Новосибирский государственный университет

52

Новосибирский государственный университет

В Новосибирском государственном университете имеются следующие факультеты:
математический с отделениями математики, прикладной математики и механики;
физический; естественный с отделениями химии и биологии; геологический геофизический;
гуманитарный с отделениями русского языка и истории; экономический со специальной по экономической книберентике.
Университет расположен в Академгородке в 20 километрах от Новосибирска. Обучение студентов проводится на базе научных институтов Сибирского отделения АН СССР: гидродинамики, математики, вычислительной центра, ядерной физики, теоретической и прикладной механики, теплофизики, физики полупроводников, автоматики и электрометрии, геологии и геофизики, неорганический химии, организационный химии, химический кинетики и горения, катализа, источник, фильлогии и философии, цитологически и генетики.
В этом номере мы помещаем образцы вариантов письменных экзаменов по математике и физике в НГУ в 1973 году.

Математика
Механико-математический факультет, физический факультет, экономический факультет

Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$\log_3 (1-y^2)^2 =$$
   $$= 5 + \sqrt{14 \log_{\sqrt{3}}(1-y) + 7 \log_{\sqrt{3}}(\frac{1+y)^2}{3}} - 5.$$

2. В треугольнике ABC биссертиса угла BAC равна $a$. Окружность, построенная на этой биссертисе как на диаметре, делит стороны AB и AC в отношении 2:1 и 1:1, считая от точки A. Найти площадь треугольника ABC.

3. Решить уравнение
   $$\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{\frac{1}{2} + \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right)}.$$

4. Дана четырехугольная парамida SABCD (SA = SB = SC = SD = 5), основанием которого является прямогольник ABCD со стороны AB = CD = 4, AD = BC = 3. Через дигональ BD под углом 30° к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая ребро SC в точке $S'$. Найти объем парамиды S’BCD.

Вариант 2

1. Решить уравнение
   $$\log_{\sqrt{2}}(3x^2 - 1) + 2 =$$
   $$= \sqrt{1 + \log_{\sqrt{x}}x^3 + \frac{6}{\log_{3x^2-1}2\sqrt{2}}}.$$

2. Одна из боковых сторон трапеции перепendlukлярна основания и равна 2a. На этой стороне как на диаметре построена окружность, которая делит другую боковую сторону на три отрезка. Отношение длины отрезков равно 1:2:2 (считая от верхнего основания). Найти площадь трапеции.

3. Решить уравнение
   $$\sqrt{\cos^2 x - \cos^2 3x} = \sin 2x.$$

4. В правильном tetraэдре SABC через вершину A параллельно ребру BC проведена плоскость, перепendlukлярная боковой грани SBC (S — вершина tetraэдра, ABC — основание). Найти радиус шара, касающийся ребр SA, SB, SC и проведенной плоскости. Ребра tetraэдра равны $a$.

53

Вариант 3

1. Решить уравнение
   $$\log_x(x^2+1) = \sqrt{\log_x[x^2(1+x^2)]+4}.$$

2. В трапеции $ABCD$ нижнее основание $AD$ в 2 раза больше верхнего, равного $a$, угол $A$ при основании равен $45^\circ$, а окружности, построенные на боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг друга. Найти площадь трапеции.

3. Решить уравнение
   $$\sqrt{\frac{1+\mathrm{tg} x}{1-\mathrm{tg} x}} = \sin x + \cos x.$$

4. В куб с ребром $a$ вписан шар. Через середины двух смежных ребер куба проведена плоскость, касающаяся шара. Найти площадь сечения куба этой плоскостью.

Факультет естественных наук, геологический факультет

Вариант 4

1. Решить уравнение
   $$4\log_x\sqrt{x} + 2\log_4x x^2 = 3\log_2x x^3.$$

2. В прямогольном треугольнике $ABC$ катеты $AB$ и $BC$ относятся, как 1:2. Нагипотенузе $AC$ выбраны точки $M$ и $N$ так, что отрезки $BM$ и $BN$ делят угол $B$ на три равные части. Найти отношение отрезков $BM$ и $BN$

3. Решить уравнение
   $$\sin^3x + \frac{3}{4}\left(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\cos x}\right) = \cos^3x.$$

4. В правильную треугольную усеченную парамиду вписан шар радиуса $r$, касающейся оснований и боковых ребер. Найти объем парамиды, если стороны оснований относятся, как 1:2.

Вариант 5

1. Решить уравнение
   $$\log_2^2x + \log_2x - 2(x^2 - 6x + 6) = 1.$$

2. В трапецию вписана окружность радиуса $r$. Точки касания с боковым сторонами делят их соответственно в отношении 1:2 и 1:3, считая от верхнего основания. Найти площадь трапеции.

3. Решить уравнение
   $$\sin x - \cos x = 4\sin x \cos^2x.$$

4. При шара, касаясь друг друга, касаются некоторой плоскости. Точки касания шаров с плоскостью образуют треугольник со стороны, равными 4, 2 и 3. Найти радиусы шаров.

Физика
Физическая факультет
На письменном экзамене по физике каждому абитриенту предлагалось 6 задач.

54

Ях, разделаемых абитурентам вместе с вариантими задач, рекомендуемалось вначале решать первые три задачи, а также подчеркивалось, что для получения высокой оценки не обязательно решение всех задач.

