МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
Птолемеева ось треугольника что точка Жергонна треугольника – это точка пересечения трех отрезков, соединяющих вершины треугольника и точки касания противоположных сторон с вписанной окружностью (рис.2,а), а точка Нагеля – точка пересечения трех отрезков, соединяющих
К.КОЗЕРЕНКО, П.ФАКАНОВ
НАРИСУЕМ ТРЕУГОЛЬНИК, ВПИШЕМ В него окружность и опишем около него окружность Ω. Если теперь сотрем треугольник, то мы его уже не сможем восстановить: существует бесконечное семейство треугольников, «зажатых» между данными окружностями (рис.1). Это частный случай знаменитой теоремы Понселе (см. например,
Рис. 2
Рис. 1
статью В. Протасова в «Кванте» №5–6 за 2014 г.), поэтому условимся называть треугольники из этого семейства треугольниками Понселе (для пары окружностей Ω и Интересно следить за движением замечательных точек треугольника, когда треугольник Понселе «вращается» между двух данных окружностей. «Квант» уже не раз обращался к этой теме. В замечательной статье В.Дубровского и В.Сендерова «Ловушка для треугольника» («Квант» №3 за 1999 г.) были указаны траектории ортоцентра, центра масс (точки пересечения медиан) и центра окружности девяти точек треугольников Понселе. В статье А.Заславского, Д. Косова и М. Музафарова «Траектории замечательных точек треугольника Понселе» («Квант» №2 за 2003 г.), кроме того, были найдены траектории точек Нагеля и Жергонна. Напомним, вершины треугольника и точки касания противоположных сторон с вневписанными окружностями Все траектории упомянутых замечательных точек являются окружностями, центры которых лежат на линии центров окружностей Ω и . Здесь имеется некоторая аналогия с геоцентрической системой Птолемея (все планеты вращаются по окружностям, центры которых в свою очередь лежат на окружности), эта аналогия дала название «птолемеева ось». В этой статье мы снова обратим основное внимание на точки Жергонна и Нагеля треугольников Понселе и дадим описание окружностей, по котором они движутся. Но в отличие от статьи А.Заславского, Д.Косова и М.Музафарова, где основным инструментом являлись алгебраические преобразования и барицентрические координаты, мы дадим геометрические доказательства.
1 По этой теме см. также проект, предложенный на Летней конференции Турнира городов в 2014 г.: http://www.turgor.ru/lktg/2014/6/ index.htm
42
КВАНТ 2017/№2
Рис. 4. Прозрачные стаканчики со встроенным светодиодом
Рис. 2. Сдвоенные стаканчики
сила Магнуса, поверить в такое движение невозможно! Чтобы сделать явной эту закрутку, мы взяли пару прозрачных стаканчиков, прикрепили к ним светодиод с батарейкой и в темноте с большой выдержкой сняли их полет – фотография представлена на рисунке 4. Можно заметить, что из-за сопротивления воздуха угловая скорость вращения стаканчиков падает и вместе ней уменьшается сила Магнуса, действующая на стаканчики. Сила Магнуса во многом похожа на подъемную силу, действующую на крыло самолета. Подъемная сила тоже перпендикулярна направлению движения самолета, и бумажные самолетики, на которые она действует, тоже делают петли в воздухе. Как рассчитать
Рис. 3. Стаканчики в полете
траекторию летательного аппарата, на который действует подъемная сила, было рассказано в «Кванте» в статье «Планер Жуковского и движение в скрещенных полях» (2016 г., №1). Тот же самый метод можно применить и для расчета траектории летающих стаканчиков, на которые действует сила Магнуса. Летающие стаканчики мы впервые увидели на замечательном yutube-канале Home- Made Science with Bruce Yeany. Там лежит замечательный ролик Cup Flyers, с демонстрацией полетов. Обязательно посмотрите его и сами научитесь запускать эти стаканчики. Пилотируемая полоска и Большой Рот. Мы уже говорили, что сила трения замедляет вращение стаканчиков и сила Магнуса перестает поддерживать их в полете. Но существуют летательные объекты, способные самостоятельно сохранять скорость своего вращения – авторотировать. Простейший из них – прямоугольная полоска бумаги. Свободно отпущенная, она при определенных условиях самостоятельно демонстрирует вращательное движение вокруг своей длинной оси. Н.Е.Жуковский заметил, что на такую полоску в полете действует сила Магнуса. Недавно появившиеся игрушки – Пилотируемая полоска и Большой Рот (рис.5) – обладают улучшенными летными качествами. Пилотируемая полоска представляет со-
