Жозеф Луи Лагранж

3

Жозеф Луи Лагранж
К 250-летию со дня рождения

Кандалат физико-mатематических наук С. Г. ГИНДИКИН

Письмо из Турина. В августа 1755 г. великий Эйлер (1707—1783) получил из Турина письмо от 19-летнего Лагранжа, который и прежде писал ему. У Эйлера, несомненно, уже успел сложиться мнение, что его корреспондент является талантливым сформировавшимся математиком, несмотря на его молодость. И все же содержание последнего письма порazило ученого.

С конца XVII века внимание математиков все более привлекали задачи, которые сейчас принято называть варшационными, а тогда обычно называли изоперметрическими. Все началось с задачи о брахистохроне — крювой наиболее широким между двумя точками. Эту задачу поставил Иоганн Бернулли (1667—1748). Впрочем, задачи о кривых, обладающих теми или иными свойствами максимума-минимума, возникали и раньше: окружность при заданной длине ограничивает фигуру наиболее плошей площади (изоперметрическое свойство, отсюда и название класса задач), пряма — кратчайшее расстояние между точками и т. д. Число таких задачросло, математики с удовлетворением решали их, подбирая свой «ключ с секретом» к каждой из них.

Однако стиль этих расцвета дифференциального и интегрального исчисления требовал попытаться найти общий метод, сформировать исчисление для решения изоперметрических задач. Такой метод нашел в 1732 г. сам Эйлер. Его основное наблюдение состоит в том, что кривые, являющиеся решением этих задач, отвечают решением некоторых дифференциальных уравнений. В вывode этих уравнений он видел основную задачу. Трудность здесь состоит в том, что реб шла о поиске экстремальной кривой (а не экстремальной точки) и поэтому известные примеры поиска экстремума были непримелены. Лишь окольным путем, заменив кривы на ломанье, Эйлеру удалось предолеть эту трудность.

Но Лагранж, с решительностью, присущей молодости, отважился применить именно к кривым основному схему поиска экстремума из общного анализа. Эта схема, как знает сейчас любой девятиклассик, состоит в замене функции $y=f(x)$ на ее главную часть $dy=f'(x)dx$ (ее дифференциаль) с последующим решением уравнения $dy=0$ (то есть $f'(x)=0$). Лагранж придумал соответствующее понятие для кривой $l$, обозначил его $\delta l$ (по аналогии с $dy$); позже $\delta l$ стал называть варшацией. Уравнение $\delta l=0$ и привед его сразу к тем дифференциальным уравнениям — их теперь называют уравнениями Эйлер-Лагранжа, — к которым Эйлер шел кружным путем.

Короткой информации Эйлеру было достигно, чтобы оценить все применущества усвоершенствования Лагранжа. Письмо Лагранжа возродило и у самого Эйлера интерес к экстремальным задачам. Уже в 1756 г. он делает в Берлинской академии два сообщения, связанные с методом Лагранжа. В том же году Лагранж по представлению

4

Эйлера был избран иностранным членом этой академии — редакция для молодого ученого, который не успел опубликовать свои трудов.

Эйлер не торопится публиковать свои новые результаты, предоставляя своему молодому коллеге, не торопясь, подготовить к печати своего работы. Он разъясняет свою позицию в письме от 10 октября 1759 г.:

«Твое английское решение изоперimetрической проблемы содержит, насоклко я вижу, все, чего только можно желать в этой области, и я чрезвычайно рад, что эта теория, который после первых моих попыток я занимался edва ли не один, доведена только до величайшего совершенства. Важность вопроса побудила меня к тому, что я с помощью твого освещения сам выел английское решение. Я, однако, решил скрывать это, пока ты не опубликовешь свои результаты, так как я никогда обозам не хочу отнимать у тебя часть заслуженной тойой словы».

Замечательный пример научной этики!

