Инверсоры
В XIX веке перед инженерами-механиками встала важная задача: создать прямило – механизм, переводящий движение по окружности в движение по прямой. Предполагалось, что решение будет плоским шарнирным механизмом – системой плоских звеньев разной длины, сцепленных на концах шарнирами. Великий российский математик Пафнутий Львович Чебышёв смог придумать лишь приближенное прямило, переводящее движение по окружности одного шарнира в движение другого шарнира рядом с отрезком прямой, но не в точности вдоль него (рис.1).
щие вне окружности, и наоборот по правилу AO ◊ OA ¢ (рис.2). Инверсия обладает многими интересными и полезными свойствами (многие из них, вместе с доказательствами, можно найти в брошюре И.Д.Жижилкина «Инверсия»). Для нас наиболее интересно следующее свойство: дуга окружности, проходящей через центр инверсии, переходит в отрезок (рис.3).
Рис. 3
Рис. 1
Уклонение шатунной кривой от прямой линии можно уменьшать, изменяя параметры механизма. При этом будет уменьшаться и длина хода ведомого шарнира, но это происходит медленнее, чем уменьшение отклонения от прямой. Поэтому для практических целей можно подобрать удовлетворительные параметры, однако с теоретической точки зрения задача остается нерешенной. Создать точное прямило помогает инверсия – преобразование плоскости (без одной точки), переводящее внутренние точки круга, за исключением центра, в точки, лежа-
Это свойство инверсии испльзуется в инверсоре Поселье–Липкина, первом плоском шарнирном механизме, переводящем движение по окружности в движение по прямой. Он был придуман в 1860-х годах независимо офицером инженерного корпуса французской армии Шарлем Николя Поселье (1823–1913) и студентом П.Л.Чебышёва Липманом Липкиным (1846–1876). Инверсор Поселье–Липкина основан на следующем соображении. Пусть APA ¢ Q – ромб со стороной a, а точка O такова, что OP = OQ = b, причем b > a. Вычислим произведение OA ◊ OA ¢. Для этого заметим, что точки О, A и A¢ всегда лежат на одной прямой, проведем в ромбе диагонали – пусть они пересекаются в точке X – и несколько раз применим теорему Пифагора: OA ◊ OA ¢ = ( OX - XA ) ◊ ( OX + XA ) =
(
) (
)
2 2 2 2 2 2 = OX - XA = b - PX - a - PX =
Рис. 2
.