Комплексные числа

16

Комплексные числа

Академик Л. С. ПОНТРЯГИН

Здесь я прежде всего очень кратко рассказываю о том, как возникли в математике и постепенно утвердились в ней комплексные числа. Затем даю определение комплексных чисел, действий над ними и их геометрическую интерпретацию. Попутно доказываются формулы косинуса и синуса суммы, тесно связанные с умножением комплексных чисел.

Историческая справка

Из курса математики известно, что отрицательные числа ведены прежде всего для того, чтобы операция вычитания, обратная к операции сложения, была всегда возможна. По аналогичной причине в математике появились комплексные числа. Если рассматривать только действительные числа, то операция извлечения квадратного корня, обратная к операции возвления в квадрат, не всегда возможно, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Это, однако, недостаточно, чтобы заводить в математике новые числа. Оказалось, что если произведение вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречается корень квадратный из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему корень квадратный

Определение комплексных чисел

Мы будем исходить из того, что действительные числа нам известны. Мы знаем, что для них определены два основных действия — сложение и умножение — и имеются обратные к ним действия — вычитание и деление. Для этих действий выполются хорsoно извлечные правила, которые обычно употребляются совершенно автоматически — поэтому я их не буду здесь формулировать. Множество объektов, для которых определены действия сложения и умножения и обратные к ним действия вычитания и деления, причем выполены объектные правила, имеющие место для действительных чисел, называется в современной абстрактной алгебре полем.

Таким образом, с точки зрения современной абстрактной алгебре множества R всех действительных чисел представляют собой поле. Поставим теперь перед собой задачу расширить понятие числа или, как

17

говорят в абстрактной алгебре, расширить поле $R$ до поля $K$ таким образом, чтобы в этом новом поле $K$ уравнение

$$z^2 + 1 = 0$$

(1)

имело решение. Элемент поля $K$, который удовлетворяет уравнению (1), мы обозначим через $i$. Таким образом, для $i$ имеем

$$i^2 = -1.$$

(2)

Так как поле $K$ содержит все действительные числа и элемент $i$ и так как в нем возможны действия сложения и умножения, в поле $K$ должны содержаться всевозможные многочлены относительно $i$ с действительными коэффициентами, в частности — все многочлены первой степени, то есть выражения вида

$$z = x + yi = x + iy,$$

где $x$ и $y$ — действительные числа. Эти выражения и называются комплексьми числами. Действия над ними мы определям как действия над многочленами, учитывая при этом условия (2). Комплексные числа вида

$$z = x + 0i = x$$

являются действительными числами. Комплексные числа вида

$$z = 0 + yi = yi$$

называются число минимыми числами.

Пусть $z_1 = x_1 + y_1 i$, $z_2 = x_2 + y_2 i$ — два комплексьных числа. Согласно высказанному правилу сумма и произведение этих комплексьных чисел определяются равенствами

$$z_1 + z_2 = (x_1 + y_1 i) + (x_2 + y_2 i) =$$

$$= (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) i;$$

(3)

$$z_1 z_2 = (x_1 + y_1 i) (x_2 + y_2 i) =$$

$$= x_1 x_2 + (x_1 y_2 + y_1 x_2) i + y_1 y_2 i^2 =$$

$$= (x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + y_1 x_2) i.$$

(4)

При получении последнего равенства мы используем полуаем

$$x_1 z_2 = x_1 x_2 + x_1 y_2 i.$$

(5)

Из формул (3) и (4) видно, что сумма и произведение двух комплексьных чисел есть также комплексе число.

Для того чтобы убедиться, что действие вычитания, обратное действию сложения, существует, достаточно найти число $-z$, противоложное числу $z$, а для того чтобы убедиться в том, что возможно деление, достаточно для $z \neq 0$ указывать число $z^{-1}$, обратное числу $z = x + yi$. Числа эти, как легко видеть, задаются формулами

$$-z = -x - yi,$$

$$z^{-1} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2} i.$$

Таким образом, величина $z^{-1}$, обратная к $z$, существует всегда, когда $z \neq 0$.

