Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

53

Упражнения

1. Состояние идеального газа изменяется по циклу АВСDA, изображенную на рисунке 6. В таблице указаны некоторые параметры газа в соответствии with точках цикла.

Вариант 1
(Математiko-механический факультет)

1. Для каких действительных значений $a$ каждое решение неравенства
   $(0,4)^{x^2+1} \geq (6,25)^{a-3x}$ является решением неравенства $x^2-6x+4 < a^2$?
2. Решите уравнение
   $1+\log_{x-2}(4x-11)=2\log_{4x-11}(4x^2-19x+22)$.
3. Решите уравнение
   $2\sin x=\sqrt{4+\cos 3x}$.
4. В равноведренной трапеции, описанной около окружности радиуса $R$, относение длины боковой стороны и большого основа есть заданное число $k$. Найдите длину меньше основа.
5. Две секущие плоскости расположены симметрично относительно центра шара радиуса $R$. Найдите множество возможных значений положений полной поверхности части шара, заключенной между обеими плоскостями к плошади поверхности шара. Считая, что относение равно 7/8, определите расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Вариант 2
(Факультет прикладной математики — процессов управления)

1. В математической модели экономического роста хозяйства, произведение некоторых продуктов для потребления и увеличения запасов основных фондов, $P$ (ежедневное потребление продукта на душу занятых в производстве) и $x$ (число занятых в производстве работных) связаны функциональной зависимости
   $P=\frac{x(M-x)}{x}$,
   где $M$, $b$ — постоянные, характеризующие производственные возможности хозяйства. При $M=250$, $b=8464$ определяйте число работных, соответствующей наиболее значению $P$, в хозяйстве с 80, 90, 120 и 150 рабочими местами.

2. Решите неравенство
   $x>\log_{1/2}(4-x)+\log_{2}(6^x+(x-1)2^x)$.

3. Решите неравенство
   $2+\sin x=\frac{3(1+\cos x)}{\sin x}$.

4. Средняя линейная трапеция делится одной из диагоналей в отношении $k$ и делит трапецию на две части, меньше из которых — площади $S$. Найдите площадь трапеции.

5. В правильной шестиугольной примите угол между стержнями боковых границ равен $\beta$, а сторона основания равна $a$. Найдите площадь диагоналного сечения примыды, содержащшего центр основания. (Диагоналный сечением называется сечение примыды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих в одной грани.)
   Вариант 3
   (Физическая факультет)

6. Определите $a$ так, чтобы сумма квадратов всех решений уравнения
   $2\log_a|x-1|-\log_a x=1$
   равнялась 34.

7. Решите неравенство
   $4x+\sqrt{(6-x)(7-3x)}>0$.

8. Решите уравнение
   $\sin^2 2x-2\cos 2x=1+4\sin^4\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.

9. В равноведренной трапеции боковая сторона равна $c$, а диагональ, равная $l$, делит площадь трапеции в отношении 3/5. Найдите основания трапеции.

10. В правильной шестиугольной примите боковая граница равует угол $a$ с плоскостью

55

2. В закрытом цилиндрическом сосуда, расположенном вертикально, поршень разделяет две равные массы газа. Если температура газа взделе одинаковая, объем нижней части в 3 раза меньше объема верхней части сосуда. Во сколько раз нужно изменить температуру газа внизу, оставив неизменной температуру вверху, чтобы объем нижней части был в 4 раза меньше объема верхней части? Газ считать идеальным.

3. Какое минимальное число батареек с ЭДС $G=10$ В и внутренним сопротивлением $r=4$ Ом нужно соединить параллельно и каким должно быть сопротивление шута, чтобы обеспечить работу нагрузки, расчитанной на напряжение $U=2$ В и мощность $P=25$ Вт?

4. Узкий параллельный пучок лазерного излучения распространяется в среде с показателем преломления $n_1$ на расстоянии $l$ от оси, проходящей через центр произрачного шара радиуса $R$. Ширина пучка много меньше радиуса шара. Найдите угол отклонения пучка от первоначального направления, если шар изготовлен из оптически менее плотного вещества с показателем преломления $n_2$.

