Чёрные дыры

Квант 1983, №2 с. 11, 12, 13, 15 Тег 92WS

Черные дыры

Доктор физико-mатематических наук
Я. А. СМОРОДИНСКИЙ

Общая теория относительнойности всегда порождала воображение своим предсказаниями удивительных явлений. Среди всех ее предсказанийrekорд побивает вывод, что во Вселенной могут существовать черные дыры — небесные тела с большой плотностью, внедра которых попадает, проваливается практически все, что находится в окрестности.

Пока еще трудно сказаать, доказано ли существование черных дыры, и хотя о них естественспытели рассуждали более 200 лет тому назад, основываясь на теории тяготения Ньютона, их понски начались только в наших дни, когда поняли, что их можно «увидеть».

Если черные дыры — реализность, то для них есть дело во Вселенной: они могли бы взять на себя роль гигантских генераторов энергии, обеспечивающих эволюцию Вселенной. может быть, такой генератор увидел недавно астрономы, получив фотографию центра нашей галактики. Наука о черных дырах только начинается. Каковы будут успеки и где нас ждет разочарование — сказать нельзя, но о свойствах черных дыр физики могут рассказать много интересного.

Движение тел в окрестности черной дыры

Рассмотрим небесное тело (звезду) с радиусом $R$ и массой $M$ .

Предположим, что никаких других тел пользовости нет и поле тяготения создается только им одним. Пусть какое-то другое тело (массу и радиус которого для простоты рассуждений будем считать малыми по сравнению с $M$ и $R$ соответственно), дивяясь из бесконечности, попадает в это поле тяготения.

Согласно законам Кеплера, оно либо будет движаться вокруг звезды по эллипсу, либо, придая из бесконечности, обогнет тело по параболе или гиперболе и уйдет обратно на бесконечность, нассгда покинут звезду.

Аналогично, если тело начинает свое движение с поверхности звезды, где ему сообщается неокоторая скорость, то оно (если, конечно, не упадет на звезду) либо станет спутником звезды, либо нассгда покинет ее.

Чтобы покинут звезду, тело должно иметь энергию, достаточно для совершения работы против сил тяготения. Другими словами, его кинетическая энергия $mv^2/2$ должна не менше, чем $GmM/R$ (ибо такое работа, которое надо затраться, чтобы массовое $m$ переместить с поверхности звезды в бесконечность*)):

$\frac{mv^2}{2} \geq G \frac{mM}{R}.$

Отсюда можно найти минимальную скорость, которая дает возможность телу покинут звезду; ее называют второй космической скоростью:

$v_{\text{II}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.$

Если радиус звезды $R$ уменьшается, а ее масса $M$ остается неизменной, то скорость $v_{\text{II}}$ увеличивается и становится сколь годно большей, если $R$ стремится к нулю. Другими словами, тело, падающее по прямой на точечную звезду, прибретает, формально, бесконечно большешую скорость.

*) См., например, Приложение I к статье К. Кикона «Что такое потенциальная яма» («Квант», 1982, № 8) или п. 61 учебного пособия «Алгебра и начала анализа 9—10» (М., «Просвещение», 1982).

Такой результат противоречит утверждению теории относительнойности, что никакое тело не может иметь скорость, большую скорости света.

Наша формула верна не всегда и ее можно использовать лишь тогда, когда скорость $v_{II}$ оказывается много меньше скорости света $c$ :

$\sqrt{\frac{2GM}{R}} \ll c.$

Это неравенство можно записать по-другому:

$R \gg \frac{2GM}{c^2}.$

Величина, стоящая в правой части, играет в теории важную роль и ей присвоено особое название — гравиатционный радиус звезды:

$R_{rp} = \frac{2GM}{c^2}.$

Тепер условие применимости классической механики к описанию движения в поле тяготения небесных тел будет выглядеть так:

$R \gg R_{rp}.$

Гравитационный радиус большинства небесных тел очень мал. Для Солнца он равен приблизительно 3 км, для Земли — 0,8 см, то есть он существенно меньше их линейных размеров ( $R_C = 7 \cdot 10^5$ км, $R_3 = 6,4 \cdot 10^3$ км). Так что обычно скорость тела, даже падающего из бесконечности на поверхности звезды (или планеты), очень мала:

$v_{II} = \sqrt{\frac{R_{rp}}{R}} c \ll c.$

Всегда ли это неравенство сохраняется или возможно, что бы оно нарушило? Конечно, возможно, но для этого нужно, прежде всего, чтобы радиус звезды — источника гравиатционного поля — был бы по крайней мере равен гравиатционному радиусу. Солнце, например, попадалось бы для этого скать приблизительно в 230 000 раз. Плотность его оказалась бы невообразимо большой: $\sim 2 \times 10^{19}$ кг/м $^3$ (средняя плотность Солнца $\sim 1,4 \cdot 10^3$ кг/м $^3$ ), большей, чем плотность atomного ядра (плотность atomных ядер $\sim 10^{17}$ кг/м $^3$ ). Тем не менее именно такие объекты и имеют в виду, когда говорят о черных дырах — структах невероятного скатой материалов.

