Задачи М2650—М2653; Ф2657—Ф2660

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2650– М2653 предлагались на весеннем туре XLII Турнира городов. Задачи Ф2657–Ф2660 предлагались на Московской физической олимпиаде 2021 года.

Задачи М2650–М2653, Ф2657–Ф2660 M2650. При каких натуральных n найдутся n последовательных натуральных чисел, произведение которых равно сумме (может быть, других) n последовательных натуральных чисел? Б.Френкин

M2651. В комнате находятся несколько детей и куча из 1000 конфет. Дети по очереди подходят к куче. Каждый подошедший делит количество конфет в куче на количество детей в комнате, округляет (если получилось нецелое), забирает полученное число конфет и выходит из комнаты. При этом мальчики округляют вверх, а девочки – вниз. Докажите, что суммарное количество конфет у мальчиков, когда все выйдут из комнаты, не зависит от порядка детей в очереди. М.Дидин

M2652. В отель ночью приехали 100 туристов. Они знают, что в отеле есть одноместные номера 1, 2, …, n, из которых k на ремонте (но неизвестно какие), а остальные свободны. Туристы могут заранее договориться о своих действиях, после чего по очереди уходят заселяться: каждый проверяет номера в любом порядке, находит первый свободный номер не на ремонте и остается там ночевать. Но туристы не хотят беспокоить друг друга: нельзя про-

верять номер, куда уже кто-то заселился. Для каждого k укажите наименьшее n, при котором туристы гарантированно смогут заселиться, не потревожив друг друга. Ф.Ивлев

M2653*. Пусть p и q – взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0. Каждый раз она прыгает либо на p вправо, либо на q влево. Однажды лягушка вернулась в 0. Докажите, что для любого натурального d p q найдутся два числа, посещенные лягушкой и отличающиеся ровно на d. Н.Белухов

Ф2657. Наблюдениям за планетой Венера с Земли мешает ее близость на небе к Солнцу. Угол M (рис.1) между направлениями с Земли (Е) на планету, в данном случае на Венеру (V), и на Солнце (S) называется элонгацией. Она бывает восточной и западной в зависимости от расположения планеты на небесной сфере относительно Солнца. Венеру в наибольшей западной элонгации можно наблюдать перед рассветом, а в наибольшей восточной – сразу после заката Солнца. Считается, что планета $распола-^{Рис.} 1$

28

КВАН T 2021/№5

гается западнее Солнца, если она появляется на небе раньше него. Наибольшее значение элонгации составляет около 46,5q, последний раз близкие значения наблюдались с 11 по 14 августа 2020 года, причем Венера была видна на рассвете. Орбиты Земли и Венеры можно считать круговыми и лежащими в одной плоскости. Все планеты вращаются вокруг Солнца в одном направлении, Земля вращается вокруг своей оси в ту же сторону. Отклонение земной оси от перпендикуляра к плоскости вращения планет в данной задаче несущественно. 1) Найдите расстояние от Венеры до Солнца, если расстояние от Земли до Солнца равно 150 млн км. 2) Когда примерно можно ожидать следующий наиболее подходящий для наблюдения Венеры момент? А.Дергачев

Ф2658. Безмен – это ручные весы для взвешивания грузов небольшой массы. Один из вариантов конструкции безмена можно видеть на рисунке 2. Безмен состо-

Рис. 3

нии равновесия коромысло будет располагаться горизонтально. Определите по этим данным массу гири m и массу М остальной конструкции (безмена без гири и взвешиваемого груза). М.Ромашка

Ф2659. На столе стоит цилиндрический сосуд с вертикальными стенками, заполненный водой примерно наполовину. Площадь сечения сосуда равна $S 400 см^{2}$, внизу сосуда имеется штуцер, к которому присоединен горизонтально расположенный шланг. Другой конец шланга соединен со штуцером «черного ящика», в котором находится неизвестное устройство (рис.4).

Рис. 4

Рис. 2

ит из металлического коромысла, закрепленного на коромысле противовеса (на левом конце коромысла) и подвижной гири (справа). На крючок подвешивается груз, массу которого надо узнать, а положение гири подбирается таким образом, чтобы в равновесии коромысло располагалось горизонтально. Показание безмена, изображенного на рисунке, равно 4 кг. Рядом с безменом находится сантиметровая линейка. Известно, что если с этого безмена снять гирю и подвесить его за ось, к которой был привязан крючок, иначе говоря, перевернуть (рис.3), то в положе-

Неизвестное устройство действует следующим образом. Если в сосуд доливают немного воды ( ’ m порядка 100 г), уровень жидкости в сосуде опускается (!) по сравнению с первоначальным. Если же после этого из сосуда зачерпывают такую же порцию воды, то уровень поднимается до первоначальной высоты. Предложите конструкцию устройства, которое может находится внутри черного ящика. Изобразите схему устройства и коротко объясните принцип его работы. Известно, что в конструкции устройства используется некоторое оборудование из следующего списка: цилиндрический сосуд – такой же, как на столе, нерастяжимые нити, пружина жесткостью $k^{300}$ Н м, набор грузов разных масс, резиновый шланг с внутренним диаметром, соответствующим диаметру