Alice ở Xứ sở Gương soi

26

Alice ở xứ sở Gương

Klimen Dyuorel

Thiên nhiên có thể đánh lừa chúng ta không? Có thể. Lịch sử biết những trường hợp khi các hiện tượng và sự kiện hoàn toàn hiển nhiên và dường như đã được xác nhận nhiều lần, lại hóa ra không thể giải thích được hoặc thậm chí không đúng. Có thể tìm thấy những sự kiện như vậy không chỉ trong lịch sử vật lý mà cả, chẳng hạn, trong thiên văn học. Chẳng hạn, trong nhiều năm, hệ thống cấu tạo thế giới với Trái Đất bất động ở trung tâm được coi là được mọi người thừa nhận.

Thiên nhiên có thể xảo quyệt. Vì vậy, nhà vật lý luôn phải có thái độ phê phán đối với các dữ liệu của thí nghiệm, đối với những quan sát trực tiếp của mình, và đặc biệt đối với những sự kiện có vẻ hiển nhiên vì được các đánh giá của chúng ta xác nhận. Klimen Dyuorel đã kể về điều này một cách thú vị và hấp dẫn trong cuốn sách «Nhập môn lý thuyết tương đối». Trong đó, những quan niệm của lý thuyết tương đối được trình bày một cách phổ thông.

Kể về lý thuyết tương đối mà không dùng đến bộ máy toán học phức tạp là cực kỳ khó. «Nhập môn lý thuyết tương đối» có lẽ là một trong những nỗ lực thành công nhất theo hướng này. Bộ máy toán học của phần trình bày tương ứng với trình độ trung học. Cuốn sách được viết sắc sảo và tự nhiên.

Chúng tôi giới thiệu với bạn đọc một chương trong cuốn sách này. Câu chuyện tuyệt vời «Alice ở xứ sở Gương» của nhà toán học Anh Lewis Carroll là cái cớ để bàn luận trong chương này.

27

«Tôi không thể tin điều này», Alice nói.

«Không thể ư? — trong lời nói của Nữ hoàng có vẻ trách móc.

«Vậy chúng ta thử lại: hít một hơi thật sâu và nhắm mắt lại».

Alice thở dài. «Cố gắng cũng vô ích, — cô nói, — tôi không thể tin vào điều không thể».

«Có lẽ chúng ta luyện tập còn quá ít, — Nữ hoàng đáp. — Khi ta còn trẻ hơn, ngày nào ta cũng dành nửa giờ cho việc đó. Và đôi khi ta còn có thể tin vào sáu điều không thể trước cả bữa sáng».

Lewis Carroll «Alice ở xứ sở Gương»

Thiên nhiên có thể đánh lừa chúng ta không?

Khi chơi một trò chơi công bằng với Thiên nhiên, các nhà khoa học gặp ở nó một đối thủ không chỉ lựa chọn những luật chơi thích hợp cho mình, mà còn có thể, ngoài mọi chuyện khác, chơi xấu đối tác hoặc đánh lừa đối tác. Nếu hóa ra các tính chất của không gian không phù hợp với những quan niệm của chúng ta, nếu chúng làm biến dạng các kích thước và nhịp điệu của những chiếc đồng hồ của chúng ta, thì liệu có tồn tại phương tiện nào cho phép xác lập chân lý không? Có thể hy vọng rằng cuối cùng những điều kiện đa dạng sẽ buộc Thiên nhiên phải bỏ chiếc mặt nạ của mình không?

Giáo sư Garnet, dựa vào những ý tưởng của Lewis Carroll, đã minh họa một cách thuyết phục việc Thiên nhiên có thể đánh lừa chúng ta như thế nào, mà dường như không có nguy cơ đặc biệt nào bị vạch trần.

Xét cho cùng, chúng ta chỉ có thể dựa vào những dữ liệu nhận được nhờ các giác quan của mình, được kiểm tra và tinh chỉnh bằng các dụng cụ nhân tạo, những thí nghiệm lặp lại và việc nghiên cứu các nghiên cứu. Những quan sát thường có thể bị biến đổi thành nguồn sai lệch, như trong một giai thoại được ngài George Greenhill kể lại.

