Преобразование решений тригонометрического уравнения

34

Преобразование решения тригонометрического уравнения

Очевидно, произвольное натуральное число $n$ представимо в виде либо $n=2t$, либо $n=2t+1$. Кроме того, любое натуральное число $n$ представимо в виде либо $n=3t$, либо $n=3t+1$, либо $n=3t+2$. Далее, все коэффициенты число $n$ представимо в виде либо $n=4t$, либо $n=4t+1$, либо $n=4t+2$, либо $n=4t+3$. Ит. д. Эта серия утверждений является теоретической основой преобразования, которое приходит иногда делать с решениями тригонометрического уравнения.

Пример 1 (НГУ, мехмат, 1974). Решить уравнение

$$\sqrt{\cos 2x - \sin 4x} = \sin x - \cos x.$$ (1)

Напращивающийся путь решения уравнения (1) — возведение обеих частей уравнения в квадрат:

$$\cos 2x - \sin 4x = (\sin x - \cos x)^2.$$ (2)

После легких равносильных х преобразованный получаем

$$\sin x (\sin x + \cos 3x) = 0.$$

Таким образом, уравнение (2) имеет ответ:

$$\begin{cases} x_1 = \pi k & (k \in \mathbb{Z}), \\ x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi l & (l \in \mathbb{Z}), \\ x_3 = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} m & (m \in \mathbb{Z}). \end{cases}$$

Но уравнение (2), вообще говоря, не равносильно уравнению (1); оно является лишь вводным из (1). Поэтому необходимо сделать проверку.

Наименьший общий период функций $2x$, $\sin 4x$, $\sin x$ и $\cos x$ — $2\pi$. Значит, если число $a$ является корнем уравнения (1), то и все числа $a+2\pi t$ ($t \in \mathbb{Z}$) являются его корнями. Поэтому запишем решение (3) «с периодом $2\pi$».

Заменив в $x_1$ переменную $k$ на $k=2t$ и $k=2t+1$, получим

$$\begin{cases} x_{11} = 2\pi t, \\ x_{12} = \pi + 2\pi t. \end{cases}$$

Аналогично из $x_2$ получим

$$\begin{cases} x_{21} = \frac{\pi}{4} + 2\pi t, \\ x_{22} = \frac{5}{4} \pi + 2\pi t. \end{cases}$$

Заменив в $x_3$ переменную $m$ на $m=4t$, $m=4t+1$, $m=4t+2$ и $m=4t+3$, получим

$$\begin{cases} x_{31} = -\frac{\pi}{8} + 2\pi t, \\ x_{32} = \frac{3}{8} \pi + 2\pi t, \\ x_{33} = \frac{7}{8} \pi + 2\pi t, \\ x_{34} = \frac{11}{8} \pi + 2\pi t. \end{cases}$$

Из ($3_1$), ($3_2$), ($3_3$) видно, что, ввиду вышесказанного, достаточно проверить числа 0, $\pi$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{5}{4}\pi$, $-\frac{\pi}{8}$, $\frac{3}{8}\pi$, $\frac{7}{8}\pi$, $\frac{11}{8}\pi$. Можно просто подставить эти 8 чисел в (1). Проще, однako, сообщить, что уравнение (1) равносильно «смешанной системе».

Рис. 1.

35

$$\begin{cases} \cos 2x - \sin 4x = (\sin x - \cos x)^2, \\ \sin x - \cos x \geq 0. \end{cases}$$

Таким образом, достаточно посмотреть (рис. 1), какие из выписанных чисел удовлетворяют неравенству $\sin x \geq \cos x$. «Выдерживают» это неравенство $\pi, \frac{\pi}{4}, \frac{5}{4}\pi, \frac{3}{8}\pi$ и $\frac{7}{8}\pi$.

Значит, в ответ уравнения (1) входят $x_{12}, x_{21}, x_{22}, x_{32}$ и $x_{33}$. При желании $x_{21}$ и $x_{22}$ можно объединить «обратно».

Пример 2. Решить уравнение

$$\sin 7x + \cos 2x = -2. \tag{4}$$

Поскольку $\min \sin 7x = \min \cos 2x = -1$, уравнение (4) равносильно системе

$$\begin{cases} \sin 7x = -1, \\ \cos 2x = -1. \end{cases}$$

Решение первого уравнения системы

$$x_1 = \frac{3}{14}\pi + \frac{2\pi}{7}k (k \in \mathbb{Z}), \tag{5}$$

решение второго уравнения

$$x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi l (l \in \mathbb{Z}). \tag{6}$$

Чтобы найти пересечение множеств (5), (6), запишем их «с периодом 2л». Заменив в (5) переменную $k$ на $7t, 7t+1, 7t+2, 7t+3, 7t+4, 7t+5$ и $7t+6$, получим

$$\begin{cases} x_{11} = \frac{3}{14}\pi + 2\pi t, \\ x_{12} = \frac{\pi}{2} + 2\pi t, \\ x_{13} = \frac{11}{14}\pi + 2\pi t, \\ x_{14} = \frac{15}{14}\pi + 2\pi t, \\ x_{15} = \frac{19}{14}\pi + 2\pi t, \\ x_{16} = \frac{23}{14}\pi + 2\pi t, \\ x_{17} = \frac{27}{14}\pi + 2\pi t. \end{cases} \tag{7}$$

Заменив в (6) переменную $l$ на $l=2t$ и $l=2t+1$, получим

$$\begin{cases} x_{21} = \frac{\pi}{2} + 2\pi t, \\ x_{22} = \frac{3}{2}\pi + 2\pi t. \end{cases} \tag{8}$$

Из сравнения (7) и (8) виден ответ:

$$x_{12}.$$

Пример 3 (МГУ, химфак, 1977). Найти решение уравнения

$$2 - \sqrt{3}\cos 2x + \sin 2x = 4\cos^2 3x, \tag{9}$$

удовлетворяющие неравенству

$$\cos \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) > 0.$$

Уравнение (9) равносильно уравнению

$$1 - \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 + \cos 6x.$$

Позному его ответ:

$$\begin{cases} x_1 = \frac{5}{48}\pi + \frac{\pi}{4}k (k \in \mathbb{Z}), \\ x_2 = \frac{7}{24}\pi + \frac{\pi}{2}l (l \in \mathbb{Z}). \end{cases}$$

Чтобы $2x - \frac{\pi}{4}$ имел период $2\pi$, запишем этот ответ «с периодом $l$». Заменив в $x_1$ переменную $k$ на $k = 4t, k = 4t+1, k = 4t+2$ и $k = 4t+3$, получим

$$\begin{cases} x_{11} = \frac{5}{48}\pi + \pi t, \\ x_{12} = \frac{17}{48}\pi + \pi t, \\ x_{13} = \frac{29}{48}\pi + \pi t, \\ x_{14} = \frac{41}{48}\pi + \pi t. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} 2x_{11} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{24} + 2\pi t, \\ 2x_{12} - \frac{\pi}{4} = \frac{11}{24}\pi + 2\pi t, \\ 2x_{13} - \frac{\pi}{4} = \frac{23}{24}\pi + 2\pi t, \\ 2x_{14} - \frac{\pi}{4} = \frac{35}{24}\pi + 2\pi t. \end{cases}$$

Видно, что нужноу неравенству удовлетворяющей неравенству $x_{11}$ и $x_{12}$.

Аналогично, заменив в $x_2$ переменную $l$ на $l=2t$ и $l=2t+1$, получим