Уравнение газового состояния

25

Уравнение газового состояния

В. Е. БЕЛОНУЧКИН

Уравнение состояния идеального газа (или просто уравнение газового состояния, или уравнение Менделеева — Клапейрона) описывает связь между параметрами состояния — давлением, температурой и объемом — одной из простейших физических систем. Прост объект, поэтому и уравнение его состояния достаточно простое:

$$pV = \frac{m}{\mu} RT,$$

где $p$ — давление газа, $V$ — его объем, $m$ — масса, $\mu$ — молярная масса, $T$ — температура, $a$ — универсальная газовая постоянная.

Итак, согласно уравнению, давление идеального газа пропорционально его температуре. Как это надо понимать? Означает ли это, например, что всегда при повышении температуры давление газа растет, а при пожежении температуры — падает? Конечно, нет. Это безусловно справедливо, только если не меняются ни объем, ни масса, ни молярная масса. Далее для фиксированной массы определяемого газа с ростом температуры давление может не растить, а падает, если при этом занимаемый газом объем достаточно быстро растет. Возможны и другие ситуации. Пожалуйста, удобнее всего их обсуить на конкретных задачах (все задачи взяты из библиотек приемных экзаменов в Московский физико-технический институт).

Задача 1. Температура и давление неоторной массы идеального газа изменяются, как показано на рис. 1.

Сунке 1. Изменяется ли закимаемый газом объем? Как именно?

Как видно из рисунка, давление с ростом температуры линейно возрастает. может быть, при этом объем остается постоянным? Если нет, то как отличить график процесса, при котором объем не меняется?

При неизменном объете давление не просто растет с ростом температуры, а растет прямо пропорционально температуре. А график прямой пропорциональной зависимости от других линейных графиков тем, что проходит через начало координат. Таким образом, на диаграмме в $p-T$ координатах изхора — прямая, проходящая через начало координат.

Рис. 1. Рис. 2.

Проведем изохоры через интерсуцию нас точки 1 и 2 (рис. 2). Изохоры разные; значит, в состоянии 1 и 2 объемы различны. Какой из них больше? Проще всего это определить при помощи графика. Соединним эти две изохоры, например, избарой 1—3 (или изотермоий 1—4, или любой другой изобарой или изотермоий). На участке 1—3 температура увеличивается при постоянном давлении. Ясно, что при этом объем должен растити.

Итак, точка 2 лежит на изохоре с большим объемом, то есть при перехождение из состояния 1 в состояние 2 объем газа увеличился.

А не может ли все-tаки график на рисунке 1 изображать процесс с постоянным объемом? Впрочем, давайте уточним вопрос.

Задача 2. В сосуде постоянного объема находится целый. К сосуду присоединены манометр и термометр. Показания приборов меняются в соответствии с рисунком 1. Что можно сказать о состоянии газа?

26

В частности, давление в сосуде выше или ниже атмосферного?

В данном случае объем газа не меняется, а давление не пропорционально температуре. Возможно ли такое?

Обратимся к уравнению Менделеева — Клапейрона. Кроме параметров p, V и T в нем фигурируют еще m и μ. Молярная масса геля и изменяется не должна — геляй газ одноатомный и диссоцированать не может. Конденсащий тоже не должно быть, поскольку температура растет. По-видимому, единственная возможность — изменение массы m газообразного геляя.

Так как давление растет медленнее, чем было бы при изохорном процессе для неизменной массы, масса газа должна уменьшаться; то есть газ должен вытекать из сосуда. А это означает, что давление в сосуде больше атмосферного, иначе бы газ не вытекал.

Уравнение Менделеева — Клапейрона позволяет сравнить не только различные состояния одного газа, но и состояния различных газов. Вот пример.

Задача 3. Шаровая молния представляет собой слабо светящейся газовый шар, свободно плавающий в воздухе. Созданное модель Стаханова (одной из моделей, построенных для обжяснения природы и поведения шаровой молнии), газ внутри шара представляет собой комплисное соединение, какая часть которого состоит из иона азота, связанного с нескольким молекулами воды. Потерянные азотом электроны захватываютводой, так что каждая комплисная молекula в целом оказывается нейтральной. Определите, сколько молекул воды связывает каждый он азота, если температура внутри шара t=600°С, а температура окружающей воздуха t0=20°С.

Так как шаровая молния плавает в воздухе, плотность составляющего ее газа равна плотности окружащего воздуха. Давление в молнии, по-видимому, также равно атмосферному. Эти два условия в совокупности дают

$$\frac{p}{\varphi} = \frac{p_0}{\varphi_0},$$ или $$\frac{pV}{m} = \frac{p_0V_0}{m_0}$$

(здесь все величины без индекса относится к комплиссу, а с индексом — к воздуху).

Используя уравнение газового состояния, получаем

$$\frac{T}{\mu} = \frac{T_0}{\mu_0},$$

откуда, зная молярную массу воздуха ($\mu_0=29 \cdot 10^{-3}$ кг/моль), найдем молярную массу комплисного соединения:

$$\mu = \mu_0 \frac{T}{T_0} \approx 86 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль.}$$

Молярная масса atomарного азота равна $14 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, а воды — $18 \cdot 10^{-3}$ кг/моль; следовательно, каждый он азота связывает четыре молекулы воды.

