Тепловые процессы в газах

49

Тепловые процессы в газах

Кандидат физико-математических наук
А. И. БУЗДИН,
кандидат физико-математических наук
С. С. КРОТОВ

При переходе от раздела «Механика» к разделу «Молекулярная физика и тепловые явления» учащся не всегда достагоно ясно представляют себе принципы изменения в подходе к описанию изучаемых систем.

Во всех существующих в природе телах происходит движение составляющих эти тела мелчайших частиц (атомов и молекул). Оно, как известно, называется тепловым движением, и его характерная черта — беспорядочность. В механике мы отвлекаем от этого внутреннего движения частиц и изучаем движение тела как целого. Часто можно вообше пренебречь размерами тела при описании его движения и считать тело материалов точкой. Материальная точка — основной объект механики.

В физике тепловых явлений, напротив, надо учитывать хаотическое движение гигантского числа частиц, из которых состоит газы, жидкости, твердые тела (порядка числа Авогадро $N_A \sim 10^{23}$ 1/mоль). При этом главный интерес представляет находжение усереденных величины, описывающих состояние системы в целом, — температуры, давления, плотности и т. п.

Набольшее внимание в школе идеальным газам, подчиняющим Менделеева — Клапейрона

$$pV = \frac{m}{M}RT,$$

где $p$ — давление, $V$ — объем, $m$ — масса, $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура газа.

Тепловым прибессом можно считать любой процесс, при котором изменяется хотя бы один параметр, характеризующий состояние газа. Так, например, при изготовлении процессе над заданным количеством газа температура поддерживается постоянной, а давление и объем изменяются (но $pV = \text{const}$, соответствующего закону Бойля — Мариотта).

Вспомните, что процесс с параметрами газа при изокорическом и изобарическом процессах.

Задача 1. Тепловой процесс, который совершается с газом в замкнутом состоянии, на $V$ — $T$-диаграмме имеет вид окружности (рис. 1). В каких точках максимальны и минимальные температура газа, его объем и давление?

Точки, где максимальные и минимальные объем и температура, указываются легко. Это точки касания данной окружности соответствующими горизонтальными и вертикальными прямыми — изохорами и изотермами. Для ответа на вопрос о давлении постройим на этой же диаграмме изобары.

При изобарическом процессе объем газа при поропционален его температуре:

$$V = \frac{mR}{Mp}T,$$

следовательно, изобары представляют собой прямые линии, проходящие через начало координат, причем наклон их тем меньше, чем больше давление. Теперь ясно, что мы должны проведги из начала координат касательные к окружности. При этом нижняя касательная будет отвечать максимальным давлением, а верхняя — минимальным.

Задача 2. На $p$ — $V$-диаграмме изображен процесс расширяения газа, при котором газ переходит из состояния 1 с давлением $p_0$ и объемом $V_0$ в состояние 2 с давлением $p_0/2$ и объемом

50

2V₀ (пис. 2, а). Изображите соответствующей процесс на p—T- и V—T-диаграммах.

Поскольку на p—V-диаграмме процесс изображается отрезком прямой, давление и объем связаны соотношение p=αV+β, где α и β — константы. Для их определения учет взаимосвязь параметров p и V в состоянии 1 и 2 соответственно:

$$p_0 = \alpha V_0 + \beta, \frac{p_0}{2} = 2\alpha V_0 + \beta.$$

Отсюда

$$\alpha = -\frac{p_0}{2V_0}, \beta = \frac{3}{2}p_0.$$

Таким образом, уравнение теплового процесс в переменных p, V имеет вид

$$p = -p_0 \frac{V}{2V_0} + \frac{3}{2}p_0.$$

Учитывая уравнение Менделеева — Клапейрона, записанное в виде pV=AT (A=mR/M=const), найдем уравнение процесс в переменных p, T:

$$\left( \frac{3}{2}p_0 - p \right) p = \frac{Ap_0}{2V_0} T$$

и переменных V, T:

$$V \left( 3 - \frac{V}{V_0} \right) = \frac{2A}{p_0} T.$$

Так как произведение pV для состояния 1 и 2 одно и то же, конечная и начальная температуры совпадают и равны T₀=p₀V₀/A. В переменных p,

$$T \text{ и } V, T \text{ графики процесс будут участипарабол, изображенных на рисунках 2, 6 и 8:}$$

Задча 3. Как меняется температура газа при тепловом процессе 1—2—3—4—1 (пис. 3)?