Письмо Эйлера добавило решимости Лагранжу опубликовать сделанное, и во II томе «Туриинских записок» за 1761—1762 г. появляется его тему «Обыт нового метода для определения максимумов и минимумов неопределенных интервальных формул». В 1764 г. публикует свои результаты и Эйлер, предваряя публикацию словами:

«После того как я долго и бесплатно трудился над решением этого вопроса, я с удивлением видел, что в «Туриинских записах» задача эта решена столь же легко, как и счастливо. Это прекрасное открытие вызвало у меня тем больше восхищение, что оно значительное отличие от данных много методов и значительно их превозходит по простоте».

Заметим, что Эйлер не упоминает предшествовавшей переписки. Эйлер предлагает называть новый метод «варнационным исчислением» по аналогии с дифференциальным исчислением.

Таким был научный дебит Лагранжа. В одном отношении он уникален. Известны и другие примеры, когда великие математики получали первые крупные результаты в том же возрасте, что и Лагранжа. Однако при этом решила она卑но о решении конкретных задач. Интерес же к совершенствованию метода как такового приходит с годами. Мы же видим, что уже в первой работе Лагранжа проявилось то, что будет всегда отличать его в дальнейшем: полное прояснение ситуации, совершенствование метода, поиск первого принципы ценится выше конкретных задач.

Джузепте Луиджи. Мы расссказали о первой великой работе Лагранжа, но все же стоит сказать несколько слов о более ранних события его жизни. Жозеф Луи Лагранж родился 25 января 1736 г. в Турине, в Италии. Впрочем, на родине его называли Джузепте Луиджи. Его предед приехал из Франции и поступил на службу к герцогу Савойскому, а дед и отец продолжали служить в должности казначей фабрики и строений. К рождения будущего математика семьи разорилась.

«Если бы я был богат, я, верятоно, не достиг бы моого положения в математике; а в какой другой деятельности я добавляю бы тех же успехов?» — говорил впследствие учены.

Впрочем, поналу семейные планы предназначаили Жозеф Луи карьеру адвоката, и в 14 лет он определяется в Туриинский университет. Однако всё он перешел в Артиллерийскую школа, что было связано с успешным интересом к математике. В 19 лет он — профессор математики в этой школе (по некоторым сведениям, еще раньше).

Вокруг Лагранжа сложился крупок молодых математиков и физиков, который позднее преобразовал в Туриинскую академию наук. С 1759 г. начинают выходить «Философско-mатематические сборники частного Туриинского научного общества», которые привели называть простой «Туриинскими записами». Мы уже говорили, что во II томе записок появился тему карьеру Лагранжа оварнационном исчислении, а I том содержал две его работы, в том числе статью «Исследование о природах распространения звука».

Основания статики. Лагранжа был душой Туриинского кружка. Опубликованные в «Туриинских записах» статья его товарищей несут отчетливый след сильного влияния Лагранжа. Особенно это относится к статью Фонсене, который был, по видимому, лишь соччастником предприятого Лагранжем систематического продумывания основ механики. Потом с сюжета этой статьи начнет его знаменитая «Аналитическая механика». Речь здесь идет о сопоставлении двух важнейших на杭 statики: принципи рычага и принципа сложения сил, приложенных к одной точке. Архимед положил в основу этой теории рычага аксиому о равновесии рычага с равными плецами и грузами и о двойной нагрузке на точку опоры в этой ситуации. Многие авторы пытались уточнить и дополнить рассудения Архимеда, но они, по словам Лагранжа, «нарушив простоту …почти ничего не выиграли с точки зрения точности». Лагранж отмечает, что первый часть аксиомы естественного считать оченьдовидной из сообщений симметрии: «нельзя устотреть основания, в силу которого один груз перетянул бы другой». Он, однако, не видит никаких логических оснований к тому, что нагрузка на точку опоры при этом должен быть равна обязательно сумме весов грузов:

5

«по-видимому, все механики рассматривают это допущение как результат повседневного наблюдения, которое учит нас, что тяжеть тела зависит только от его массы, но ни в какой мере не зависит от его формы».

