институты страны, разнообразная информация — все это, мы надемемся, будет интересно и полезно читателем журнала, готовящимся к поступлению вузы.

В редакционной почте немало писем, авторы которых просят указать опубликованные в прошлые годы статьи, с которых в первую очередь следовало бы познакомиться при подготовке к встретильным экзаменам. В этом номере мы выполняем эту просьу. Для краткости мы не приводим названия статьи, а, условия развития их по темам, указываем лишь год, номер журнала и страницы, с которой стать начинается.

Matematika

Арифметика: 1972, № 6, с. 30; 1973, № 4, с. 71.
Алгебраические преобразования: 1970, № 11, с. 11.
Модуль (абсолотная величины) действительное числа: 1970, № 3, с. 53; 1972, № 9, с. 45.
Функции и графики: 1970, № 1, с. 27; 1970, № 2, с. 3; 1970, № 4, с. 41; 1971, № 9, с. 41; 1973, № 5, с. 38.
Задания на составление уравнений: 1971, № 11, с. 48; 1973, № 1, с. 35.
Решение уравнений, систем уравнений и неравенств: 1970, № 5, с. 48; 1970, № 9, с. 19; 1970, № 10, с. 53; 1970, № 12, с. 46; 1971, № 1, с. 41; 1971, № 5, с. 40; 1971, № 10, с. 45; 1972, № 1, с. 46; 1972, № 12, с. 49; 1973, № 9, с. 63.
Логарифмы, показательные и логарифмические уравнения: 1971, № 3, с. 40; 1971, № 6, с. 46; 1972, № 3, с. 50.
Трионометрические функции, уравнения и неравенства: 1971, № 4, с. 43; 1972, № 5, с. 36; 1973, № 2, с. 58.
Программирование: 1971, № 2, с. 37; 1973, № 4, с. 57.
Комплектные числа: 1973, № 6, с. 54.
Планметрия: 1970, № 2, с. 23; 1971, № 1, с. 28; 1971, № 6, с. 52; 1971, № 12, с. 41; 1972, № 2, с. 36; 1973, № 11, с. 52.
Стеорематирия: 1970, № 11, с. 54, 1972, № 2, с. 60; 1972, № 4, с. 54; 1972, № 11, с. 52; 1973, № 10, с. 56.
Приемение трионометрики при решении геометрики

Чесских задач: 1972, № 7, с. 29, с. 40; 1973; № 12, с. 39.
Кроме того, некоторые вопросы посвящены статьям: 1970, № 12, с. 2; 1972, № 6, с. 44; 1972, № 10, с. 47; 1973, № 3, с. 44; 1973, № 4, с. 12; 1973, № 8, с. 71; 1973, № 12, с. 39.

Физика

Механика: 1970, № 1, с. 37; 1970, № 5, с. 18; 1970, № 6, с. 39; 1971, № 1, с. 1; 1971, № 2, с. 44; 1971, № 5, с. 8; 1971, № 5, с. 50; 1971, № 9, с. 47; 1971, № 11, с. 16; 1971, № 11, с. 54; 1972, № 3, с. 58; 1972, № 6, с. 20; 1972, № 9, с. 51; 1972, № 10, с. 52; 1972, № 12, с. 16; 1973, № 9, с. 68; 1973, № 11, с. 57.
Жидкости и газы: 1972, № 12, с. 53.
Телловые явления: 1971, № 2, с. 11.
Молекулярная физика: 1970, № 10, с. 22; 1972, № 5, с. 45; 1973, № 1, с. 43; 1973, № 7, с. 11.
Основы электронной математики: 1970, № 6, с. 11; 1970, № 11, с. 2; 1971, № 3, с. 10; 1971, № 4, с. 8; 1971, № 6, с. 8; 1972, № 2, с. 54; 1972, № 4, с. 62; 1972, № 6, с. 55; 1972, № 6, с. 59; 1972, № 7, с. 48; 1972, № 7, с. 51; 1972, № 10, с. 10; 1973, № 3, с. 50; 1973, № 7, с. 35.
Колебания и волны: 1971, № 9, с. 15.
Оптика: 1970, № 9, с. 41; 1971, № 2, с. 1; 1971, № 7, с. 41; 1972, № 4, с. 10; 1972, № 7, с. 6.
Элементы теории относительной тельности: 1970, № 3, с. 34.
Кроме того, некоторые вопросы посвящены статьям: 1970, № 12, с. 50; 1972, № 6, с. 62; 1973, № 4, с. 52; 1973, № 5, с. 43; 1973, № 7, с. 30.