43
ЛАБОРАТОРИЯ
Рис. 5. Пилотируемая полоска и Большой Рот
бой прямоугольник из тонкой бумаги, снабженный четырьмя крылышками, а Большой Рот просто склеен из двух бумажных полосок. Их траектории изображены на рисунке 6. Видно, что они устойчиво авторотируют, а их полет поддерживается силой Магнуса. Эти игрушки можно пилотировать, т.е. заставить их летать неограниченное время и при этом совершать повороты и изменять высоту полета. Подробности – в «Кванте» в статьях «Пилотируемая полоска» (2013 г., №4) и «Большой Рот в полете» (2016 г., №2). Поющая линейка. На этот раз для демонстрации эффекта Магнуса мы предлагаем
«КВАНТА»
использовать обычную деревянную линейку длиной 30 сантиметров. Такая линейка тоже способна авторотировать – самостоятельно закручиваться под действием набегающего потока воздуха. На одном из концов линейки нужно будет проделать дырку, продеть туда прочную нитку и завязать, а потом раскрутить линейку перед собой. Линейка перейдет в режим авторотации и начнет вращаться вокруг своей оси – это можно увидеть по траектории светодиода, прикрепленного к концу линейки. Значит, на линейку будет действовать сила Магнуса, которая выведет ее из вертикальной плоскости и заставит двигаться по поверхности некоторого конуса. При изменении направления авторотации на противоположное сила Магнуса тоже поменяет свое направление, и конус окажется расположенным по другую сторону вертикальной плоскости. Эти два конуса хорошо видны на рисунке 7. Обращение авторотации происходит само собой – из-за периодически возрастающей закрутки нити. При вращении линейка издает низкий вибрирующий звук, и на этом принципе устроено множество архаичных музыкальных инструментов, принадлежащих разным эпохам и народам. Сейчас эти инструменты объединены общим названием «bullroarer», а самый древний из найденных датируется 17 веком до н.э. Так что музыканты верхнего
Рис. 6. Пилотируемая полоска и Большой Рот в полете
44
КВАНТ 2017/№2
Рис. 7. Два конуса авторотирующей линейки
палеолита наверняка тоже были знакомы с эффектом Магнуса. Эту музыку вы сможете услышать, когда закрутите линейку и она начнет авторотировать, а увидеть эту музыку можно прямо сейчас. Мы записывали звук, расположив вблизи траектории светодиода микрофон, как на рисунке 7, но можно воспользоваться и мобильным телефоном. На рисунке 8 в координатах время-громкость изображена 32-х секундная звуковая запись и два ее фрагмента – один с 16,6 до 20,2 секунды, другой с 18,12 до 18,42 секунды. На записи четко выделяются восемь звуковых групп, каждая продолжительностью 4 секунды. Они соответствуют вращению линейки вдоль одного или другого конуса. Обратите внимание на амплитуды звука в соседних группах – большие чередуются с малыми. Это потому, что один конус был расположен ближе к микрофону мобильника. Далее на рисунке представлен временной интервал 16,6–20,2 секунды, вмещающий в себя пятую группу. Высокие пики соответствуют прохождению линейки вблизи микрофона. Видно, что период обращения линейки вдоль конуса составляет чуть
Рис. 8. Звуковая запись и ее фрагменты
меньше 0,3 секунды. Еще мы выделили интервал 18,12–18,42 секунды, вмещающий шестой пик из пятой группы. Составляющие его узкие пички следуют с интервалом порядка 0,005 секунды, что соответствует удвоенной частоте вращения линейки вокруг своей длинной оси.
Под конец добавим еще несколько видео, на которых ученые увлекательно рассказывают об эффекте Магнуса. • What Is The Magnus Force? на канале Veritasium https://www.youtube.com/ watch?v=23fjvGUWJs • Surprising Applications of the Magnus Effect на канале Veritasium https://www.youtube.com/watch?v= 2OSrvzNW9FE • Coanda, Bernoulli and Magnus Effects на канале Fizzics.org https://www.fizzics.org/physics-notes-and- video-lessons/free-physics- video-lessons/fluid- flow-video-lessons