Лагранж предлагает вывод второй половины аксиомы Архимеда из первого. Он рассматривает однородную треугольную пластину ABC, где основание AB равноведренного треугольника горизонтального. Вершины A, B нагружаются равными.grзами p, а вершина C грузом 2p. Пластина опирается на среднюю линию MN, паралельную AB (рис. 1). Она будет находиться в равновесии, что следует из рассмотрения пары рычагов AC, CB с точками опоры M, N в силу первой части аксиомы Архимеда. Но тогда в равновесии будет и рычаг CF, где F середина AB с точкой опоры E — серединой CF (в ней пересекаются MN и CF). Следовательно, нагрузка в точке F должна быть равна грузу 2p в точке C (строго говора, здесь применяется обращение первой части аксиомы Архимеда, которое легко выводится), а это в точности нагрузка на точку опоры в рычаге AB. Лагранж аккуратно отмечет, что прием с рассмотрением равновесия плоской пластины относительно стержня онпочерпул у Гюйгена.

Далее, Лагранж рассматривает принцип сложения сил, приложенных к одной точке, который легко обосновывается при помощи рассмотрения сложения движения. Существняя разница в принципах состоит в том, что в одном случае сил прикладываются к разным точкам, а в другом — к одной. Тем не менее многие утверждения статики можно выводить как из одного принципа, так и из другого. Возникает желание вообще отказывать от принятия принципа рычага за аксиomy, но Лагранжа настояживает, что все известные выводы аксиомы Архимеда из закона сложения сил весма искусственные:

«…хотя, строго говора, оба принципа рычага и сложения движения всегда приводят к одним и тем же результатам, интересно отметить, что наиболее простой сил для одного из этих принципов становится наиболее сложным для другого».

Интущия позволяет Лагранжу безшибочно обнаружить тонкое место, хотя он и не смог до конца объяснить его. Оно связано с взаимношенное механики и геометрии. Дело в том, что закон сложения сил, приложенных к одной точке, не зависит от аксиомы паралельных, в то время как в пространстве Лобачевского нагрузка на точку опоры рычага всегда превышает сумму весов приложенных грузов. В выводе второй половины аксиомы Архимеда используется утверждение о том, что высота равноведренного треугольника пересекается со средней линий в ее середине; а это опирается на аксиomy паралельных и не справедливо в геометрии Лобачевского. По-видимому, Лагранж еще не знал этого, хотя известно, что он размышлял над проблемой V постулата.

Приципи наименшено действия. Во II томе «Турииских записок» следед за темуаром о варианционном исчислении была помещена статья Лагранжа «Приложение метода, изложенного в предыдущем темуаре, для решения различных задач динамики». И здесь Лагранж следует по стопам Эйлера. В 1744 г. Мопертион (1698—1759) формулировал очень общий и туманный принцип, согласно которой все в природа, включая механическое движение, происходит так, чтобы некоторая величина — действие — достигала своего минимального значения. Эйлер для случая движения

6

точки в центральном поле превращил это неопределенное утверждение в совершенно точное, определяв действие в этом случае как интерgal скорости по пути §v ds. Лагранж обобщил прицили Эйлера на случай произвольной системы точек, между которых имеются связи и которые взаимодействуют произвольным образом. Определив действие в этой системе, Лагранж, пользовясь разработанной им технической вирнационного исчисления, решает разнообразные задачи диагностики, включая гидродинамику. Как пишет Фурье (1768—1830):

«Он своит все законы равновесия и движения к одному прицилиу и, что не менее удивительно, он их подчиняет одному методу исчисления, изобретателем которого он сам является».

Посещение Парижа. В 1766 г. Лагранжу исполнилось 30 лет. Это был важный рубеж в его жизни. Он признан в научном мире: в 1764 и 1766 гг. он удостаивается премий Парижской академии за исследование движения Луньи и спутников Юпитера. Провинциальный Турин становится темen для научной деятельности Лагранжа. В личной жизни он был непритязательен, отличался слабым здоровым, его скромность в общении с людьми передко приобретала формуステенчивости и даже неподимости. Он вел общирную переписку, но как много дает непосредственное общение с учеными, Лагранж имел возможность убедиться во время поездки в Париж в 1755 г. Лагранж сопроводал своего друга Карачили, назначенного посланником в Лондон. Впрочем, до Лондона Лагранж не доехал.