Внешние условия, в которых находится газ, могут быть изменены различными способами, но всякий раз состояние газа можно описать уравнением газового состояния.

Задача 4. Цилиндрический соеденция S=10 см² закрыт массивным поршнем. Внутри соеденция газ. Сосуд начинают поднимать сускорением 2g. Коеда температура газа сравнялась с первоначальной, объем газа под поршнем уменьшился в 1,5 раза. Найдите массу поршня. Внешнее давление $p_0=10^5$ Па.

В неподвижном состоянии силаяжестии поршня уравновешивая разность сил давления газа внутри сосуда и снаружки:

$$mg = (p - p_0)S.$$

При движении соеденция сила, действующая на поршень, сообщает емуускорение 2g, направленное вверх:

$$2mg = (1,5p - p_0)S - mg,$$ или

$$3mg = (1,5p - p_0)S$$

(при неизменной температуре объем уменьшится в 1,5 раза; значит, давление возросло тоже в 1,5 раза). Решая совместно полученные два уравнения, получаем

$$m = \frac{p_0S}{3g} \approx 3,4 \text{ кг.}$$

27

Мы рассмотрели несголько примеров использования уравнения газового состояния (конечно, ими не исчерпывается диапазон задач, в которых находится применение уравнения Менделеева — Клапейрона). Однако не менее важным является вопрос, когда нельзя пользоваться этим уравнением, или, другими словами — какова область его применения.

Модель идеального газа основылася на предпо.оженини малости энергии взаимодействия молекул по сравнению с их кinetической энергейой. Молеклы рассматривают как упругие шарики, взаимодействующие лишь при непосредствном контакте. Размеры этих шариковничтожно малы по сравнению с длиной их свободного пробета.

Конечно, такая модель весма условия. Действительно, как, например, определять размеры молекул? Безусловно, разумно под так называемым эфективным диаметром молекул понимать то расстояние, при соблюдении на котором движение молекул заметно изменяется. Ясно, что при таком определении размер молекул должен зависеть от многих условий, в частности — от температуры. Опыт это подтверждает — он показывает, что с ростом температуры эфективный диаметр молекул уменьшается. Это и понятно: при повышении температуры кинетическая энергия молекул возрастает, молекулы должны близке подойти друг к другу, чтобы потенциальная энергия их взаимодействия оказалась одного порядка с кинетической (начье движение заметно не изменится). Правда, оказывается, что зависит эта оцень слабая и не так уж бессмысленного говорить о конкретных постоянных значениях размеров молекул.

Значительные отклонения от поведения идеального газа у реальных газов начинаются тогда, когда нельзя считать, что молеклы большеую часть времени не взаимодействуют, то есть когда длина свободного пробета молекул — от содержания до содержания — становится сравнимой с размером молекул. В этом случае молеклы находится, в основном, недалеко друг от друга, и их взаимодействием пренебрегать уже нельзя.

При каких же условиях это происходит? Прежде чем ответить на этот вопрос, рассмотрим следующий подход.

Задача 5. Оцените длину свободного пробета молекул воздуха при нормальных условиях. Диаметр молекул прить равным $d = 3,7 \cdot 10^{-10}$ м.

Молекula стокленется с другой молекулой, если расстояние между их центрами оказывается меньше диаметра молекул $d$. Пусть за какое-то время молекula прошла пути $l$. При этом она стокнулась с молеклами, центры которых находится в ломаном цилиндре (изломы в точках стокновеней) длины $l$ и сечения $\pi d^2$. Число молекул в этом объеме $n l \pi d^2$ ($n$ — число молекул в единице объема) и есть общее число стокновеней. Подсчитаем путем от одного стокновения до другого, то есть длину свободного пробета молекул:

$$\lambda = \frac{l}{n l \pi d^2} = \frac{1}{n \pi d^2} = \frac{RT}{N_A p \pi d^2} \approx 8,75 \cdot 10^{-8} \text{ м}$$

(здесь давление $p = 10^5$ Pa, температура $T = 273$ K, число Авогадро $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}$ mol$^{-1}$). Экспериментальное значение для таких условий — $6,20 \cdot 10^{-8}$ м. Расходение связиано, в основном, с тем, что мы считали все молекулы, кроме выбранной, неподвижными. Подробный анализ, выходящий за рамки школьного курса, показывает, что учет относительной движения молекул приводит к изменению длины свободного пробета в $1/\sqrt{2}$ раз. Помножив полученный нами результат на этот момент, получим $6,19 \cdot 10^{-8}$ м.

Не сейчас нас больше интересует другая сторона дела. При нормальных условиях длина свободного пробета примерно в 200 раз больше диаметра молекул, и модель идеального газа работает довольно хорошо. Но если давление возрастет в 100—200 раз (а температура не изменится),лина свободного пробета становится сравнимом молекул. Это значит, что при таких