Что же отличает поведение тела взлизи этих объектов? Если тело движется издалека, до тех пор пока расстояние $r$ до него много больше гравиатционного радиуса: $r \gg R_{rp}$ , его движение подчиняется законом Кеплера. Если же тело попадает на более близкое расстояние такое, что относение $R_{rp}/r$ оказывается не слишком малым, движение приобретает совсем другой характеристику. (Формальная причина этого состоит в том, что сила прияжения перестает подчиняться закону обратных квадратов — закону всемирного тяготения. А это сразу нарушает строяную классическую картину движения.) Наконец, в окрестности черной дыры, то есть на расстояниях, сравнимых с гравиатционным радиусом, прияжение к черной дыре будет столь большим, что никакое тело не может пройти mismo — оно затягивает его и исчезает в ее «черных» недрах. В классической пьютовской механике комета, например, может пролететь сколь годно близко от центра прияжения и все же уйдет от него в бесконечность. Черная же дыра собирает вокруг себя все, что пролетает сравнительно близко. Луч света и тот ведет себя необучным образом. Проходя окол черной дыры, луч отклоняется столь сильно, что его траектория закручивается в спираль и, таким образом, он тоже захватывает черной дырой.

А может ли какое-нибудь тело (или хотя бы световой луч) покинут черную дыру? Оказывается, нет, поскольку для того, чтобы вылететь наружу, недостаточно даже скорости света. Никакой энергией тела не хватит, чтобы предолеть колосальное гравиатционное поле черной дыры.

Немного истории

У теории черных дыр есть давняя история. Неожиданная сторона ее состоит в том, что связывает радиусом и массой черной дыры была обнаружена внести лет назад. И хотя основания для этого открытия были ложными, оно заслушивает того, чтобы о нем расскаать.

В XVIII вке в Англии научные сообщения посыллись в виде письем иачтывались на заседании Королевского общества (так называлась Английская академия наук). Однако такое письмо было послано одним из членов этого общества бакалавром богатославия Джоном Мичелом другому члену — знаменитому Генри Кавендишу*). Оно было зачитано на заседании 27 ноября 1783 года. Как теперь известно из записок Кавендиша, изданных Максвелом, Кавендиш также обращил внимание на возможность существования объектов, которые мы сейчас называем черными дырами. может быть, поэтому именно ему и сообщал о своих сообщениях Мичел.

Процитируем отрывок из его письма, которое было опубликовано в известном журнале Philosophical Transactions Королевского общества в 1784 году: «…если радиус шара, который имеет ту же плотность, что и Солнце, будет превышать радиус Солнца в отношении 500:1, то тело, падающее на шар с бесконечно большой высоты, прибретет на его поверхности скорость, превышающего скорость света. Можно заключить, предполагая, что свет, как и другие тела, притягивает с силой, пропорциональной массе, что свет, излучаемый таким шаром, будет прижен вернуться обратно из-за собственной тяжести». Так звучало первоое теоретическое предложение.

Откуда взял свою оценку Мичел? Попробуем ответить на этот вопрос, решив обратную задачу — найдем, каким должно быть относение радиусов расматриваемого шара и Солнца, чтобы ворея космическая скорость для шара стала равной скорости света.

Будем исходить из выражения для второй космической скорости, в котором массу тела $M$ выразим через его плотность $q$ :

$v^2 = \frac{2GM}{R} = \frac{8\pi G}{3} qR^2.$

Отсюда видно, что при построении плотности $v_{\text{II}}$ пропорционально $R$ . Следовательно, для того чтобы скорость $v_{\text{II}}$ была равна скорости света $c$ , радиус шара $R_{\text{ш}}$ должен быть во столько раз больше радиуса Солнца $R_{\text{с}}$ , во сколько скорость света больше второй космической скорости для Солнца:

$\frac{R_{\text{ш}}}{R_{\text{с}}} = \frac{c}{v_{\text{II}} c}.$

Или, используя формулу $v_{\text{II}} c = \sqrt{R_{\text{rp}} C / R_{\text{с}}} c$ , —

$\frac{R_{\text{ш}}}{R_{\text{с}}} = \sqrt{\frac{R_{\text{с}}}{R_{\text{rp}} C}}.$

Зная, что $R_{\text{с}} \approx 700\ 000$ км, а $R_{\text{rp}} C \approx 3$ км, получаем для отношения радиусов значения ≈ 480, что, действительно, близко к 500.

