Задачи М1001—М1005; Ф1013—Ф1017

Квант 1986, №9 с. 36-37 Тег X003

Задачик
кванта

Задачи

M1001 — M1005; Ф1013 — Ф1017

M1001. В куче 1001 камень. Она произвольно делится на две кучи, подсчитывает число камней в них и записывает произведение этих двух чисел. Затем с одной из этих куч (в котором больше одного камня)produlates та же операция: она делится на две и записывает произведение чисел камней в двух новых образовательных кучах. Затем та же операция повторяется с одной из трех получившихся кучи и так далее, пока во всех кучах, не станет по одному камню. Чему равняется сумма 1000 записанных произведений?

A. C. Меркурьев

M1002. a)*Рассейный математик, забив трехзначный код своего подъезда, нажimaет кнопки (с цифрами 0,1,…,9) по одному в секунду. Дверь открывается, если три цифры кода в нужном порядке будут набранны подряд. Математик уверен, что даже в случае «крайнего невезения» (если нужная комбинация встретиется последней) он смотет войти в подъезд не позже чем через 16 мин. 42 сек (1002 сек). Прав ли он? Как он должен действовать, чтобы попасть домой за напменные времен?

Ответьте на последний вопрос, если 6) исправны только кнопки с цифрами 1, 2, 3 (другие цифры в код не входят);
в)*исправны все кнопки, но математик помнит, что все три цифры кода различны.

M1003. В треугольнике ABC проведены три высоты АH, BK, CL. Доказите равенства
AK · BL · CH=AL · BH · CK=HK · KL · LH

C. A. Генкин

M1004. Через вершину A треугольника ABC, в котором AB≠AC проводятся всевозможные прямые. Доказите, что a) на каждой их них найдется на более одной точки M, отличной от вершин треугольника, для которой ∠ABM=∠ACM;
б) имеется не более пяты из этих прямых, на которых нет ни одной такой точки M.

O. P. Мусин

M1005. Клетки квадратной таблицы размер n×n (n≥3) заполняются числами ±1 по следующим правилам:

во все граничные клетки таблицы помещаются числа — 1;
число, помещаемое в очередную незаполненную

гаем нашим читателем (кроме московцев и ленинградцев) присылать их решения до 1 декабря — они также будут учитывать в конкурсе «Задачника Кванта». Номиналем, что при определении победителей конкурса, принимаемых на республиканские олимпiadы, мы сможем учеть письма, полученные не позже 10 декабря.

клетку таблицы, равно произведению ближайших к этой клетке чисел, расположенных по разные стороны от нее и лежащих или в одной строке с ней, или в одном столбце с ней. Так делается до тех пор, пока все клетки таблицы не будут заполнены.

a) Какое наиболее количество +1 может получить в таблице?
b) Какое наиболее количество +1 может получить в таблице?

Н. Х. Адаханов

Ф1013. Два спортмена стоит в точках А и В и держат резиновый шур. По сигналу спортмена А начинает двигаться на восток со скоростью $v_0=1$ м/с, а спортмена B — на юг с постояннымускорением. Найдите это ускорение, если известно, что узел B, завязанный на шнуре, при движении прошел через точку Γ (рис. 1; масштаб указана на рисунке).

С. С. Кротов

Ф1014. Мощный трансistor, выделяющий тепло, закреплен на теплотводящей пластине, обдуваемой воздухом, температура которого равна 30 °C. На рисунке 2 показано распределение температур на пластине. Определите рассеиваемую мощность. Известно, что равномерно нагретая до 70 °C пластина рассеивает мощность $P=10$ Вт при температуре воздуха 20 °C. Теплоотдача пропорциональна разности температур пластины и воздуха.

А. Р. Зильберман

Ф1015. Схема, приведенная на рисунке 3, содержит 50 разных амператоров и 50 одинаковых волтметров. Показания первого волтметра $U_1=9,6$ В, первого амператора — $I_1=9,5$ мА, второго амператора — $I_2=9,2$ мА. Определите по этим данным сумму показаний всех волтметров.

А. Р. Зильберман

Ф1016. В катушку может свободно втяиваться ферромагнитный сердечник массой $M=0,01$ кг. Катушку подключили к источнику с напряжением $U=100$ В, и через нее протек ток, показанный на рисунке 4. Оцените начальную индуктивность катушки. Пренебрегая потерями, найдите скорость сердечника в момент $\tau=10^{-3}$ с.

В. Е. Скороваров

Ф1017. Крупнейший в мире советский телефон имеет в качестве объектива зеркало диаметром $D=6$ м. Какое время потребуется, чтобы, сравнивая полученные на этом телефоне фотонимки, можно было заметить взаимное вращение нашей Галактики и туманности Андромеды вокруг общего центра масс?

Расстояние до Андромеды $R=1,42 \cdot 10^{11}$ $R_0$ , где $R_0$ — радиус орбиты Земли. Массы Галактики и Андромеды равны, соответствующей, $M_\Gamma=2,5 \times 10^{11}$ $M_0$ , $M_A=3,6 \cdot 10^{11}$ $M_0$ , где $M_0$ — масса Солнца. Фотографирование ведется в видимом свете на длине волны $\lambda=5 \cdot 10^{-7}$ м.

В. Е. Белонучкин