На участке 1—2 давление растет при постоянном объеме, значит (в соответствии с законом Шарля), растет и температура. На участке 2—3 температура также увеличивается, поскольку произходит рост объема газа при постоянном давлении (закон Гейлосска). Аналогичные рассудения позволяют заключить, что на участках 3—4 и 4—1 температура падает. Ответ легко получить также, проверяя соответствующие изображения на p—V-диаграмме.

При решении данной задачи подразумевается, что масса газа оставалась все время постоянной. Ответьте самостояльно на такой вопрос: как должна меняться масса газа, чтобы при постоянной температуре тепловой процесса на p—V-диаграмме изображался так же, как на рисунке 3?

Задча 4. На рисунке 4 представлены две изображения газовых газов одинаковой массы. Чем отличаются эти газы, если их температуры одинаковы?

В соответствии с законом Менделеева — Клапейрона,

$$p = \frac{mR}{MV} T,$$

позному единственной причиной тому, почему газ 1 имеет всегда большие давление (при одном и том же объме), является его меньше по сравнению с газом 2 молярная масса.

Вопрос: Могут ли пересекаться какие-либо изображения газов?

Задча 5. Моль идеального газа участирует в тепловом процессе 1—2—3—4—1, изображенный в рис. 5, а. Продолженная отрезков прямых 1—2 и 3—4 проходят через начало координат, а кривыe 1—4 и 2—3 являются изображениями

51

Ми. Изображение этого процесса в $V-T$-координатах и найдите объем $V_3$, если известны объемы $V_1$ и $V_2=V_4$.

Научские 1-2 параметры $p$ и $V$ связаны соотношениям $p=\alpha_1V$, на участке 3-4 $p=\alpha_2V$, причем $\alpha_1>\alpha_2$. Тогда в переменных $V$, $T$ процесс можно описать следующими равенствами: на участке 1-2 $\alpha_1V^2=RT$, на участке 2-3 $T=T_2=$ const, на 3-4 $\alpha_2V^2=RT$ и на 4-1 $T=T_1=$ const. Соответствующий график изображен на рисунке 5, 6.

Так как $T_1=T_4$, то $\alpha_1V^2_1=RT_1$ и $\alpha_2V^2_2=RT_1$, откуда
$$\alpha_1V^2_1=\alpha_2V^2_2.$$

Кроме того,
$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_3V_3}{T_2}.$$

Позатем
$$\frac{V_1^2}{T_1}=\frac{V_2^2}{T_2}, \quad \frac{\alpha_2V^2_3}{T_2}=\frac{\alpha_1V^2_1}{T_1}$$
и
$$V_3=\frac{V_2^2}{V_1}.$$

Важнейшей характеристикой газа является его внутренняя энергия $U$. С точки зрения молекулярно-kinетическая теории внутренняя энергия идеального газа представляется собой среднюю кинетическую энергиюxaотическая движения его молекул. Важно отметить, что внутренняя энергия однозначно связана с состоянием газа.

Изменение внутренней энергии при переходе газа из одного состояния в другое не зависит от способа перехода (от вида теплового процесса), а определяется лишь значениями параметров конечного и начального состояний системы. Так, для одноатомного идеального газа
$$U=\frac{3}{2}\frac{m}{M}RT, \quad \Delta U=\frac{3}{2}\frac{m}{M}R\Delta T.$$

При любом тепловом процессе изменение внутренней энергии $\Delta U$ равно сумме подведенного к системе количества теплоты $Q$ и совершенной над газом работы $A$:
$$\Delta U=Q+A.$$
Это — первый закон термодинамики, а по существу — закон сохранения энергии при тепловых процесах. Его можно сформулировать несколько по-другому:
$$Q=\Delta U+A',$$
где $A'$ — работа, совершенная самой системе.

To, как изменяется температура газа при подвода к нему теплла, определяется тепломкость газа. Теплоемкость $C$ изменяется относительно количества теплоты $Q$, подведенного к газу, к изменению температуры газа $\Delta T:C=Q/\Delta T$. При проведении конкретичных расчетов бывают удобно пользоваться как полной тепломкостью, так и удаленной (в расчете на единицу массы) или молярной (в расчете на один mole). Отметим, что тепломкость зависит не только от свойств газа, но также и от того, при каких условиях ему сообщают теплло, то есть от вида теплового процесса, совершенного над газом.*) Так, например, тепломкость газа при изобарическом процессе $C_p$ всегда больше тепломкости при изохорическом процессе $C_V$.

Подумайте: Чему равна тепломкость газа при адвабатном процессе? А при изотермическом? Возможен ли процесс, при котором тепломкость отрицательна?

