К описанию овалов и многофокусных овальных кривых

3

К описанию овалов и многофокусных овальных кривых

(c замечиями профессора Форбса)

Мистер Клерк Максвелл островно предлагает распространить общную теорию фокусов конических сечений на более сложные кривые следующим образом:

(1) По аналогии с эллипсом и гиперболом, у которых постоянны соответствие сумма и разность расстояния от произвольной точки кривой до двух точек, называемых фокусами, автор приходит к выводу, что в некоторых степени похожи от предыдущих геометрических аппарат. Причем Максвелл предложил действительное новый способ, ранее неизвестный математикам.

Значение этого способа оказалось большим, чем одно из возможных решений задачи древних этуроков. Действительно, геометрические построения юного Максвела открывают перед нами удивительные оптические свойства овалов и вводят нас в круг интерсейших задач геометрической оптики, над которых трудилось немало замечательных ученых прошло.

Профессор Форбс, покровительствовавший молодым талантам, 6 апреля 1846 года доложил об исследовании Максвела на заседании Эдинбургского королевского общества.

Перевод изложения этого документа, напечатанного в Трудах общества, помещен ниже.

Перевод, подготовка к публикации и подготовке примечания А. Митрофанова

4

Рис. 1.

охватывающий три или более закрепленные бульавки и ограничивающей подвижную точку $P$, которая при своем движении вычерчивает искому кривую. Смотри рисунок 3. Далее, автор рассматривает кривые с двумя фокусами как частный случай класса кривых с многоими фокусами, у которых два или более фокусов совпадают; фокус, где две нити встречаются, рассматривается как двойной фокус, если три нити встречаются, то это тройной фокус, и т. д.

Профессор Форбс заметил, что уравнение кривой с двумя фокусами легко приводится к виду

$$\sqrt{x^2 + y^2} = a + b\sqrt{(x - c)^2 + y^2}$$

т. е. такому же, как семейства кривых, известных как овалы Декарта первого рода *). Мистер Максвелл

*) Овалами в широком смысле слова называют плоские кривые яйцеобразной формы: сам термин «овал» происходит от латинского слова «ovum» (яйцо). Овалы Декарта первого и второго рода — некооторий классов овалов (см. «Квант», 1977, № 6, с. 43).

Рис. 2.

установил, что когда один из фокусов находится в бесконечности (или когда нить при построении кривой движется почти параллельно самой себе и ограничивается только максимальным размером стола), вычерчивается кривая, похожая на эллипс, — факт, натолкнувший профессора Форбса на вывод о тождественности построенного овала и декартового овала, так как последний, как хорошо известно, имеет такое же свойство. Но наиболее отчетливо идентично объект из принципи построения, т. е. из равенства

$$mr + nr' = const$$

(r и $r'$ — расстояния от произвольной точки кривой до фокусов), на самом деле ясно выражающего оптическое свойство рассматриемых поверхностей *), вытекающее из волновой теории, а именно: свет, испущенный из одного фокуса, расположенного в свободном пространстве, ходится точно в фокусе, находящемся в среде, и относение $\frac{n}{m}$ равно коэффициенту преломления среды.

Назовем степенью (или порядком) фокуса количество отрезков нити, которые подходят к бульавке, закрепленной в этом фокусе для построения кривой по схеме Максвелла. Если один из двух фокусов находится в бесконечности и если степень фокусов равны, то построенная кривая является параболой; если степень конеч_

*) To есть поверхностей тел врашения овалов.