Задачи XLIX Московской городской математической олимпиады

57

Задание XLIX Московской городской математической олимпiadы

Заключительный тур 49-й Московской городской математической олимпiadы составляет 16 февраля в Московском университете. В нем участвовали 608 школьников 7—10 классов. Ниже приведется задачи этого тура, предложенные С. Б. Гашковым, М. Пентусом, А. В. Рябининым, Н. Н. Сергеевым, Н. Г. Царьковым.

7 класс

1. На лице профессионой бумаги нарисован четырехугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырехугольник ромбом.

2. Докажите, что ни для каких чисел x, y, t не могут одновременно выполнять три неравенства: |x| < |y-t|, |y| < |t-x|, |t| < |x-y|.

3. Три гнома живут в разных домах на плоскости и ходят со скоростями 1, 2 и 3 км/ч соответственно. Какое место для ежедневных встреч нужно им выбрать, чтобы сумма времени, необходимых каждому из гномов на путь от своего дома до этого места (по прямой), была наименьшей?

4. Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеетровно 1986 различных простых делителей. Докажите, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.

5. Известно, что кодуом замке исправы только ключ с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трехзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и вправильном порядке нажаты все три цифры его кода).

8 класс

1. См. задачу 1 за 7 кл. с заменой ромба квадратом.

2. Найдите все натуральные числа, не представимые в виде разности квадратов киххлоб натуральных чисел.

3. Докажите, что если $a_1 = 1$, $a_n = 1/2 (a_{n-1} + 2/a_{n-1})$ при $n = 2, \dots, 10$, то $0 < a_{10} - \sqrt{2} < 10^{-370}$.

4. Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли буряном. Известно, что бурян за год распространяется на те и только те участки, у каждой из которых не менее двух соседних участков уже порожены буряном (участки соседние, если они имеют общую стороны). Докажите, что полностью все поле буряном не зараctet.

5. Докажите, что система неравенства
   $$\begin{cases} |x| > |y-z+t|, \\ |y| > |x-z+t|, \\ |z| > |x-y+t|, \\ |t| > |x-y+z| \end{cases}$$
   не имеет решений.

9 класс

1. На лице бумаги отмещены точки A, B, C, D. Распознайте устройство может абсолотно точного выполнять два типа операций: a) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданным точками; b) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определять, является ли четырехугольник ABCD прямойolgник?

2. Из точки M по плоскости с постоянной скоростью полетует муравей. Его путь представляется собой спираль, которая наматывается на точку O и готовится на некоторой своей части относительно этой точки. Сможет ли муравей пройти все свой путь за конечное время?

3. Решите систему неравенств
   $$\begin{cases} |x| < |y-z+t|, \\ |y| < |x-z+t|, \\ |z| < |x-y+t|, \\ |t| < |x-y+z|. \end{cases}$$

4. Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеетровно 10 различных простых делителей. Докажите, что произведение некоторых четырехугольника ABC продолжана до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).

5. На координатной плоскости нарисованы круги радиусом 1/14 с центрами в каждой точке, у которой обе координаты — целые числа. Докажите, что любая окружность радиусом 100 пересечет хотя бы один нарисованный круг.

10 класс

1. См. задачу № 1 за 9 кл. с заменой прямойolgника ABCD квадратом.

2. Биссертиса угла A треугольника ABC продолжана до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).

3. Решите уравнение $x^4 = 4(x > 0)$.

4. Докажите, что ни для каких векторов a, b, c не могут одновременно выполнять три неравенства
   $$\sqrt{3}|a| < |b-c|, \sqrt{3}|b| < |c-a|, \sqrt{3}|c| < |a-b|$$

5. Найдите минимум по всем a, β максимума функции
   $$y(x) = |\cos x + \alpha \cos 2x + \beta \cos 3x|.$$

Избранные задачи
Ленинградской городской олимпiadы по математике

Заключительный тур (по традиции — устный) Ленинградской городской олимпiadы по математике составляет 16 февраля. Задание 1—4 и 5) входили в число 7 задачи, предлазшихся вовмилклассикам, задание 1, 2, 6—8 — девятклассикам, задание 56), 9—12 — десятиклассикам. Задание предложили целые многочлены С. Генкин, А. Гольберг, Л. Курляндчик, А. Меркурьев, Н. Нечетаев, А. Плоткин, Д. и С. Фомины.

1. Докажите, что в любом многоугольнике найдет сторона BC и вершина A, отличная от B и C, также, что основание перpendикуляра,