Задачи М2450—М2453; Ф2457—Ф2460

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2451 – М2453 предлагались на XXXVIII Турнире городов. Задачи Ф2457–Ф2460 предлагались в 2016 году на Санкт-Петербургской городской открытой олимпиаде школьников по физике.

Задачи М2450–М2453, Ф2457–Ф2460

M2450. Дан треугольник ABC. На луче AB отметили такую точку $C_{1}$, что $AC_{1} = =$ AC, на луче BC – такую $A_{1}$, что $BA_{1} = =$ BA, на луче CA – такую $B_{1}$, что $CB_{1} = CB$; на луче BA отметили такую точку $C_{2}$, что $BC_{2} = BC$, на луче CB – такую $A_{2}$, что $CA_{2} = CA$, на луче AC – такую $B_{2}$, что $AB_{2} = AB$ (рис.1). Докажите, что пло-

по линиям квадратной сетки. Он проверил, что его можно разрезать по границам клеток и на 2 равных многоугольника, и на 25 равных многоугольников. Обязательно ли тогда его можно разрезать по границам клеток и на 50 равных многоугольников? Е.Бакаев

M2452. Можно ли квадрат со стороной 1 разрезать на две части и покрыть ими какой-нибудь круг диаметра больше 1? А.Шаповалов

M2453. На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы? Б.Френкин

Рис. 1

щадь треугольника ABC равна полусумме площадей треугольников $A_{1} B_{1} C_{1}$ и $A_{2} B_{2} C_{2}$. П.Кучерявый M2451. Петя нарисовал многоугольник площадью 100 клеток, проводя границы

Ф2457. У танкера, перевозящего топливо, закончилось горючее, когда до порта осталось L = 100 км. Чтобы доплыть до пункта назначения, капитан решил использовать груз в качестве топлива для танкера. Какое наименьшее количество тонн топлива придется потратить, чтобы добраться до порта по прямой? Скорость танкера зави-

23

ЗАДАЧНИК

статьи. Мы же приведем следующее геометрическое рассуждение, из которого можно вывести сохранение площади. Рассмотрим криволинейную трапецию – «чешуйку» ширины t, ограниченную вертикальными прямыми, находящимися на расстоянии t друг от друга, и параболами $y = x^{2} + b, y = x^{2} + b + s$, где s > 0 (рис.5). Тогда площадь чешуйки равна ts.

Рис. 5

Упражнение 5. Докажите это. Указание. Разрежьте горизонталями чешуйку на части, переложив которые можно получить прямоугольник $t \times s$.

При параболическом повороте любая вертикальная прямая сдвигается на k по горизонтали, значит, наша чешуйка перейдет в новую чешуйку той же ширины t, зажатую между теми же параболами. Как видим, площадь новой чешуйки тоже равна ts. Итак, площади чешуек, зажатых между вертикальными прямыми и параболами вида $y = x^{2} + c$, сохраняются. Можно создать мелкую «криволинейную» сетку из таких чешуек (рис.6) и приближать заданную

(Начало см. на с. 9) В ранней Вселенной имели место грандиозные фазовые переходы, распад вакуума и рождение из него новых и новых частиц. Эволюция Вселенной является неравновесным и необратимым процессом. Первым физиком, всерьез обратившим на это внимание, был Георгий Гамов, которому, вместе с учениками, удалось вывести соотношение между количествами легких элементов системы Менделеева во Вселенной, предсказать существование реликтового излучения и правильно оценить его температуру. Но это отдельная история…

«КВАНТА»

Рис. 6

фигуру набором чешуек (подобно тому, как при определении площадей сложных фигур фигура приближается набором ячеек мелкой квадратной сетки) – и вывести из сохранения площадей для чешуек сохранение площадей для любых фигур. Итак, все три ключевых момента для решения готовы, теперь дело за малым.

Упражнения

6. Сформулируйте аналог упражнения 2, докажите его и завершите решение задачи о параболах. 7. Сформулируйте и докажите факт про середину отрезка, аналогичный упражнению 3.

В завершение предлагаем читателю придумать аналогичные пространственные задачи об эллипсоидах, гиперболоидах, параболоидах и объемах, отсекаемых касательными плоскостями.

Литература

1. Письма и рукописи А.Фридмана в архиве П.Эренфеста (www.lorentz.leidenuniv.nl/ history/Friedmann_archive/) 2. А.А.Фридман. Мир как пространство и время (5-е изд.) (М.: Либроком, 2009) 3. Номер журнала «Успехи физических наук», посвященный 75-летию Фридмана (т.80, в.3, 1963) 4. Э.А.Тропп, В.Я.Френкель, А.Д.Чернин. Александр Александрович Фридман: Жизнь и деятельность (2-е изд.) (М.: КомКнига, 2006) 5. А.Беленький. «Воды, в которые я вступаю, не пересекал еще никто». Александр Фридман и истоки современной космологии (электронный журнал «Наука из первых рук», № 5(47), 2012) 6. В.О.Соловьев. Как Фридман Эйнштейна подковал (журнал «Наукоград», №4(6), 2015) 7. М.В.Сажин. Современная космология в популярном изложении (М.: УРСС, 2002) 8. А.Д.Долгов. Космология: от Померанчука до наших дней (УФН, т.184, 2014)