Cuối năm học, tại một trường cao đẳng kỹ thuật nọ diễn ra buổi tiếp đón và tham quan phòng khoa học. Một nữ khách trẻ, bước vào phòng thí nghiệm vật lý và nhìn thấy hình ảnh lộn ngược của mình trong chiếc gương lõm lớn, ngây thơ nhận xét với người đi cùng: «Họ đã treo chiếc gương này ngược rồi». Nếu cô gái ấy tiến lại gần gương, vượt qua tiêu điểm của nó, thì cô sẽ tin chắc rằng những người làm việc ở đây không có lỗi về chuyện đó. Nếu Tự nhiên đã đánh lừa cô, thì đó chỉ là một mánh khóe mà thí nghiệm tiếp theo sẽ vạch trần.

GƯƠNG LỒI

Bây giờ, theo giáo sư Garnett, chúng ta sẽ theo dõi những cuộc phiêu lưu của Alice ở xứ sở phía sau gương lồi (ở Zaerkalye). Trước hết cần liệt kê một số tính chất của gương lồi. Những độc giả muốn tìm hiểu các phép dựng và chứng minh chỉ dựa trên việc xét các tam giác đồng dạng và một số yếu tố của các công thức đại số có thể xem bài tập 9 ở trang 31.

Điểm A (hình 1) là đỉnh của một gương lồi có bán kính lớn; O—tâm của gương; đoạn OA—bán kính trung tâm, hay trục; trung điểm F của đoạn OA là tiêu điểm của gương; PQ—vật có chiều cao a, đặt trước gương vuông góc với trục; P’Q’—ảnh của nó trong gương. Ta đưa vào các ký hiệu sau cho các độ dài:

$$OF = FA = f, FQ' = x, Q'A = z, AQ = y, P'Q' = h.$$

28

Có các hệ thức sau:

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{f}, \quad h = \frac{ax}{f}, \quad x = f - z.$$

Dễ dàng rút ra những hệ quả chung từ các công thức này. Vì $1/z = 1/y + 1/f$, nên $1/z > 1/y$, do đó $y > z$. Và vì $1/f < 1/z$, nên $z < f$ hay $z < AF$. Vì vậy, ảnh $P'Q'$ luôn ở gần gương hơn vật $PQ$, và không bao giờ cách gương xa hơn điểm $F$.

Кроме того, поскольку $h = ax/f$, высота изображения будет пропорциональна $x$ — расстоянию от изображения до $F$. Поэтому чем ближе $P'Q'$ к $F$, тем меньше становится отрезок $P'Q'$, то есть высота изображения.

Cuộc sống trong Gương

«Bây giờ anh ấy đang ngủ, — Tweedledee nói. — Thế em nghĩ anh ấy đang mơ thấy gì?»
«Ai mà đoán được?» — Alice trả lời.
«Chính em đang được anh ấy mơ thấy đấy!» — Tweedledee kêu lên. — «Nếu em ngừng được anh ấy mơ thấy, thì em nghĩ em sẽ ở đâu?»
«Tất nhiên là vẫn ở chỗ hiện giờ», — Alice trả lời.
«Hoàn toàn không phải thế, — Tweedledee ngạo mạn phản đối. — Em sẽ chẳng ở đâu cả: em chỉ là một phần trong giấc mơ của anh ấy!»
«Và nếu Nhà Vua tỉnh dậy, — Tweedledee nói thêm, — thì em sẽ biến mất ngay!. như một ngọn nến đã bị thổi tắt».)
«Nhưng em thực sự tồn tại mà», — Alice nói rồi bắt đầu khóc.
«Khóc cũng chẳng làm em trở nên thực hơn đâu», — Tweedledee nhận xét *).

Lewis Carroll «Alice trong Gương»

Bây giờ chúng ta sẽ xét Alice không phải như một giấc mơ, mà như một hình ảnh trong một chiếc gương lồi của một Alice giả nào đó đang sống trong thế giới của chúng ta. Alice sẽ khẳng định cũng kiên quyết như trong cuộc trò chuyện với Tweedledee rằng cô là một nhân cách tự do, tồn tại độc lập. Tuy nhiên, nhìn từ bên ngoài, chúng ta sẽ thấy rằng những hành động của cô tuân theo các chuyển động và ý thích của Alice giả, mà chúng ta sẽ gọi là Alicia. Chúng ta sẽ so sánh những quan sát của mình (hay những quan sát của Alicia)

*) Tweedledee và Tweedledum (trong tiếng Anh là những người giống hệt nhau) — các nhân vật trong truyện cổ tích «Alice trong Gương». — Chú thích của người dịch.

với cách Alice hình dung về sự tồn tại của chính mình.

