Цепи переменного тока

51

Цепи переменного тока

А. Р. ЗИЛБЕРМАН

Переменный ток (или напряжение) представляет собой вынужденные электрические колабания. Величина тока изменяется со временем по гармоничческому закону

$$i = I_m \cos(\omega t + \varphi_0),$$

где $I_m$ — амплитуда, $\omega$ — крутовая (циклическая) частота (она измеряется в радианах за секунду, а пишут просто $c^{-1}$), $\varphi_0$ — начальная фаза колабания. Аналогичное вынуждение можно записать и для переменного напряжения.

Пример. Запишем зависимость от времени напряжения сети: 220 В, 50 Гц. В этом случае амплитуда $U_m = U \sqrt{2} = 220 \sqrt{2}$ В≈311 В (напомним, что $U = 220$ В — это действующое значение напряжения), крутовая частота $\omega = 2\pi v \approx 6,28 \cdot 50 \text{ c}^{-1} \approx 314 \text{ c}^{-1}$. Пусть еще нам известно, что в момент начала отчета ($t=0$) напряжение было равно $u_0 = 50$ В и убывало. Тогда мы сможем найти начальную фазу $\varphi_0$:

$$u_0 = U_m \cos \varphi_0,$$

откуда $\varphi_0 = \arccos \frac{u_0}{U_m} \approx 1,4$ рад

(подумайте сами — где мы учили убывание напряжения). Итак,

$$u = 311 \cos (314t + 1,4).$$

Видно, что надлежащим выбором начала отчета времени — а это в нашей власти — можно сделать $\varphi_0$ каким угодно, в частности нулем. Этим часто пользовется и без спецальных оговорок записывают

$$u = U_m \cos \omega t.$$

Расчет цепей переменного тока обычно сводится к тому, чтобы при заданном напряжении источника определить токи. Совсем просто расчитывать токи в цепях, содержащих только резисторы. В любом месте такой цепи ток изменяется «в такт» с

52

Рис. 1.

приложенным направлением, то есть отсутствует сдвиг фаз между током и направлением. Сложнее обстоит дело, если в цепи есть накопители энергии — катушки и конденсаторы. В этом случае моменты максимумов направления и токов могут и не совпадают — появляются соответствующие сдвиги фаз. Известно, например, что при включении в сеть катушки максимумы тока отстают от максимумов направления на четверть периода (сдвиг фаз π/2), а при подключении конденсатора — наоборот, опережают на четверть периода.

При расчетах в цепях постоянного тока можно просто складывать величины направления на последовательно соединенных элементы и величины токов на разветвленных участках цепи. В случае переменного тока все сложнее — амплитуда суммы не всегда равна сумме амплитуд. Например, амплитуда суммы двух токов по 1 А каждой может оказаться любой — от 0 до 2 А, нужно обозначить учитываясь сдвиги фаз. Для расчета цепей переменного тока часто применяют удобный графический метод — метод векторных диаграмм. Он основан на простой идее.

Пусть вектор $\vec{A}_0$ (длиной $A_0$) врашает всяorkруг одного из своих концов против часовой стрелки с угловой скоростью $\omega$. Тогда проекция второго конца на ось $X$, начало которого находится в центре врашения (рис. 1), равна $x = A_0 \cos (\omega t + \varphi_0)$.

To есть получается именно та функция, которая нас интересует. (Собственно говоря, круговую часть объзачают той же буквой, что и угловую

Рис. 2.

скорость, как раз име в виду эту модель.) На этом же рисунке можно изображить еще один вектор $\vec{A}_1$, соответствующий другой функции с амплитудой $A_1$ и начальной фазой $\varphi_1$. При $\varphi_1 > \varphi_0$ вектор $\vec{A}_1$ «опережает» вектор $\vec{A}_0$ на угол $\Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_0$. Важно, что $A_0$ и $A_1$ могут иметь и различную размерность (например, $A_0$ может изменяться в волтах, а $A_1$ — в амперах).

Теперь о самом метода. Что такое «векторная диаграмма»? Это чертеж, на котором изображены в виде векторов (взапнее выбранном масштабе и с учетом сдвигов фаз) направления и тoki исследуемой цепи. В рассматриваемом нами случае гармоничных колебаний (в других случаях это неверно!) все эти векторы врашают в одну сторону с одинаковой угловой скоростью $\omega$, и углы между ними остаются постоянными, поэтому о врашении можно не говорить и рисовать «неподвижную» картину. Если чертеж построен — задача уже решена, ведь он содержит все необходимые сведения о направлениях и токах интерресуций нас цепи. Метод построения векторных диаграмм — это и есть способ получения таких чертежей.

Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Задание 1. На рисунке 2 изображена простая электрическая цепь, содержащая последовательно соединенные конденсатор и резistor. Амплитуда тока в цепи составляет $I_m = 0,1$ А. Найдите амплитуд направления источника и сбез фаз между этим направлением и током в цепи.

Выберем подходящие масштабы для изображения токов и направлений. Нарисуем произвольно (так, как нам удобно!) вектор $\vec{I}_m$ (рис. 3). Тепер мы можем нарисовать вектор $\vec{U}_{Rm}$, изображенной направлением на резistor (изображим его другим цветом, чтобы не путать векторы направлений и то-

53

ков). Его модуль
$$U_{Rm} = I_m R = 50 \text{ В}.$$
По направлению вектор $\vec{U}_{Rm}$ совпадает с вектором $\vec{I}_m$ (ведь сдвиг фаз между током и направлением резистора равен нулю). Вектор направления на конденсаторе $\vec{U}_{Cm}$ равен по модулю $U_{Cm} = I_m X_C = 100 \text{ В}$, где $X_C = 1 / (\omega C) = 1 \text{ кОм} - \text{емкостьное сопротивление},$ и отстает на $\pi/2$ по фазе от тока. Нарисуем и этот вектор. Наряжение на источнике $\vec{U}_m$ соответствует сумме векторов $\vec{U}_{Rm}$ и $\vec{U}_{Cm}$:
$$U_m = \sqrt{U_{Rm}^2 + U_{Cm}^2} \approx 112 \text{ В}.$$
Заметим, что мы уже нашли (нарисовали!) угол между током $\vec{I}_m$ и направлением всей цепи $\vec{U}_m$. Этот угол можно просто изменить трансортиром или посчитать тригонометрическим:
$$\text{tg} \varphi = \frac{U_{Cm}}{U_{Rm}} = 2,$$
$$\varphi = \arctg 2 \approx 1,1 \text{ рад} \approx 64^\circ.$$
Эту задачу можно сформулировать немного по-другому: задать амплитуду направления источника, например $U'_m = 220 \text{ В}$, а найти амплитуду тока в цепи. Такая задача сложнее — ведь мы должны найти рисовать диаграмму, не зная амплитуды тока $I'_m$. Тут есть две возможности. Первая — решить вспомогательную задачу о нахождения амплитуды направления $U_m$ при заданном токе $I_m$ (мы только что такую задачу обсуили), а затем записать оченьное соответствие
$$\frac{U'_m}{U_m} = \frac{I'_m}{I_m}$$
и найти из него амплитуду тока $I'_m$:
$$I'_m = I_m \frac{U'_m}{U_m} \approx 0,18 \text{ А}.$$
Вторая возможность — рисовать диаграмму не в конкретном численном масштабе, а в общем виде. При этом отношения длины векторов остаточной теми же, а значит, и углы между ними не изменяются. Полученную из диаграммы формулу
$$U'_m = \sqrt{(U'_{Rm})^2 + (U'_{Cm})^2} = \sqrt{(I'_m R)^2 + (I'_m X_C)^2}$$
мы используем для нахождения $I'_m$:
$$I'_m = \frac{U'_m}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} \approx 0,18 \text{ А}.$$
Способы эти по сложности примерно равноены.

Рис. 4.
Задача 2. К источнику переменного направления подключены две направленные ветви. Амплитуда тока в первой $I_{1m} = 1 \text{ А}$, во второй $I_{2m} = 0,3 \text{ А}$. В каких пределах может находиться амплитуда тока, протекающего через источник? Каким может быть максимальный сдвиг фаз между током и током в первой ветви?

Решение ясно из рисунка 4, на котором изображена векторная диаграмма для данной цепи (вектор $\vec{I}_{2m}$ нарисован так, чтобы его удобнее было складывать с вектором $\vec{I}_{1m}$):
$$I_{1m} - I_{2m} \leq I_m \leq I_{1m} + I_{2m},$$
$$0,7 \text{ А} \leq I_m \leq 1,3 \text{ А}.$$
Максимальный угол между $\vec{I}_m$ и $\vec{I}_{1m}$ соответствует:
$$\sin \varphi_{\max} = \frac{I_{2m}}{I_{1m}} = 0,3,$$
$$\varphi_{\max} \approx 0,31 \text{ рад} \approx 18^\circ.$$
При этом $I_m = \sqrt{I_{1m}^2 - I_{2m}^2} \approx 0,95 \text{ А}$. Угол между $\vec{I}_m$ и $\vec{I}_{2m}$ может быть любым (от — $\pi$ до +$\pi$).

