XLII Турнир городов

ОЛИМПИАДЫ

XLII Tурнир городов

Задачи весеннего тура

Базовый вариант

а) $(2)^{100} u^{101}$ клеток; б) (4) 100 u 100 клеток?

Н.Чернятьев

8–9 классы

$1 (4)^{1}$. Может ли произведение каких-то 9 последовательных натуральных чисел равняться сумме (может быть, других) 9 последовательных натуральных чисел? Б.Френкин

2 (4). В треугольнике ABC провели высоты AX и BZ, а также биссектрисы AY и BT. Известно, что углы XAY и ZBT равны. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный? Жюри

3 (4). У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1001, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.) Жюри

4. а) (3) Можно ли разрезать квадрат на 4 равнобедренных треугольника, среди которых нет равных? б) (3) А можно ли разрезать равносторонний треугольник на 4 равнобедренных треугольника, среди которых нет равных? В.Расторгуев

5. На клетчатой доске лежат доминошки, не касаясь даже углами. Каждая доминошка занимает две соседние (по стороне) клетки доски. Нижняя левая и правая верхняя клетки доски свободны. Всегда ли можно пройти из левой нижней клетки в правую верхнюю, делая ходы только вверх и вправо на соседние по стороне клетки и не наступая на доминошки, если доска имеет размеры

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за пункты одной задачи суммируются).

10–11 классы

1. а) (2) Выпуклый пятиугольник разбили непересекающимися диагоналями на три треугольника. Могут ли точки пересечения медиан этих треугольников лежать на одной прямой? б) (2) Тот же вопрос для невыпуклого пятиугольника. А.Грибалко

2. а) (2) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.) б) (2) Тот же вопрос, если у весов левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равенство, если масса на левой чашке на 1 г больше, чем на правой. А.Толпыго

3 (5). См. задачу М2650 «Задачника «Кванта». 4 (5). Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение ª ¬ $x^{2} º$ ¼ px q 0 при p z 0 иметь более 100 корней ( ª ¬ $x^{2} º$ ¼ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^{2}$ )? А.Толпыго

5 (6). Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, точка M – середина стороны AC. Прямая BO пересекает высоты $AA_{1}$ и $CC_{1}$ в точках H a и $H_{c}$ соответственно. Описанные окружности треугольников BH a A и $BH_{c} C$ вторично пересекаются в точке K. Докажите, что K лежит на прямой BM. М.Евдокимов

46

КВАНТ 2021/№5

Устный тур для 11 класса

1. Каждая из функций f x и g x определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой прямой? Д.Шноль

2. Петя и Вася по очереди красят ребра N-угольной пирамиды: Петя – в красный цвет, а Вася – в зеленый (ребро нельзя красить дважды). Начинает Петя. Выигрывает Вася, если после того, как все ребра окрашены, из любой вершины пирамиды в любую другую вершину ведет ломаная, состоящая из зеленых ребер. В противном случае выигрывает Петя. Кто из игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник? А.Глебов

3. Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, а T – точка касания этой окружности со стороной AC. Пусть P и Q – ортоцентры треугольников BAI и BCI соответственно. Докажите, что точки T, P, Q лежат на одной прямой. Фольклор

К «Калейдоскопу «Кванта»

На рисунках на страницах 32–33 изображены механизмы, изобретенные П.Л.Чебышёвым. 1. Стопоходящая машина. 2. Сортировалка. 3. Самокатное кресло. 4. Арифмометр. Первая модель. 5. Центробежный регулятор. 6. Весы. 7. Велосипед. 8. Паровая машина. 9. Зубчатая передача. 10. Стопоходящая машина. Железная модель. 11. Пресс. 12. Механизм с изменяемым ходом. 13. Эпициклоидная передача арифмометра. 14. Механизм кулисы паровой машины. 15. Многозвенный механизм с остановками в крайних положениях. 16. Механизм с длительной остановкой ведомого звена в конце его хода.

4. См. задачу М2656 «Задачника «Кванта».$^{5.}$ Полиция задержала 50 человек, из которых 35 – преступники, которые говорят, что захотят, а 15 – свидетели, которые всегда говорят правду. Все задержанные знают, кто преступники. Какое наименьшее число человек достаточно выбрать, чтобы, спросив потом у каждого, кто именно преступники, по ответам вычислить хотя бы одного преступника? А.Аржанцев

5. Существует ли описанный 2021-угольник, все вершины и центр вписанной окружности которого имеют целочисленные координаты? М.Евдокимов

Публикацию подготовили Е.Бакаев, И.Богданов, А.Грибалко, М.Дидин, С.Дориченко, М.Евдокимов, А.Заславский, П.Кожевников, А.Кушнир, Э.Лю, М.Малкин, Л.Медников, В.Ретинский, А.Тертерян, А.Толпыго, Б.Френкин, И.Фролов

17. Механизм с остановками в крайних положениях. 18. Механизм для преобразования вращательного движения в качательное. 19. Механизм для преобразования вращательного движения в поступательное с ускоренным обратным ходом. 20. Парадоксальный механизм. 21. Механизм, дающий два качания ведомого звена за один оборот кривошипа. 22. Шестизвенная противовращательная рукоятка. 23. Механизм с остановкой ведомого звена на полпути. 24. Механизм противовращательной рукоятки с остановкой ведомого звена. 25. Механизм, направляющий по дуге окружности.

На сайте tcheb.ru эти механизмы можно посмотреть в движении.