Alice trong Gương

Chiều cao của Alicia bằng 4 fút, còn vòng eo của cô rộng 1 fút. (1 foot = 0,3048 m, 1 inch = 2,54 cm. Một foot có 12 inch). Ban đầu Alicia đứng tại điểm A, quay lưng về phía gương, sao cho cô và Alice hoàn toàn giống nhau và đứng quay lưng vào nhau. Alicia có một thước dài 1 fút, cô giữ nó ở gương, sao cho thước chạm vào gương và trùng với chiếc thước đo bằng foot tương ứng mà Alice đang cầm.

Sau đó Alicia bắt đầu đi xa khỏi gương dọc theo trục của nó với vận tốc không đổi 1 fút/giây. Khi đó chuyện gì sẽ xảy ra với Alicia?

Giả sử bán kính của gương bằng 40 fút, do đó AF=FO=f = 20 fút. Tiếp theo, chiều cao của Alicia là a=PQ=4 fút.

Sau, chẳng hạn, 5 giây, tức là khi AQ=y=5, ta có

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{f} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4},$$

$$AQ' = z = 4, \text{ và } x = Q'F = f - z = 20 - 4 = 16,$$

$$P'Q' = h = \frac{ax}{f} = \frac{4 \times 16}{20} = \frac{32}{10} = 3,2 \text{ fút}.$$

Nếu lúc này Alicia quay lại nhìn, cô sẽ thấy rằng Alice chỉ tiến thêm 4 fút so với 5 fút mà chính cô đã đi được, còn chiều cao của Alice đã giảm xuống còn 3,2 fút.

Chiếc thước đo bằng foot mà Alice cầm theo chiều thẳng đứng cũng co lại; chiều dài thực của nó lúc này là

$$1 \times x/f = 1 \times 16/20 = 0,8 \text{ fút}.$$

Alice sẽ nảy ra ý nghĩ rằng mình đã trở nên nhỏ hơn, và để thuyết phục Alicia, cô sẽ dùng chiếc thước đo bằng foot của mình để đo chiều cao, chứng minh một cách đắc thắng rằng cô vẫn cao đúng gấp bốn lần chiếc thước của mình, tức là 3,2/0,8=4.

Alicia cũng sẽ nói rằng Alice đã trở nên thấp hơn: vòng eo của cô giờ đây rộng

29

0,8 fút; thực tế, chiều rộng của cô trùng với chiều dài chiếc thước đo bằng foot, nhưng chiếc thước này ở bất kỳ vị trí nào vuông góc với trục cũng giờ chỉ còn 0,8 fút.

Sự co lại theo hướng vuông góc với trục giờ chỉ còn 0,8 fút.

Sự co lại theo hướng vuông góc với trục

Мы видим, что по мере удаления от зеркала Алиса все больше скimaется. Коэффициент скатая в любом направлении, перpendикулярном оси, равен $h/a$, т. е. $x/f$, и, следовательно, пропорционален $x$ — расстоянию, на котором Алиса находится от фокуса $F$.

Ясно, что Алиса не сможет обнаружить это скатае, так как ее линейка сокращается в той же пропорции, что и ее тело и платье. На самом деле все предметы в мире Алисы независимо от того, из чего они сделаны, ведут себя точно таким же образом. Поэтому мы считаем, что это скатае есть свойство не вещества, а самого пространства. Оно представляется собой влияние, оказываемое пространством в равной мере на все нахождения в нем предметы. Поэтому мы говорим, что одним из законов пространства в мире Алисы является сокращение, произходящие само по себе и в любом направлении, перpendикулярном оси, пропорциональное расстоянию $x$ до фокуса.

Sự co lại theo hướng dọc theo trục

Sau đó Alice đặt thước một foot của mình dọc theo trục, và Alice, tất nhiên, cũng làm như vậy.

Hình 2.

Gọi $Q$ và $S$ là hai vạch chia liên tiếp trên thước của Alice; khi đó $AQ=5$ foot, $QS=0,1$ foot, còn $AS=5,1$ foot. Trên thước của Alice, các vạch tương ứng được ký hiệu là $Q'$ và $S'$ (hình 2). Chúng ta đã chứng minh rằng nếu $AQ=y=5$, thì $AQ'=z=4$.