Задча 6. В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем массы $M$, находится один mole идеального газа. Газ называют; при этом поршень,

*) Подробнее о тепломкости газа можно прочитать в статье С. М. Козеля и А. А. Шеронова «Теплоемкость идеального газа» («Квант», 1984, № 4). (Примеч. ред.)

52

двигаясь равноскорено, приобретает скорость v. Найдите количество теплоты, сообщенное газу. Внутренняя энергия моля газа U=CT. Теплоемкость сосуда и поршня, а также внешним давлением претензь.

Единственная сила, сообщащая поршню ускорение, есть сила давления газа. Раз поршень движется равноскореенно, значит, давление газа поддерживает постоянным Пусть это давление равно p₀, тогда работа газа

$$A' = p_0 \Delta V = \frac{M v^2}{2}.$$

Из уравнения состояния моля газа

$$p_0 \Delta V = R \Delta T,$$

а из первого закона термодинамики

$$Q = \Delta U + A' = C \Delta T + \frac{M v^2}{2}.$$

Откуда получаем

$$Q = \frac{M v^2}{2} \left( \frac{C}{R} + 1 \right).$$

Задача 7. В верхkalным сосуде объемом V под тяжелым поршнем находится газ при температуре T. Масса поршня M, его площадь S. Для повышения температуры газа на ΔT градусов ему было сообщено количество теплоты Q. Найдите изменение внутренней энергии газа. Атмосферное давление p₀, ускорение свободного давления g. Тренце не учитывать.

Поскольку сообщенное газу количество теплоты известно, чтобы воспользоваться первым законом термодинамики и узнать изменение внутренней энергии газа, мы должны найти работу A, совершаемую над газом. На газ давит поршень с силой F, численно равной сумме сил тяжести поршня Mg и силы атомсферного давления на поршень p₀S. При нагревании газа распряется, поршень движется вверх, то есть против действия внешней силы, поэтому работа A отрицательна и равна

$$A = - F x = - (Mg + p_0 S) x,$$

где x — перемещение поршня.

Во время нагревания сила F не меняется, следовательно, остается постоянным и давление газа, а тогда, в соответствии с законом Гей-Люссака,

$$\frac{V'}{V} = \frac{T'}{T},$$

где V’ = V + ΔV — объем газа после нагревания, a T’ = T + ΔT — его температура. Отсюда находится изменение объема ΔV и перемещение поршня x:

$$\Delta V = V \frac{\Delta T}{T}, x = \frac{\Delta V}{S} = \frac{V \Delta T}{TS}.$$

Теперь мы можем определить работу, совершаемую над газом:

$$A = - F x = - (Mg + p_0 S) \frac{V \Delta T}{TS}$$

и изменение его внутренней энергии:

$$\Delta U = Q + A = Q - (Mg + p_0 S) \frac{V \Delta T}{TS}.$$

Задача 8*. Над идеальным двухатомным газом совершают процесс, в котором давление и объем газа связаны соотношение p=αV. Чему равна молярная темперакость газа при расшириении в таком процессе? Молярная темперакость при постоянном объеме C_V = 5/2 R.

Рассмотрим процесс с одним молем идеального газа. Если его объем не меняется, то работа не совершается и Q = ΔU = C_V ΔT, то есть значение температуры при постоянном объеме сразу же позволяет найти изменение внутренней энергии газа:

$$\Delta U = \frac{5}{2} R \Delta T.$$

Теперь определяем совершаемую работу A'.

Пусть в результате расшириения газа от объема V до V + ΔV его температура изменяется от T до T + ΔT (мы считаем ΔV и ΔT малыми). Давление газа при этом увеличилось от p до p + Δp, где Δp = αΔV. Поскольку ΔV мало, работа газа можно считать равной

$$A' = p \Delta V.$$

Затем запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для моля газа при температуре T и T + ΔT:

$$p V = RT, (p + \Delta p) (V + \Delta V) = R (T + \Delta T).$$

Вычитая из второго уравнения первое и пребегая произведение малых величины ΔpΔV по сравнению с Δp и ΔV, получим

$$p \Delta V + V \Delta p = R \Delta T.$$

Поскольку V = p/α и Δp = αΔV, произведение VΔp = (p/α) (αΔV) = pΔV и pΔV + VΔp = 2pΔV = RΔT.

Отсюда находится работу газа

$$A' = p \Delta V = \frac{R \Delta T}{2}$$

и подведенное к газу количество теплоты.

Таким образом, молярная темперакость газа в данной процессе будет равна

$$C = \frac{Q}{\Delta T} = 3R.$$