XXXVIII Турнир городов

ОЛИМПИАДЫ

XXXVIII Турнир городов

Задачи осеннего тура (2016 год)

Базовый вариант

8–9 классы

$1. (4)^{1}$

Взяли пять натуральных чисел и для каждых двух записали их сумму. Могло ли оказаться, что все 10 получившихся сумм оканчиваются разными цифрами? М.Евдокимов

2. (4) На прямой отмечены четыре точки и еще одна точка отмечена вне прямой. Всего существует шесть треугольников с вершинами в этих точках. Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными? Е.Бакаев

3. На окружности отмечены 100 точек. Эти точки нумеруются числами от 1 до 100 в некотором порядке. а) (2) Докажите, что при любой нумерации точки можно разбить на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были нечетными. б) (2) Верно ли, что при любой нумерации можно разбить точки на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были четными? П.Кожевников

4. (5) Даны параллелограмм ABCD и такая точка K, что AK = BD. Точка M – середина CK. Докажите, что $\angle$ BMD $= 90 ^\circ$. Е.Бакаев

5. (5) Сто медвежат нашли в лесу ягоды. Самый младший успел схватить 1 ягоду, медвежонок постарше – 2 ягоды, следующий – 4 ягоды и так далее, а самому старшему

1 В скобках после номера задачи указано максимальное количество баллов, присуждавшихся за решение. Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.

досталось $2^{99}$ ягод. Лиса предложила им поделить ягоды «по справедливости». Она может подойти к двум медвежатам и распределить их ягоды поровну между ними, а если при этом возникает лишняя ягода, то лиса ее съедает. Такие действия она продолжает до тех пор, пока у всех медвежат не станет ягод поровну. Какое наименьшее количество ягод может оставить медвежатам лиса? Е.Бакаев

10–11 классы

1. (4) Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трехчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно p + q? Н.Седракян

2. (5) См. задачу М2448 «Задачника «Кванта». 3. (5) См. задачу 5 для 8–9 классов с вопросом: «Какое наибольшее количество ягод может съесть лиса?» 4. (5) См. задачу М2451 «Задачника «Кванта». 5. (6) См. задачу М2447 «Задачника «Кванта».

Сложный вариант

8–9 классы

1. (5) См. задачу М2446,а «Задачника «Кванта».

2. (5) В каждой клетке доски 8 ¥ 8 написали по одному натуральному числу. Оказалось, что при любом разрезании доски на доминошки суммы чисел во всех доминошках будут разные. Может ли оказаться, что наибольшее записанное на доске число не больше 32? Н.Чернятьев

3. (6) Произвольный треугольник разрезали на равные треугольники прямыми, параллельными сторонам (как показано на

53

ОЛИМПИАДЫ

б) (6) Решите ту же задачу, если на каждый вопрос есть 12 вариантов ответа. И.Митрофанов, А.Канель-Белов

10–11 классы

1. (5) См. задачу М2446,б «Задачника «Кванта».

рисунке). Докажите, что ортоцентры шести закрашенных треугольников лежат на одной окружности. Е.Бакаев

4. (8) Квадратная коробка конфет разбита на 49 равных квадратных ячеек. В каждой ячейке лежит шоколадная конфета – либо черная, либо белая. За один присест Саша может съесть две конфеты, если они одного цвета и лежат в соседних по стороне или по углу ячейках. Какое наибольшее количество конфет гарантированно может съесть Саша, как бы ни лежали конфеты в коробке? А.Кузнецов

5. (8) На трех красных и трех синих карточках написаны шесть положительных чисел, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то трех чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же трех чисел. Всегда ли можно гарантированно определить эти три числа? Б.Френкин

6. (9) Дан правильный 2n-угольник

$A_{1} A_{2}^{…} A_{2n}$ с центром O, причем $n \ge 5$. Диагонали $A_{2} A_{n} -_{1}$ и $A_{3} A_{n}$ пересекаются в точке F, а $A_{1} A_{3}$ и $A_{2} A_{2} n_{-} 2$ – в точке P. Докажите, что PF = PO.

М.Тимохин

7. а) (5) Группа людей прошла опрос, состоящий из 20 вопросов, на каждый из которых возможны два ответа. После опроса оказалось, что для любых 10 вопросов и любой комбинации ответов на эти вопросы существует человек, давший именно эти ответы на эти вопросы. Обязательно ли найдутся два человека, у которых ответы ни на один вопрос не совпали?

8. (5) См. задачу 2 для 8 – 9 классов.

9. (7) Четырехугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причем O не лежит на диагоналях четырехугольника. Описанная окружность $Ω_{1}$ треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность $Ω_{2}$ треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.

А.Заславский

4. (8) См. задачу М2453 «Задачника «Кванта».

5. (9) См. задачу М2452 «Задачника «Кванта».

6. (9) Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P ( x ) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он еще не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение P ( x ) = a. Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть? А.Мудгал

7. (12) См. задачу М2449 «Задачника «Кванта». Публикацию подготовили С.Дориченко, Л.Медников