Дưới đây, nếu $AS=y=5,1$, thì $AS'=z$ được cho bởi biểu thức

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{f} = \frac{1}{5,1} + \frac{1}{20} =$$

$$= \frac{20+5,1}{5,1 \times 20} = \frac{25,1}{102},$$

$$AS' = z = \frac{102}{25,1} \approx 4,064.$$

$Q'S' = AS' - AQ' = 0,064$ fum.

Hệ số co theo hướng dọc theo trục tại điểm $Q'$ bằng

$$\frac{Q'S'}{QS} = \frac{0,064}{0,1} = 0,64.$$

Nhưng đã chỉ ra rằng hệ số co theo hướng vuông góc với trục tại điểm $Q'$ bằng 0,8.

Vì $(0,8)^2=0,64$, nên ta đi đến kết luận rằng hệ số co dọc theo trục bằng bình phương của hệ số co vuông góc với trục tại điểm đó. Chứng minh khẳng định này nằm trong bài tập 10 ở trang 31. Như vậy, theo quan sát của Alice, khi rời xa gương, Alice ngày càng gầy đi, và tốc độ cô gầy đi lớn hơn tốc độ giảm chiều cao.

Nếu chẳng hạn Alice quay nghiêng người và duỗi tay trái về phía gương, còn tay phải ra xa gương, thì các ngón tay trên bàn tay trái của cô sẽ dài hơn và dày hơn các ngón tay trên bàn tay phải. Tuy nhiên, hiệu ứng tổng thể là các ngón tay của bàn tay phải sẽ trông như bị kéo giãn ra, hoặc so với bàn tay kia, chúng bị ngắn đi mạnh hơn là bị mảnh đi.

Hình học trong thế giới của Alice

Khi Alice đều đặn rời xa gương, bước những bước có độ dài bằng nhau, Alice cũng

30

rời xa theo hướng ngược lại. Đồng thời, theo Alice, bước chân của Alice ngày càng ngắn, nên cô chuyển động ngày càng chậm. Và quả thực, dù Alice đi xa đến đâu, Alice cũng không bao giờ có thể tiến vượt qua điểm $F$ (hình 3). Dĩ nhiên, Alice có cảm giác rằng khoảng cách mà cô có thể đi xa là không giới hạn, và điểm mà Alice gọi là điểm $F$, theo lời Alice, là một điểm ở vô cực. Nếu Alice đi trên mặt đất, cô có cảm giác rằng đỉnh đầu và lòng bàn chân của mình chuyển động theo những đường thẳng song song. Những đường này, một cách tự nhiên, phản ánh quan niệm của Alice về sự song song. Còn Alice lại thấy rằng trên thực tế những đường này hội tụ tại điểm $F$. Nếu Alice tiếp tục đi dọc theo trục trên những đường ray xe lửa, thì chúng cũng sẽ hoạt động chính xác như vậy.

Hãy tưởng tượng Alice đi xe đạp dọc theo trục theo hướng ra xa gương. Khi đó sẽ xảy ra điều gì với các bánh xe của xe đạp Alice (hình 4)?

Độ co dọc theo trục lớn hơn theo hướng vuông góc. Do đó, các bánh xe của xe đạp Alice không chỉ nhỏ hơn bánh xe của chiếc xe của Alice, mà hơn nữa, bánh trước lại nhỏ hơn bánh sau. Và hơn thế nữa, mỗi bánh xe sẽ có dạng gần như elip, trong đó đường kính thẳng đứng lớn hơn đường kính ngang. Mặc dù các bánh xe quay

Hình 4.

, các nan hoa thẳng đứng luôn có vẻ dài nhất, còn các nan hoa nằm ngang — ngắn nhất. Các nan hoa dường như dài ra khi chuyển từ vị trí nằm ngang sang vị trí thẳng đứng, rồi lại co ngắn khi chuyển từ vị trí thẳng đứng sang vị trí nằm ngang.

Sau khi tiến hành những phép đo cẩn thận, chính Alice sẽ nhận thấy rằng chiếc xe của mình hoàn toàn bình thường, tuy nhiên Alice lại sẽ nghĩ hoàn toàn khác.

