Một lần nữa về Alionushka và em trai Ivanushka

9

Hình 8. Đa diện này không thể ngoại tiếp một mặt cầu

Từ việc tất cả các đỉnh của nó, trừ một đỉnh, nằm trên mặt cầu, suy ra rằng nó là đa diện nội tiếp.

Ví dụ đơn giản nhất về một đa diện hoàn toàn không thể ngoại tiếp là hình lập phương có một đỉnh bị cắt (xem hình 1).

Cuối cùng, phải thừa nhận rằng Steinitz không chứng minh định lý mang tên ông, mà chứng minh mệnh đề đối ngẫu của nó; chúng tôi trình bày mệnh đề này dưới dạng bài toán.

Bài 9. Giả sử tất cả các mặt của đa diện M có thể chia thành các mặt đen và trắng sao cho

I. Số mặt đen lớn hơn số mặt trắng.
II. Không có hai mặt đen nào kề nhau.
Chứng minh rằng đa diện M không thể ngoại tiếp một mặt cầu.

Hình 8 cho thấy một trong những ví dụ đơn giản nhất về đa diện hoàn toàn không thể ngoại tiếp — hình lập phương mà tất cả các đỉnh đều bị cắt.

TÍCH VÔ HẠN

Biết rằng $x < 1$. Hãy thử tìm xem tích vô hạn $(1 + x + x^2 + \dots + x^9) \times (1 + x^{10} + x^{20} + \dots + x^{90})$ $(1 + x^{100} + x^{200} + \dots + x^{900})$ bằng bao nhiêu.

CÁC ĐẲNG THỨC BẮT NGUỒN TỪ ĐÂU?

Hãy thử tìm xem các đẳng thức số sau dựa trên điều gì:
$$\frac{41^3 + 25^3}{41^3 + 16^3} = \frac{41 + 25}{41 + 16},$$
$$\frac{73^3 + 37^3}{73^3 + 36^3} = \frac{73 + 37}{73 + 36},$$
$$\frac{81^3 + 18^3}{81^3 + 63^3} = \frac{81 + 18}{81 + 63}.$$

Bạn có thể tự lập một đẳng thức như vậy với những số khác không?

LẠI NÓI VỀ ALENUSHKA VÀ EM TRAI IVANUSHKA

Em trai Ivanushka và chị gái Alenushka sống trên một bán đảo (xem hình). Ivanushka sống trong ngôi nhà A, Alenushka — trong ngôi nhà B. Ivanushka đi thăm Alenushka và mang theo hai chiếc xô, để một chiếc múc thạch từ sông thạch, chiếc kia — sữa từ sông sữa. Ivanushka phải chọn tuyến đường nào để đến chỗ Alenushka theo con đường ngắn nhất?