Задача 3. В схеме, изображенной на рисунке 5, найдите ток, текущий через источник, и свыше фаз между этим током и направлением источника.

Начнем рисовать диаграмму, задавшись током через катушку. Положим, например, $I_{Lm} = 0,1 \text{ А}$. Тогда направление на катушке $\vec{U}_{Lm}$ равно по модулю $U_{Lm} = I_{Lm} X_L = 100 \text{ В}$, где $X_L = \omega L = 1 \text{ кОм} - \text{индуктивное сопротивление},$ и определяет ток $\vec{I}_{Lm}$ по фазе

Рис. 5.

54

на π/2 (рис. 6). Ток через резистор с сопротивлением $R_2$ определяется этим напряжением совпадает с ним по фазе:

$$I_{R_2m} = \frac{U_{Lm}}{R_2} = 0,05 \text{ A}.$$

Тогда общий ток

$$I_m = \sqrt{I_{Lm}^2 + I_{R_2m}^2} \approx 0,112 \text{ A}.$$

Напряжение $\vec{U}_{R_1m}$ на резисторе с сопротивлением $R_1$ совпадает с этим током по фазе:

$$U_{R_1m} = I_m R_1 \approx 112 \text{ B}.$$

Затем найдем суммарное напряжение $\vec{U}_m$ (сумму векторов $\vec{U}_{R_1m}$ и $\vec{U}_{Lm}$). После простых вычислений (это можно сделать и графически, если аккуратно строить диаграмму!) получаем

$$U_m \approx 180 \text{ B}, \quad \varphi \approx 0,52 \text{ рад} \approx 30^\circ.$$

Тепер можно уточнить масштаб и найти общий ток в цепи при заданном напряжении источника:

$$I'_m = I_m \frac{U'_m}{U_m} \approx 0,112 \frac{200}{180} \text{ A} \approx 0,124 \text{ A}.$$

Все остальные токи и напряжения тоже увеличатся в $U'_m / U_m \approx 1,1$ раза, а сdwги фаз при этом остаются теми же.

Реактивные элементы — катушки, конденсаторы — часто используются для получения определенного сdwга фаз между напряжением и током в цепи. Расмотрим конкретный пример.

Задача 4. Электродвигатель переменного тока содержит две одинаковые обмотки (индуктивность каждой леной фаз между напряжением и током в цепи. Расмотрим конкретный пример.

Задача 4. Электродвигатель переменного тока содержит две одинаковые обмотки (индуктивность каждой леной фаз между напряжением и током в цепи. Расмотрим конкретный пример.

При включении в себя ($U = 220 \text{ B}, \nu = 50 \Gamma_u$) одну из обмоток подключают к сети непосредственно, а другой — через последовательное соединение конденсатор емкости $C$ и резistor сопротивлением $R$. Расчитай-te необходимые величины $C$ и $R$. Погерями в обмотках претензий.

Ток в катушке, которая подключена к сети непосредственно, отстает по фазе на π/2 от напряжения сети. Его модуль

$$I_1 = \frac{U}{X_L} = \frac{U}{2\pi vL} \approx 0,7 \text{ A}.$$

Обратите внимание: мы нашли действующее значение тока, так как заданное значение $U$ — действующее. Ясно, что векторные диаграммы можно строить и для амплитудных, и для действующих значений — лишь бы на одной диаграмме были либо амплитуды, либо действующие значения.

Построим векторную диаграмму для последовательной цепи $RCL$ (рис. 7). Будем рисовать все в общем виде. Нарисуем вектор $\vec{I}_2$, соответствующий току в цепи. Напряжение $\vec{U}_R$ ($U_R = I_2R$) совпадает по фазе с током, $\vec{U}_C$ ($U_C = I_2X_C$) — отстает на π/2, $\vec{U}_L$ ($U_L = I_2X_L$) — опережает на π/2. Общее напряжение $\vec{U}$ должно совпасть по фазе с током $\vec{I}_2$, при этом тoki $\vec{I}_1$ и $\vec{I}_2$ и будет сdwинуты по фазе на π/2.