Trò trẻ con, tuy nhiên Alice lại sẽ nghĩ hoàn toàn khác.

Trò trẻ con

Chúng tôi không định khẳng định rằng chúng ta đang sống trong một thế giới bên kia gương, mà chỉ muốn chỉ ra rằng dường như không tồn tại một phương pháp nào cho phép chúng ta phát hiện ra đối tượng đó, nếu trong thực tế quả thật là như vậy. Khi thiết lập các quy luật của không gian, Tự nhiên, nếu muốn, có thể dùng phép màu của mình trói buộc những cư dân của nó. Nhưng dù vậy, vẫn còn một sự thật là Tự nhiên trả lời một số câu hỏi thực tiễn do các nhà khoa học đặt ra cho nó. Và điều đó luôn giữ trong họ hy vọng rằng các quy luật của không gian và thời gian cuối cùng sẽ được khám phá. Nếu từ tất cả những điều đã nói, người đọc nhận thấy rằng những tìm kiếm chân lý không đơn giản, còn kết quả của những tìm kiếm này có thể là bất ngờ, thì điều đó sẽ có nghĩa là chương này đã đạt được mục đích của mình.

Bài tập *)

1. Chứng minh rằng, khi Alice rời xa gương 10 phum, Alice chỉ tiến lên được 6 phum 8 inch, trong khi chiều cao của cô ấy sẽ là 2 phum 8 inch, còn chiều rộng là 8 inch. Chiều cao của Alice sẽ là bao nhiêu khi cô ấy đo mình bằng chính thước phum của mình?

2. Chứng minh rằng, khi Alice rời xa gương 20 phum, Alice chỉ tiến lên được 10 phum. Chiều cao và chiều rộng eo của Alice ở vị trí này sẽ là bao nhiêu?

3. Alice sẽ ở đâu vào thời điểm chiều cao của Alice giảm xuống còn 1 phum? Chiều rộng eo khi đó sẽ là bao nhiêu

*) Giả sử rằng chiều cao của Alice bằng 4 phum, còn eo của cô ấy rộng 1 phum và dày 6 inch; ngoài ra, $f=20$ phum. (Nhắc lại rằng 1 phum = 12 inch. — Chú thích của người dịch.)

31

của Alice? Chiều dài thước phum của cô ấy ở vị trí thẳng đứng sẽ bằng bao nhiêu? Có bao nhiêu chiếc thước như vậy sẽ xếp vừa trong chiều cao của Alice?

4. Độ dày eo của Alice trong bài tập 1 sẽ là bao nhiêu? Alice sẽ nhận được đại lượng nào do kết quả phép đo của mình?

5. Hệ số co của Alice trong bài tập 2 sẽ là bao nhiêu? Các hệ số co dọc theo trục và ngang trục liên hệ với nhau như thế nào?

6. Alicia, khi ở cách gương 20 phum, cầm trong tay một khối lập phương inch, các cạnh của nó song song và vuông góc với trục. Alice sẽ cầm vật gì trong tay?

7. Kích thước ngang của Alice sẽ bằng bao nhiêu khi chiều cao của cô ấy giảm xuống còn 1 phum?

8. Khi rời xa gương, ngoại hình của Alice có thay đổi giống như kích thước của cô ấy không? Khi chiều cao của cô ấy giảm xuống còn 1 phum, một bức tượng của Alice đã được chế tạo theo tỉ lệ 4:1. Bức tượng này có giống với Alice sống không?

9. BAC là một gương cầu lồi, bán kính AO của nó lớn hơn đáng kể so với chiều cao của vật PQ. Tia sáng đi từ điểm P song song với trục, rơi vào gương tại điểm N rồi sau đó phản xạ theo hướng nối điểm này với tiêu điểm F. Gương không làm thay đổi hướng của tia đi từ điểm P đến tâm gương O. Như vậy, ảnh của điểm P sẽ nằm tại điểm P’ trên giao điểm của NF và PO. Ta vẽ đoạn thẳng P’Q’ vuông góc với OA. Khi đó P’Q’ là ảnh của PQ. Tiêu điểm F là trung điểm của đoạn OA. Vì bán kính của gương lớn, nên độ cong của nó nhỏ và có thể xem NA là vuông góc với OA (hình 5).

Hình 5.