Заметим, что Мичел, вычисляя вторую космической скорость для Солнца, конечно же, не мог воспользоваться понятным границей онного радиуса (в то время такойPOINTЯ простого не существования). Как же он считал?

Мичел знал скорость движения Земли вокруг Солнца: $v = 30$ km/c и относение радиуса орбиты Земли $R$ к радиусу Солнца $R_{\text{с}}$ :

$k = \frac{R}{R_{\text{с}}} \approx \frac{150 \cdot 10^6 \text{ km}}{0,7 \cdot 10^6 \text{ km}} \approx 214.$

Согласно второму закону Ньютона, орбитальная скорость Земли

$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}.$

Чтобы покинуть Солнечную систему с орбиты Земли, нужно скорость

$v' = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.$

что в $\sqrt{2}$ раз больше скорости $v$ .

Скорость, необходимая для того, чтобы

тронные оболочки атомов — звезда превращится в холодный белый карлик. Если масса звезды несколько большие, примерно две-три солнечные массы, то gravитационные силы оказываются достаточно сильными, чтобы «раздавить атомы» и загнать электроны внутри ядер, превращив протоны в нейтроны. Звезда превращается в нейтронную звезду.

Но если масса звезды будет превышать 3—5 масс Солнца, то, начав скиматться, она не сможет остановить своего скатия до тех пор, пока не превращится в бездонную пропасть — черную дыру.

Так могут возникнуть эти страны объекты. Вопрос только в том, реализуется ли на самом деле во Вселенной такой процесс, может ли в процессе эволюции звезда сохранить столбьшую массу, изменяв взрывов и разрушений, чтобы реализно достичь неизбежного превращения в черную дыру.

Излучение черных дыр

Как мы уже говорили, из недр черной дыры не выходит ничего, поэтому она и называется черной. Тем не менее место черной дыры дает себя знать по мощному потоку излучения. Далекие небесные тела — квазары, расположенные от нас на расстоянии миллиардов световых лет, излучают энергию, в сотни раз превышающего энергию, которое выделяют целые галактики. Что происходит в этих области — мы не знаем. Существует гипотеза, что источниками энергии являются гигантские черные дыры, масса которых превышает массу Солнца в 10⁶—10⁹ раз и которые родились вместе со Вселенной. К сожалению, проверить эту гипотезу очень трудно.

Астрономы (предполагают, что в центре нашей Галактики находится черная дыра с массой около 10⁹ масс Солнца. Вокруг нее обращается другой — примерно такой же (или даже больше) массы, но с большим радиусом. В этой системе возникают потоки вещества, устремляющиеся в направлении черной дыры. Это и маленькие частицы, и большие тела — осокки звезд, разорванных огромными гравицоонными силами черной дыры. Они порождают потоки гравицоонных и электромагнитных волн.

Излучая энергию, частицы все время приближаются к поверхности черной дыры и при этом теряют свою кинетическая энергию. Но запас этой энергии все время восполняется за счет уменьшения потенциальной энергии. (Потенциальную энергию на поверхности черной дыры можно оценить по ньютоновской формуле:

$E_{\pi} = -G \frac{mM}{R_{\text{гр}}} = -\frac{1}{2} mc^2.$

При вычислении по формулам общеей теории относительной коэффициент 1/2 исчезает.) Поэтому тело, падающее с бесконечно большого расстояния (когда $E_{\pi} = 0$ ), имеет запас энергии, равный сумме кинетической энергии $mv^2/2$ (при условии, что $v \ll c$ ) и энергии покоя $mc^2$ . В процессе padения этот запас практически полностью теряется.

Таким образом, с теоретической точки зрения черная дыра оказывается механизмом, который способен «переработать» в излучение всего энергию частиц, включая и энергию покоя. Такой «двигатель», способный работать с коэффициентом полезного действия оченьким к единице, уникален. Было бы неправедливым, если бы природа не реализовала эту возможность.

Итак, у черных дыр могут быть разные обличия. Либо это грустные остатки звезд, некогда блиставших во всем своей великолепии, либо это гигантские «энергетические станции», с которых связывано само существование Вселенной.