Задачи республиканских олимпиад

51

Задание
ресубликанских
олимпид

Многие наши читатели уже включились в начальные этапы очередного цикла Всесоюзной физико-математической олимпиады школьников. «Квант» ежедневно в одном из последних номеров рассказывает о заключительном (всесоюзном) этапе и публикует полный список предлагшихся там задач. Здесь мы печатаем некоторые задачи.respublikанских олимпид 1981 и 1982 гг. Задание 1—5 взяты из рекомендуемого списка задач.respublikанского этапа, составляемого методической комиссии по математике Центральногооргкомитета олимпиды; остальные задачи были предложены местными жюри. После задачи в скобках указаан класс, в котором она предлагалась.

1. Числа $a, b, c$ удовлетворяют соответствиям
   $$\frac{-a+b+c}{a} = \frac{a-b+c}{b} = \frac{a+b-c}{c}.$$
   Чему может равнять число
   $$p = \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}?$$

2. Докажите, что для любых чисел $p$ и $q$ суммарная длина отрезков оси $Ox$, на которых выполняется неравенство $|x^2+px+q| \leq 2$, не превыходит 4. (9)

3. Всюду определенная функция $f$ при любых $x$ и $y$ удовлетворяет соответствию $f(xy)=f(x)\cdot f(y)-f(x+y)+1$, причем $f(1)=2$. Найдите: $a) f(m)$ для произвольного целого $m$; $6) f(\frac{m}{n})$ для произвольного рационального числа $\frac{m}{n}$. (9)

4. Докажите, что многочлен $3x^{1982}+4$ нельзя представить в виде суммы квадратов трех многочленов с целыми коэффициентами. (10)

5. Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$; прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, а прямые $AD$ и $BC$ — в точке $K$. Докажите неравенство $S_{ABCD} > (|AB| \cdot |CD| \times \sin \widehat{AMD} + |BC| \cdot |AD| \cdot \sin \widehat{AKB})/2$. (10)

6. Докажите, что многочлен чисел 1, 2, 3, …, 1413, 1414 можно разить на группы так, чтобы сумма чисел в каждой группе равная 1981. (8)

7. Найдите длину стороны наименьшего квадрата, в котором можно помещить без наложений три круга радиусов 1, 2, 2. (8)

8. Последовательность $(a_n)$ определяется следующим образом: из последовательности натуральных чисел 1, 2, 3, … берем первые три числа (то есть $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=3$), затем следующие два числа пропускаем и берем три числа (то есть $a_4=6$, $a_5=7$, $a_6=8$), четые числа пропускаем, три числа берем, шесть пропускаем и т. д. Вычислите $a_{1000}$. (8)

9. Чемпионат страны по футбольу проходит в два круга. По его окончании выяснили, что команды набрали очки в артифметический прорессии, и последняя команда имеет 17 очков. Сколько команда участвовала в чемпионате? (8)

10. В пятуюольнике проведены все диагонали. Какие семь углов между диагоналями или диагоналями и сторонами надо отметить, чтобы из равенства друг друга этих углов следовало, что пятуюольник правилный? (8)

11. Вычислите при каждом $a$ предел $(\sqrt{[(n+a)^2]}-n)$, где $[x]$ означает наибольшее целое число, не превыходит $x$. (9)

12. Пусть $m_a, m_b, m_c$ — длины медиан $\triangle ABC$. Докажите, что $m_a^2+m_b^2+m_c^2 \geq \frac{3}{4} \sqrt{abc} (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$. Для каких треугольников достигается знак равенства? (9)

13. Точка с координатами $(x(t), y(t))$ движется в плоскости так, что в каждой момент времени $t$ выполнен равенства $y'(t) = \frac{1}{x(t)}, x'(t) = -\frac{1}{y(t)}$. Известно, что в некоторых момент времени точка координаты (12; 3). может ли эта точка в некоторых моментах времени иметь координаты (6; 5)? (9)

14. Докажите неравенство
    $$\left(1 + \frac{1}{2^{51}}\right)\left(1 + \frac{1}{2^{52}}\right)\left(1 + \frac{1}{2^{53}}\right) \dots \times \left(1 + \frac{1}{2^{100}}\right) < 1 + \frac{1}{2^{49}}.$$ (9)

15. Сколько звенев может содержать замкнутая ломанная в пространстве, если ее смежные звеня взаимно перпендикулярны? (10)

16. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной осями $Ox$ и $Oy$, прямоугольник функции $y=\frac{\sin x}{x}$, не меньше 1. (10)

17. Докажите, что если для всех $x \in |-1; 1[$ выполняется неравенство $|a_1\sin b_1x+a_2\sin b_2x+\dots+a_n\sin b_nx| \leq |\sin x|$, то $|a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n| \leq 1$. (10)

18. Существует ли парами, у которой сумма плоских углов каждой многогранного угла равна a) $150^\circ$, b) $210^\circ$, c) $180^\circ$? (10)

19. Автобусные билеты занумерованы натуральными числами от 000 001 до 999 999. Сколько всего цифр 1 встречается на билетах? (10)

20. Решите систему уравнений
    $$\begin{cases} x^2+y^2+z^2=14, \\ xy+xz+yz=11, \\ xyz=6. \end{cases}$$ (10)

Публикацию подготовила
T. A. Сарчева