В приведимых ниже вариантах письменного экзамена по физике после условия каждой задачи в скобках указана ее оценка в баллах и процент решивших эту задачу.

Вариант 1

1. На столе имеются: два источника света — лампочка накаливания и лазер, дюшний паралельный лучок лучей; фотоэлемент; галванометр для регистрации фотоока и плоскопаралельная стеклянная пластинка. Включается источник света, и регистрируется фотоок. Затем на пути света ставится пластинка, и опять регистрируется ток. Один раз источником служит лампочка, второй раз — лазер. Оказалось, что фотоок после внесения пластинки в первом случае возрос, а во втором — уменьшился. Объяснить — почему. (5 6., 48%)

2. Найти заряд на конденсатор емкости $C$, если в цепи, изображенной на рисунке 1, течение постоянный ток. Например на клеммах $U$, сопротивления в цепи $R_1$ и $R_2$. (3 6., 82%)

3. Бесконечный конус с углом расвора $90^\circ$ движется к центру покоящего шара со скоростью $v$ (рис. 2). Направление скорости совпадает с осью конуса. В некоторых моментах разбиваем на очень большое число осокков, которые равномерно летят во все стороны с той же скоростью $v$. Какая часть осокков попадает на конус? Влиянием веса*) претензей. (5 6., 52%)

4. В цилиндр радиуса $R$, частность заполненный водой, падает цилиндрическая пробка радиуса $r$ и высоты $h$ (рис. 3). Начальная высота нижнего торца пробки над уровнем воды $H$; начальная скорость равна нулю. Сколько энергии выделится в виде тепла после того, как движение пробки и воды прекратиется? Плотность пробки $ρ$, плотность воды $ρ_0$, ускорение свободного давления $g$. (66., 36%)

5. Плоский конденсатор находится во внешнем однородном электрическом поле $E$, перpendикулярном пластинам (рис. 4). Площадь пластин конденсатора $S$. Какие заряды окажутся на каждой из пластин, если конденсатор замкнут проводником накоротко? (7 6., 34%).

6. Изогнутая под углом $2\alpha$ узкая трубка $AKB$ неподвижно закреплена на тележке так, что каждое колено ее составляет угол $\alpha$ с вертикальным (рис. 5). Половина трубки $AK$ заполнена водой, удерживаемой заслонкой 3. Тележка может двигаться по горизонтальной плоскости. Заслонку 3 открывается. Найти скорость тележки в тот момент, когда середина столбика воды проходит самое нижнее

*) Точнее, силы тяжести. (Прим. ред.)

55

нее положение. Начальные скорости равны нулю. Трене и капитлярность не учитывают. Масса тележки с трубкой $M$, масса воды $m$, $AK = BK = l$. Ускорение силы тяжости $g$. (8 6., 10%.)

Вариант 2

1. На столе собранa схема, изображенная на рисунке 6. Когда замыкают ключ $A$, лампочка Л загорается тускло. Когда замыкают ключ $B$, свет становится очень ярким. Почему в первом случае лампочка горит слабее, чем во втором? (5 6., 62%.)

2. Два шарика с массами $m_1$ и $m_2$ одновременно начинают сокальзывать без треня и врашения с двух горок одинаковой формы и высоты $H$ (рис. 7). При стольновении шарики спилаются. На какую высоту поднимутся спилшиеся шарики? (3 6., 80%.)

3. Определить ускорение цилиндра, скользывающего по желобу, имеющему вид двугранного угла с растором $\alpha$ (рис. 8). Ребро двугранного угла наклонено под углом $\beta$ к горизонту. Плоскости двугранного угла образуют одинаковые углы с горизонтом. Козффициент треня между цилиндром и поверхностью желоба $k$. (5 6., 40%.)

4. В центре незакрепленной сферы радиуса $R$ и массы $M$ разрывается снаружи массы $m$ на мелкие осколки, разлетаются во все стороны равномерно с одинаковой скоростью $v$. В сфере имеются два круговых ответственных с центрами, лежащими на одном диаметре (рис. 9). Углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ близки, но не одинаковы. Осколки, не вылетшие через ответствия, припланют к поверхности сферы. Найти конечную скорость сферы. Сопротивлением воздействия и силой тяжости пренебречь. (6 6., 59%.)

5. Плоский конденсатор находится во внешнем однородном электрическом поле $E$, перpendикулярном пластинам конденсатора (рис. 10). Площадь каждой из пластин $S$, по пластинам равномерно распределены заряды $+q$ и $-q$, расстояние между пластинами $d$. Какую работу нужно совершить, чтобы перевернуть конденсатор на $180^\circ$ вокруг оси, перpendикулярной полю? (6 6., 36%.)

6. В U-образной трубке с соприкасающимся внутренним стенками в равновесии находится жидкость с плотностью $\rho_1$ и $\rho_2$ ($\rho_1 < \rho_2$) так, что граница разделит точное через низ трубки (рис. 11). На высоте $a$ от нижней точки трубки появилось небольшое ответствие, и началось перетекание жидкости. Насколько изменяется уровень в колене с жидкостью $\rho_2$, когда перетекание жидкости прекратиется?

Трубку считать достаточно тонкой того, чтобы не проискодило перемещивание жидкости (возможен только разрыв столбца жидкости в месте появления ответствия). (8 6., 34%.)