5. Теоретический вопрос. Поступаты Бора. Излучение и поглощение энергии атомами.

Вариант 2

1. На горизонтальной поверхности лежит брусок массой $m_1$, а на нем находится брусок массой $m_2$. через систему неевесомых блоков на них действует груз массой $m_3=m_1+m_2$ (рис. 1). Коэффициент треня между брусками равен $\mu$, между нижним бруском и поверхности трене отсутствует. Найдите, при каком соотношении масс бруски движется с одинаковыми ускорениями. Нити нерастижны и неевесомы.

2. Два поршня, скользывающих без трения внутри горизонтального расположенного цилиндрического сосуда, делят его объем на 3 части. В одной части находится идеальный газ с молярной массой $M_1$, в другой — с молярной массой $M_2$, в третьей — с молярной массой $M_3$. Массы газов равны $m_1$, $m_2$, $m_3$, соответственно, а их температуры $T_1$, $T_2$, $T_3$. Найдите соотношения между объемами газей сосуда.

3. Батарея аккумуляторов, соединенных последовательно, подключается один раз к нагрузке с сопротивлением $R_1$, а другой раз — к нагрузке с сопротивлением $R_2$. Сколько аккумуляторов соединено в батарею и какова ЭДС одного аккумулятора, если в обихх случае на нагрузке выделялась одна и та же мощность? Внутреннее сопротивление одного аккумулятора равно $r$.

4. На рисунке 2 даны: $A$ — предмет, $A'$ — его изображение. Найдите положения лины и ее фокусов.

5. Теоретический вопрос. Фотоэфект.

Задача устного экзамена

Математiko-механический факультет, факультет прикладной математики — процессов управления, химический и геологический факультеты

1. Тело свободно падает с высоты $h=270$ м. Разделите эту высоту на три части, также, чтобы на проходение каждой из них потребовалось бы одно и то же время.

2. Веревка выделявается груз массой $m_1=90$ кг при вертикальном подъеме его с некоторымускорением и груз массой $m_2=110$ кг при движении вниз с таким жеускорением. Груз какой максимальной массы можно поднимать с помощью этой вервки с постоянной скоростью?

3. Два шара подвешены на тонких параллельных нитях, касаясь друг друга. Меныший шар отводится на некоторый угол от первого начального положения и отпускается. После удара шары поднимаются на одинаковую высоту. Определите массу меньшего шара, если масса большего $M=0,6$ кг, а удар — абсолотно упругий.

4. В чашечный рутный барометр попал воздух, в результате чего при нормальных условиях барометр показывает $H_0=740$ мм pt. ст., а расстояние от уровня рутии в трубке до запаянного конца $l_0=10$ см (рис. 3). Чему равно истинное значение atmospheric давления при температуре $t=20$ °C, если в этом случае барометр показывает $H=730$ мм pt. ст.? Телловым расшириением рутии и грубки пребегнуть.

5. Некоторые нахождение в воздухе при нормальных условиях. При увеличении температуры воздуха на $\Delta t_1=10$ °C (но постоянном давлении) вес тела увеличивается на $\Delta P_1=0,02$ Н. Как изменится вес тела при увеличении температуры воздуха до $t_2=50$ °C и увеличении давления до $p_2=800$ мм pt. ст.? Расширием тела пребегнуть.

6. После того как в комнате протопили печь, температура поднялась с $t_1=15$ °C до $t_2=27$ °C. На сколько процентов изменилось число молекул воздуха в этой комнате?

7. Два одинаковых резистора с сопротивлением $R$ каждый подключится к источнику с ЭДС и внутренним сопротивлением $r$ сначала параллельно, а затем последовательно. В каком случае потребляется большая мощность во внешней цепи?

8. Волтметр со шкалой на $U=100$ В имеет сопротивление $R=10$ кОм. Какую наиболее сопротивление $R=10$ кОм.