«Опасно заболев после обеда у аббата Нолле, на котором Нолле угощал его кушаньями, приготовленных на итальянский лад, Лагранж не мог поехать в Лондон, а остался длялечения в Париже и по вздорлении поспешил вернуть в Турин», — вспоминал его друг и биограф Деламбр.

Дело было в том, что в сверной Италии для приготовления пищи использоват косторовое масло, предварительно сливно прожаренное. На кухне у Нолле, где решили приготовить обед «на итальянский лад», воспользовались косторовым маслом без необходимой подготовки, и оно в полной мере проявило свои известные лекарственные свойства. Оdnako в научном плане более была плодотворной. Лагранж много общеется с крупнейшими французскими математиками Даламбером (1717—1783), Клеро (1713—1765), Кондорсе (1743—1794), но и среди менее значенных ученых были также, которые остались его друзьями на всю жизнь. Лагранж недократно повторял, что эти полгода, проведенные в Париже, были самым счастливым периодом в его жизни.

Лагранж в Берлине. В 1766 г. Эйлер узжеает из Берлина в Петербург, освободив место директора физико-mатематического класса Берлинской академии наук. Он предлагает Фридриху II в качестве своего преемника Лагранжа. Эта кандидатура была энергично поддержана Даламбером, с меньшим которого король считался в еще большей степени. Уже в ноябре 1766 г. Лагранж в Берлине, хотя король Сардинни неохотно расстался с ученым. Лагранж оказался в академии не в лучшие ее дни. Здесь не было ни Эйлера, ни Даламбера, ни Мопертион. Оdnako здесь работал очень оригинальным математиком Ламберт (1728—1777), доказавший в частности, irrationalность числа л. У Лагранжа и Ламберта много точек соприкосовения в математике, чем-то они наполняют друг друга и по-человечески. Их другба продолжалась десять лет до смерти Ламберта и была очень существенно для них обонх. Нелегко было замкнутому Лагранжу приспособиться к жизни прусккого двора. Но он, в отличие от Эйлера, смог это сделать и избежать конфликтов. Лагранж ведет размеренную жизнь: внешние обязаности, встречи, переписка занимают большую часть дня, но весь вечер после обязательной прогулки отдел занятым наукой в тишине, за закрытыми дверями.

«Аналитическая механика». Лагранж провел в Берлине чуть больше двадцати лет. Это была пора его зрелости, самый продукттивный период его жизни. Есть несколько великих ученых, в наследии которых есть одна главная книга («Начала» у Ньютона, «Маятниковые часы» у Гюйгена). У Лагранжа такой книгой была «Аналитическая механика». Она вышла в 1788 году, когда Лагранжа был уже в Париже. Но она выбрала в себя то главное, что было сделано в Берлине, а задумано еще в Турине. Замысел книги лучше всего условить из слов самого автора:

«Имеется уже несколько руководств по механике, но план этого социенника совершенновый. Я имел в виду привести всю теорию этой науки и искусство решения относится к ней задач к общим формулам, простое развитие которых давало бы все необходимые для решения всякой уравнения».

Итак, коротко говоря, Лагранж собирается показать, что чисто аналитических процесур достаточно для решения механических задач (чтоЫ подчернуть это, Лагранж демонстративно не пользовается чертежами), что можно предложить «однообразные» (как мы бы сказал сегодня, алгоритмические) правила рассмотрения таких задач и что имеются простые общие прицилиы, на которых все механика

8

Алгебраические размышления. Проблемы алгебраических уравнений и их систем запимали Лагранжа в разных аспектах. В 1770—71 гг. вышел мемуар «Размышления об алгебраическом решении уравнений», несомненно задуманный еще в Турине. Собственное, это целая книга, занимающая более 200 страниц, которая, по словам Коши, знаменовала начало новой эры в алгебре. Наряду с «Аналитической механикой» это вершина творчества Лагранжа.