Из диаграммы видно, что для этого нужно, чтобы

$$X_C = X_L, \frac{1}{\omega C} = \omega L,$$

$$C = \frac{1}{\omega^2 L} = 10^{-5} \Phi = 10 \text{ мкФ}.$$

При этом $I_2 = I_1 = U/R$, откуда

$$R = \frac{U}{I_1} \approx 314 \text{ Om}.$$

Отметим, что расчет такой цепи в реальном случае намного сложнее, так как сdwги фаз между напряжением и током в обмотках у нагруженого диаггателя не равны π/2, как у идеальной катушки, а зависит от напряжения на вал диггателя.

Энергетические расчеты в цепях переменного тока осложняются тем,

55

ЧТО МГНОВЕННАЯ МОЩНОСТЬ МЕНЯЕТСЯ СО ВРЕМЕНЕМ. Нас может интересовать как среднее значение мощности — для расчета работы источника или выделяющегося в цепи тепла, так и максимальное значение мГНОВЕННОЙ МОЩНОСТИ.

Задча 5. Амплитуда напряжения источника $U_m$, амплитуда тока, протекающего через него $I_m$, свызда фаз между напряжением и током ф. Надите работу источника за большой отрезок времени $T$ и максимальное значение мГНОВЕННОЙ МОЩНОСТИ.

Запишем выражение для мГНОВЕННОЙ мощности и приведем его к более удобному виду:
$$p = ui = U_m I_m \cos \omega t \cos (\omega t + \varphi) = \frac{1}{2} U_m I_m \cos (2\omega t + \varphi) + \frac{1}{2} U_m I_m \cos \varphi.$$
Среднее значение первого слагаемого за большой (гораздо большие перiodа колебаний) промежуток времени равно нулю. Тогда среднее значение мощности
$$\bar{P} = \frac{1}{2} U_m I_m \cos \varphi$$
и работа источника
$$A = \bar{P} T = \frac{1}{2} U_m I_m T \cos \varphi.$$
Максимальное значение первого слагаемого по модулю равно $1/2 U_m I_m$ и
$$P_m = \frac{1}{2} U_m I_m (1 + |\cos \varphi|).$$
Видно, что при $|\varphi| \approx \pi/2$ максимальная мощность может во много раз превышать среднюю. Это связано с тем, что электрическая цепь.to накаливает энергию, то отдает ее назад источнику. Такой режим очень плох для питания сети — увеличиваются потери на тепловыходх. Пример такой цепи — лампа дневного света. Ток ее ограничается при помощи катушки с большой индуктивностью, и свыгг фаз получается

Рис. 8.

Рис. 9.

близким к $\pi/2$. Выход несложен — подключить паралельно цепи конденсатор. Если правильно выбрать его емкость (подумайте — как), то катушка и конденсатор будет обменивать энергией между собой, а от сети будет оптимальным только полезная мощность.

Задча 6. Действующее значение напряжения сети в вечерние часы может nadать от 220 до 190 В. Для поддержания мощности кипятильника на приемнике уровне последовательно с ним рекомендуется включать результирующий источник постоянного напряжения. Каким должно быть его напряжение $U_n$ при минимальном напряжении сети?

Напряжение, приложенное к кипятильнику,
$$u_k = U_{2m} \cos \omega t + U_n,$$
где $U_{2m} = 190 \sqrt{2} \text{ В}$ — наименьшее амплитудное значение напряжения сети. Сдвиг фаз между напряжением на кипятильнике и током равен нулю (кипятильник — резистор). Тогда средняя мощность
$$\bar{P} = \frac{u_k^2}{R} = \frac{U_{2m}^2}{2R},$$
где $U_{1m} = 220 \sqrt{2} \text{ В}$. Но
$$u_k^2 = U_{2m}^2 \cos^2 \omega t + U_n^2 + 2U_n \cdot U_{2m} \cos \omega t = \frac{U_{2m}^2}{2} + U_n^2.$$
Отсюда
$$U_n = \sqrt{\frac{U_{1m}^2}{2} - \frac{U_{2m}^2}{2}} \approx 110 \text{ В}.$$
Уражнения

1. Изображенная на рисунке 8 схема носит название «мост Вина». На какой части сдигг фаз между выходным и входным напряжениями равен нулю? Во сколько раз выходное напряжение на этой части меньше входного?
2. Докажите, что в схеме, изображенной на рисунке 9, при частоте $\omega = 1/\sqrt{LC}$ ток через резистор не зависит его сопротивления. Найди этот ток.