Олимпиада в Омске

57

Олимпида в Омске

В апреле 1979 года состоял заседание математической секции Омского городского научного общества учашихся. На заседании были подведены итоги II командной олимпиды школ города. Олимпиды такого типа проводятся в Омске с 1978 года слими студенческого научного общества Омского политехнического института и университета*). Командная форма ее проведения способствует развитию новых коллективного творческого труда.

В нынешней олимпиде участвовало 123 команды (по 5 учашихся 9—10 классов) из 95 школ города, а также гости из Братска и Ангарска. Жюри учтывающего трудности задачи, законченность и количество способов решения, а также коллективного команда, решивших задачу, поэтому задача, решенная полностью, давала команде больше оценок, чем несколько задач, в решении которых были пробелы.

Лучшая работа оказалась у команды школы г. Ангарска; ненамного отстала первая команда школы № 88 г. Омска.

Приглашаем всех желающих на III командиру

*) См. «Квант», 1978, № 11, с. 60.

Задачи олимпиды

1. Найти сумму первых ста чисел, встречающихся в обеих арифметических прогрессиях 17, 21, 25, … и 16, 21, 26, … (3 очка).

2. Решить уравнение $x=1-5(1-5x^2)^2$ (2 очка).

3. Дан квадратный трехчлен $y=ax^2+bx+c$. Найти все значения $a, b, c$, при которых если $x=a$, то $y=a$, если $x=b$, то $y=b$, и если $x=c$, то $y=c$ (3 очка).

4. На плоскости заданы 4 точки. Все они соединены отрезками прямых. Доказать, что отношение длины наибольшего отрезка к длине наименьшего отрезка не меньше $\sqrt{2}$ (6 очков).

5. Данны последовательности
   $$a_{n+1}=\frac{2}{1-a_n}+\frac{1}{b_n},$$
   $$b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},$$
   где $a_0>0$, $b_0>0$. Доказать, что они имеют общий предел, равный $\sqrt{a_0b_0}$ (4 очка).

6. Найти все трейки различных целых положительных чисел, сумма любых двух из которых делится на треть (6 очков).

7. Доказать, что если бы одна из координат центра окружности irrationalна, то на этой okружности найдется не более двух точек, обе координаты которых различаются (5 очков).

8. Двое пшут 20-значное число число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую — второй, третью — первый и т. д. Можно ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремиется ему помещать? (5 очков).

9. При каких четырех $n$ существуют многогранники, имеющийровно $n$ ребер? (2 очка). Тот же вопрос для нечетных $n$ (4 очка).

10. Из цифр 1, 2, …, 9 выбираются 4 цифры и из них составляют два наболее близких друг к другу двух значений числа. Какое наиболее значение может иметь модель их разности? (6 очков).

11. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ построены наружу квадратицы $ABB_1A_1$ и $CBB_2C_2$. Найти длину отрезка $B_1B_2$, если длина медины $BE$ равна $m$ (3 очка).

12. Известен один из углов треугольника и длина высоты, выходящей из вершины этого угла. Как проведится третий сторон, чтобы площадь треугольника была наименьшей? (3 очка).

13. Доказать, что уравнение $a^x+b^x=c^x+\alpha$, где числа $a, b, c$ положительные и не равны единице, имеет не более трех различных решений (5 очков).

14. Решить уравнение $\sin^3 x \cdot \cos x - \cos^3 x \times \sin x = 1/4$ (1 очков).

15. В треугольнике $ABC$ дано: $|AC|=b$, $|AB|=c$, $|A|=2\sqrt{2}$. Найти $|BC|$ (2 очка).

А. Криворукю, М. Немченицер

Список читателей, приславших правила решения задач из Задачника «Квант»

(Начало см. на с. 36)
ковской обл.) 51, 52; А. Стреминский (Донецк) 56; А. Стмирскас (п. Черноголовка Московской обл.) 53, 56; С. Суров (Оренбург) 51; А. Тадаев (Новосибирск) 51; М. Томашпольский (Москва) 56; О. Трушин (Кострома) 51; Л. Умкин (Вологда) 51, 56; Д. Файндауз (Ленинград) 49—51, 56; А. Фарбер (Баку) 56; Н. Федин (Омск) 50, 51, 56; А. Федокович (Пинск) 49; И. Фоменко (Днепропетровск) 51, 52; О. Хоружский (Черповец) 51; С. Хосид (Алма-Ата) 51;

В. Целиков (Черповец) 49, 56, 57; А. Черныш (ст. Лисогорская Ставропольского кр.) 53, 56, 57; А. Чечель (Москва) 56; И. Швец (Желтые Воды) 49, 56; А. Шериев (Краснодар) 56, 57; П. Шибаев (Москва) 49, 52; А. Ширьеев (с. Рожествено МордАССР) 51; С. Шищин (Невинномыск) 50, 51; С. Шищков (Москва) 56, 57; А. Шостаченко (Кищинев) 56; Н. Штрешень (Москва) 50; А. Эзерины (п. Кузьмолово Ленинградской обл.) 57; М. Эфроимский (Ленинград) 49, 51, 57; В. Яровой (Ленинград) 49, 51, 57.