58
Топологические опыты своими руками
Б. А. Кордемский
В этой статье мы предложаем вам познакомиться с топологическей — науккой, исследующей те свойства фигур, которые остаются неизменными при растяжениях без разрывов или скатиях без склеивания. Для этого вам предстоит выполнить некоторые опыты: раскрасти карту, освободиться из вервочного «плена», разрезать бумажные полоски на нераспределющее колыца.
В существии, ведь и сама топология началась с понсков раскрытия секретов некоторых занимаемых геометрических головоломок, занимаевших в свое время Леонарда Эйлера и других математиков.
Четыре краски: меньше нельзя, больше не требуется
— Вадим, взгляни, какую я получила карту для раскраивания (рис. 1). Раскрасть надо так, чтобы соседние районы не оказались однозвездными (районы, имеющие лишь одну общую точку, соседними не считаются; та
Рис. 1.
кую раскраску называют правильной). Кажется, мне хватит пяти краскок.
— Верно, Оля, пятки красок достаточно, чтобы получить правильную раскраску любой карты на плоскости, — подтвердил Вадим, — но на творем месте я попытался бы ограничиться четырьмя красками. Помнишь, мы служили лекцию «О проблеме четырех краскок», в котором …
— Действительно, — перебила Оля Вадима, — ведь никем не придумана карта, для раскраски которого оказалась бы необходимой пятая краска. Это же одна из тех знаменитых старинных задач, которые до сих пор не поддатятся усилиям математиков. «Проблема четырех краскок», кажется, уже давно перешагнула столетный рубеж, а «воз и ныне там»?
— Ну, если считать от лекции, прочитанной в 1840 году, на котором немецкий астроном и геометр Август Мёбинус высказал первоначальный вариант этой проблемы без ее применения к раскрашиванию карт *), то прошло уже свыше 130 лет, — ответил Вадим, — если же считать от 1878 года, то столетный рубеж еще не достигнут.
— Почему ты упоминаешь еще какую-то вторую дату? — положитьствовал Оля.
— В 1878 году на одном из睦даний Британского географического общества выдающийся английский математик Артур Кэлли четко сформировал задачу: доказать, что каждую географическую карту на плоскости (или на глобусе) можно правильно закрасть четырьмя красками, — придав тем самым этой проблеме прикладное значение. Именно с этого момента задача получила особую популярность и привлекла к себе внимание многих математиков и любителей математических головоломок. Вскоре появился первый результат: дока-
*) «… на плоскости нельзя начать пять области так, чтобы каждые две из них обшную границу» — из лекции Мёбинуса.
59
зательство достаточно пятки краскок (тоже в Англии, через год после доклада Кэли), а полного доказательства достаточно четырех краскок не придумал до сих пор.
— Погоди, Вадим, — опять вместе Оля. Ты говоришь, что нет полного доказательства, а разве есть какой-нибудь частный результат? Я ничего не знаю об этом.
— Да, Оля, некоторые результаты есть. В последнее время произошел значительный сдвиг в решении «проблемы четырех краскок» *). В 1968 году математики Рингель и Янгс дал исчерпывающий ответ на вопрос о наименшем числе краскок, достаточно для правильной раскраски карты, нанесенной на любую поверхность, кроме … поверхности объIkновенного глобуса, а следовательно, и плоскости.
— Я знаю, — заметила Оля, —почему ты сказал: «следовательно, и плоскости». Если бы была доказана достаточно или, наоборот, недостаточно четырех краскок для раскраски карты, нанесенной на сферу, то тем самым «проблема четырех краскок» была бы решена и для плоской карты, так как любую карту на сфере можно превращить в эквивалентную карту на плоскости, и наоборот.
— Правильно, Оля, но есть результаты и для плоских карт. В 1969 году математики Оре и Степпл доказали, что любую карту на плоскости, состоящую не более чем из 39 области, можно раскраить четырьмя красками, а в 1971 году советский математик Г. А. Донецдоказал это утверждение для карт, состоящих из 41 области.
— Спасибо, Вадим. Пойду раскрашивать карту.
Через несколько дней Вадим поинтересовался, удалясь ли Оле раскраска карты четырьмя красками.
— Конечно, — ответила Оля, — на моей карте оказалось всего 32 оба
*) Вероятоно, Вадим прочитал об этом в книге: Харар и Ф. Теория графов. М., «Мир», 1973, c. 158, 162.
Рис. 2.
лactи. Я попробовала условия задачу и закрасить каждой краскойровно по восемь области. Представь себе — получилось!
— Замечательно! Молодец, Оля! Попробую и я это сделать.
Задача 1. Попробуйте и вы раскрасить каждой из четырех красковровно по восемь области на Олиной карте.
Задача 2. Докажите, что найдется карта, которое нельзя закрасить меньше чем четырьмя красками.
Районирование области
Области, изображенная на рисунке 2, размещена на четырех области, состоящую не более чем из 39 области, можно раскрасить четырьмя красками, а в 1971 году советский математик Г. А. Донецдоказал это утверждение для карт, состоящих из 41 области.
— Спасибо, Вадим. Пойду раскрашивать карту.
Через несколько дней Вадим поинтересовался, удалясь ли Оле раскраска карты четырьмя красками.
— Конечно, — ответила Оля, — на моей карте оказалось всего 32 оба