Лагранж стремится разрешить следующую задачу: почему не удается получить формулу для корней алгебраических уравнений степени, больше 4. Он подвергает анализу выражения, стоящие под радикамами в формулах для квадратного и кубического уравнения, приведя убедительные аргументы в ползу того, что для уравнения 5-й степени аналогичные выражения, а значит, и формулы существовать не могут. Это доказал позднее Абель, а общее глубокие идеи о перестановках корней послужили Галуа (1811—1832) отправной точкой для построения его великой теории.

Кризис. Математика была единственной страстью Лагранжа и ее было достаточно, чтобы заполнить всю его жизнь, доставить ему немало счастьых минут. Все остальное было подчинено занятиям наукой. Деламбр передает относение Лагранжа к музыке:

«Я ее люблю, поскольку она меня изолирует; я слышу первые три такта, на четвертом также не различаю ничего, я предаюсь своим размышлениям, ни что меня не прерывает, и тогда я решаю наиболее трудные из проблем».

Для Лагранжа было характерно, что великие цели позначения истинны, мировой гармонии не переплетались у него с личными амбициями, с желанием совершать, обгорать современников. Если он узнал, что кто-то успешно занимается проблемой, над которой он сам думал, он немедленно прекращал размышления с искреннимощущением «освобоження от обязательности». Влагодаря всегда этому Лагранжу было присуше необычайное душевное равновесие, давшее силы стояко переносить тяготы жизни, не прекращать напряженных занятий.

Лишь одно могло поколебать Лагранжа — потеря ориентиров, неверенность в выборе правильных целей. И это осуществление начинает появляться вскоре после переезда в Берлин. В 1772 г. он пшет Даламберу: «Не каждец ли Вам, что вышла геометрия близости к упадку, ее поддерживает только Вы и Эйлер». Это пшет учены, который находится в расцвете сил (ему 36 лет), у которого начинает складывать его «Аnalитическая механика» и который только что опубликовал алгебраический тему, определяющий развитие алгебры на 100 лет вперед!

Ошущение заката математики не покидает Лагранжа. 21 сентября 1781 г. он опять пшет Даламберу:

«Я начинаю чувствовать силу моеи инерции, которая понемного увеличается, и я не могу сказать с уверенностью, что в течение будущего десятилетия я еще буду заниматься математкой. Я думаю также, что шахта становится слишком глубока и что ее придает рано или поздно бросить, если не будут открыты новыерудонские жили».

В Париже. Предчувствие не обманную Лагранжа. В 1787 году, вскоре после смерти Фридриха II, он переехал в Париж и, по существу, прекращал активные занятия математикой. Лагранжу 51 год. В один 1783 год мир лишился и Эйлер, и Даламбера. Лагранжа восторженно встречал французские учены, теперь он несомненно «первыгет Европы», и лишь Лапас может всегда конкурировать с ним. К Лагранжу неравнодушны при дворе. Он необычно легко отвлекается от геометрии в ползу занятой философией, химей, историй, медициной, активно участвует в опытах великого химика Лавузье (1743—1794). Но вскоре наступило французских учены перевали в период революции, в котором учены приняли само активное учение. Никогда прежде не представлялась для них возможность непосредственно влиять на жизнь страны. Они входят в мунципалитет, Учредительное и Законодательное собрания; астроном Байи становится мэром Парижа, математик Лазар Карно возглавляет оборону Франции (его называли «организатором побед»), а Монж морским минстром. Резко активизировался и деятельности учены, направленная на решение практических задач.

Лагранж держится в стороне от политики. Закон 1793 г. предписывает иностранцам покинуть Францию, но специальный декрет Комитета общественного спасения делает для Лагранжа исключение. В самые трудные дни он не покидает Франции, разделяя судьбу своих коллег. Участие в политической жизни столицы Байи, Кондорсе. Лавузье был казен как откупщик. Лагранж приставно наблюдает за проискодящим. Деламбр сохранил слова Лагранжа, сказанные после гильотинирования Лавузье:

«Нужен был один момент, чтобы снести эту голову, и, может, будет недостаочно стает, чтобы появился подобная».