Max Planck về việc học

20

— là tập hợp các phân số thích hợp. Tính chất rất tinh tế này không thể không gây xúc động cho bất cứ độc giả nào yêu thích những con số.

Nếu đối với số α và phân số $\frac{p}{q}$, hệ số lợi ích $\lambda = \frac{1}{2|q\alpha - p|}$ lớn hơn so với mọi phân số có giá trị nhỏ hơn, thì $\frac{p}{q}$ là phân số thích hợp của α.

Ví dụ. Từ chính bảng đó đối với số π có thể thấy rằng phân số $\frac{22}{7}$ cho phép xấp xỉ π với hệ số lợi ích lớn hơn so với các phân số có giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6. Do đó, ngay cả khi chưa biết khai triển π thành phân số liên tục, dựa trên định lý cuối cùng, ta có thể kết luận rằng $\frac{22}{7}$ là một phân số thích hợp.

Còn có nhiều định lý khác thuộc loại này. Tất cả chúng, từ những góc độ khác nhau, đều xác nhận cùng một điều: nếu cần xấp xỉ một số thực bằng những số hữu tỉ đơn giản, thì có lợi nhất là sử dụng các phân số thích hợp.

Đó chính là chiếc chìa khóa quý giá dẫn đến những bí ẩn được nói đến trong bài viết đầu tiên.

Bài tập.

1. Biểu diễn (dưới dạng phân số liên tục) tỉ số giữa đáy và cạnh bên trong một tam giác cân có góc 120°.

2. Tìm giá trị của phân số liên tục trong công thức (1.2). Tìm cos 36°.

3. Tìm giá trị của phân số liên tục trong công thức (1.4). Biểu diễn $a_{10}$ qua R. Tìm sin 18°.

4. Biết khai triển thành phân số liên tục (hữu hạn hoặc vô hạn) của số α, hãy tìm khai triển của số $\frac{\beta}{\alpha}$.

5. Trong bài viết có nói rằng các giá trị của các phân số thích hợp tăng dần (các bất đẳng thức (3.3)). Có thể nói điều tương tự về tử số không?

MAX PLANCK
VỀ GIÁO DỤC

Điều quan trọng không phải là ở trường dạy gì, mà là dạy như thế nào. Tuy nhiên, sự hiểu biết thực sự của học sinh về một mệnh đề toán học có giá trị lớn hơn mười công thức mà em đã học thuộc, thậm chí biết cách áp dụng, nhưng không hiểu ý nghĩa thực sự của chúng. Chức năng của nhà trường không phải là cung cấp kinh nghiệm chuyên môn, mà là hình thành tư duy có phương pháp và nhất quán. Có thể phản đối rằng xét cho cùng, khả năng làm việc quan trọng hơn kiến thức về nó. Dĩ nhiên, kiến thức không đi đôi với kỹ năng thì không có ý nghĩa, cũng như mọi lý thuyết cuối cùng chỉ có được ý nghĩa nhờ sự ứng dụng của nó. Nhưng lý thuyết tuyệt nhiên không được thay thế bằng kỹ năng đơn thuần, thứ sẽ trở nên bất lực trước những sự kiện bất thường. Vì vậy, điều kiện của một công việc tốt trong tương lai là nền giáo dục cơ bản vững chắc. Đồng thời, điều quan trọng không phải là học một số lượng lớn các sự kiện, mà là diễn giải chúng một cách đúng đắn. Nếu nền giáo dục đúng đắn này không được thực hiện ở trường, thì về sau sẽ khó có được nó, vì các trường chuyên môn và các trường bậc cao có những nhiệm vụ khác. Sau đó, nhiệm vụ cao nhất của giáo dục không phải là kiến thức hay kỹ năng, mà là hoạt động thực tiễn. Nhưng cũng như kỹ năng đi trước hoạt động thực tiễn, những điều kiện cần thiết để kỹ năng xuất hiện là sự phục vụ và sự hiểu biết.

(Max Planck. Trích từ bài phát biểu «Nguồn gốc và ảnh hưởng của những ý tưởng khoa học». 1933.)