Геометрическое изображение комплексьных чисел

Обозначим через $P$ плоскость нашего чертежа и выберем на ней прямуюгольную систему координат (рис. 1). Комплексное число $z = x + yi$ мы помещим в точку $z = (x; y)$ с координатами $x, y$. Обозначим также через $z$ вектор, иуший из начала координат $O$ в точку $z$. Таким образом, буква $z$ обозначает у нас одновременного комплексьное число, точку $z$, изображающего это комплексе число, и вектор $z$, соответствующий этому комплексу числу. При этом изображения действительные числа попадают на ось абсцисс — поэтому ось абсцисс называется действной осью плоскости $P$ комплекского переменного, а число числа попадают на ось ординат — поэтому ось ординат называется минимой осью плоскости $P$ комплекского переменного. Нуль попадает в начало координат.

Рис. 1.

18

Длина вектора $z$ называется модулем комплексного числа $z = x + yi$ и обозначется $|z|$:

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

Комплексные числа $z$, удовлетворяющие условию $|z| = 1$, составляют окружность радиуса 1 с центром в начале координат. На этой окружности лежит число 1. Из точки 1 отключим по окружности дуг заданной длины $\varphi$ в направлении против часовой стрелки. Конец этой дуги обозначим через $(\varphi)$. Если $\varphi$ — отрицательное число, то для получения $(\varphi)$ нужно отложить от точки 1 длину дуги $|\varphi|$ по часовой стрелке. Как известно, абсцисса точки $(\varphi)$ называется cos $\varphi$, а ее ordината sin $\varphi$. Таким образом, комплексное число $(\varphi)$ задается формулой

$$(\varphi) = \cos \varphi + i \sin \varphi.$$

Итак, всякое комплексное число $z$, по модели равное 1, записывается в виде (6). Если $z$ — произвольное комплексное число, модель которого $|z| = \varphi$ отличен от 0, то число $z/\varphi$ является комплексным числом, по модели равным 1, и потому записьется в виде (6). Из равенства

$$\frac{z}{\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$$

мы получаем

$$z = \varphi(\cos \varphi + i \sin \varphi).$$

Запись (7) называется трионометрической формулой комплексного числа. Число $\varphi$ называется аргументом комплексного числа. Если модель $\varphi$ комплексного числа $z$ отличен от нуля, то аргумент $\varphi$ определяен с точностью до слагаемого $2\pi k$, где $k$ — целое число. Если модель $\varphi$ комплексного числа равен 0, то формула (7) также имеет место, однako в этом случае аргумент комплексного числа вовсе не определяен.

Числа $\varphi$ и $\varphi$ называются полярными координатами точки $z$.

Дадим теперь геометрическое источник действия над комплексными числами.

Из формул (3) и (5) следует, что комплексные числа складываются и умножаются на действительные числа, как векторы.

Геометрический смысл сложения комплексных чисел очень виден: вектор $z_1 + z_2$ — это диагональ параллелограмма, построенного на векторах $z_1$ и $z_2$. Отсюда вытекает важное неравенство:

$$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|.$$

Для того чтобы дать геометрическое источковое умножение комплексных чисел, нужно употребить операцию поворота вектора или, что то же самое, комплексного числа. Повернуть вектор $z$ против часовой стрелки на угол $\alpha$, мы получим некоторый новый вектор, который обозначим через $R_\alpha(z)$. Геометрический ясно, что операция поворота $R_\alpha$ имеет следующее свойство: если $\alpha$ — действительное число, то

$$R_\alpha(az) = aR_\alpha(z),$$

$$R_\alpha(z_1 + z_2) = R_\alpha(z_1) + R_\alpha(z_2).$$

Из этих двух формул следует, что если $a_1$ и $a_2$ — два действительных числа, то имеет место соответствие

$$R_\alpha(a_1z_1 + a_2z_2) = a_1R_\alpha(z_1) + a_2R_\alpha(z_2).$$

Непосредственно ясно также, что

$$R_\alpha(1) = \cos \alpha + i \sin \alpha.$$

Докажем теперь, что поворот комплексного числа $z = x + yi$ на угол $\alpha$ равноселен умножению его на комплексное число $\cos \alpha + i \sin \alpha$, то есть что

$$R_\alpha(z) = (\cos \alpha + i \sin \alpha)z.$$

Для этого рассмотрим сначала отдельно поворот на угол $d = \frac{\pi}{2}$. В этом случае $\cos d + i \sin d = i$, и равенство (11) принимает вид $R_d(z) = iz$. С одной стороны, геометрические оценки, что $R_d(1) = i$, $R_d(i) = -1$. С другой стороны, $i \cdot 1 = i$, $i \cdot i = -1$. Таким образом,

$$R_d(1) = i \cdot 1, R_d(i) = i \cdot i.$$

Из формулы (9) непосредственно вытекает