[Bài toán F42—F47; M36—M40]

40

BÀI TẬP

Chương 1

Hình 1.

Ф42. Một sợi dây vắt qua ròng rọc, trong đó một phần dây nằm trên bàn, còn một phần — trên sàn. Sau khi buông dây ra, nó bắt đầu chuyển động. Hãy tìm vận tốc chuyển động đều ổn định của dây. Chiều cao của bàn bằng h.

Ф43. Hãy tìm áp suất ở tâm của một màng chất lỏng bán kính R, nếu chất lỏng không nén được và có khối lượng riêng ρ.

Olympiad vật lý toàn Liên bang, năm 1969.

Ф44. Hai con cá heo bơi về phía nhau. Một con phát ra âm có tần số ω. Con cá heo kia nghe được âm có tần số bao nhiêu, nếu vận tốc của các cá heo đối với nước bằng nhau và bằng v? Vận tốc âm trong nước là и.

Olympiad vật lý toàn Liên bang, năm 1968.

Ф45. Một tụ điện hình cầu, chứa đầy điện môi và được tích điện đến một hiệu điện thế nào đó, phóng điện qua chính điện môi của nó. Từ trường của các dòng phóng điện trong không gian giữa các mặt cầu sẽ như thế nào?

Ф46. Một khối lập phương rơi từ độ cao 1 m xuống một quả bóng, rồi sau đó nảy lên gần 1 m. Quả bóng nảy lên đến độ cao nào? Quả bóng sẽ nảy lên đến độ cao nào nếu một quả bóng hoàn toàn giống nó rơi xuống nó từ độ cao 1 m?

Г. Л. Комкин

Ф47. Nếu một quá trình ABC (hình 1) được thực hiện trên một khí lý tưởng, thì khí nhận được một nhiệt lượng Q. Khí nhận được nhiệt lượng bao nhiêu trong quá trình ADC?

Olympiad vật lý thành phố Moskva, năm 1970.

М36. Chứng minh rằng không thể bố trí trên mặt phẳng bảy đường thẳng và bảy điểm sao cho qua mỗi điểm có ba đường thẳng đi qua và trên mỗi đường thẳng có ba điểm.

М37. Trong mỗi ô của một tờ giấy kẻ ô vô hạn có ghi một số sao cho tổng các số trong bất kỳ hình vuông nào (các cạnh của nó đi theo các đường lưới) không vượt quá một theo trị tuyệt đối. Chứng minh rằng khi đó tồn tại một số c sao cho tổng các số trong bất kỳ hình chữ nhật nào (các cạnh của nó đi theo các đường

41

lưới) không lớn hơn $c$; nói cách khác, tổng các số trong mọi hình chữ nhật đều bị chặn. Chứng minh rằng có thể lấy $c=4$. Có lẽ bạn sẽ cải thiện được ước lượng này (chẳng hạn, chứng minh rằng mệnh đề của chúng ta đúng với $c=3$ hoặc thậm chí với $c=2$)?
Ю. И. Ионин

M38. Đường tròn dựng trên đường cao $AD$ của tam giác vuông $ABC$ làm đường kính cắt cạnh góc vuông $AB$ tại điểm $K$, và cạnh góc vuông $AC$ tại điểm $M$. Đoạn $KM$ cắt đường cao $AD$ tại điểm $L$. Biết rằng các đoạn $AK$, $AL$ và $AM$ lập thành một cấp số nhân (tức là $AK/AL=AL/AM$). Hãy tìm các góc nhọn của tam giác $ABC$ (hình 2).
L. M. Lopovok

Hình 2.

M39. Chứng minh rằng các số nguyên không âm $x, y$ thỏa mãn phương trình
$$x^2 - mxy + y^2 = 1$$
(trong đó $m$ là một số nguyên cho trước, lớn hơn một) khi và chỉ khi $x$ và $y$ là hai số hạng kề nhau của dãy

$$\varphi_0 = 0, \quad \varphi_1 = 1, \quad \varphi_2 = m,$$
$$\varphi_3 = m^2 - 1, \quad \varphi_4 = m^3 - 2m,$$
$$\varphi_5 = m^4 - 3m^2 + 1, \quad \dots,$$
trong đó $\varphi_{k+1} = m\varphi_k - \varphi_{k-1}$ với mọi $k \geqslant 1$.

Ví dụ, mọi nghiệm của phương trình $x^2 - 3xy + y^2 = 1$ trong các số nguyên $0 \leqslant x < y$ là các cặp $(0, 1)$; $(1, 3)$; $(3, 8)$; $(8, 21)$ gồm các số hạng kề nhau của dãy $0, 1, 3, 8, 21, 55, \dots$ được xác định bởi các điều kiện $\varphi_0 = 0, \quad \varphi_1 = 1, \quad \varphi_{k+1} = 3\varphi_k - \varphi_{k-1}$ với mọi $k \geqslant 1$. (Sự thật đẹp này đã được sử dụng trong công trình của Yu. Matiyasevich, посвящённой bài toán thứ 10 của Hilbert, đã được kể trong số trước của “Kvant”.)

M40. Hãy tìm tổng
$$1 \cdot n + 2 \cdot (n - 1) + 3 \cdot (n - 2) + \dots$$
$$\dots + (n - 1) \cdot 2 + n \cdot 1.$$

Hãy thử giải bài toán tổng quát hơn sau đây: tìm tổng
$$S_n, k = [1 \cdot 2 \dots k] \times$$
$$\times [n(n - 1) \dots (n - k + 1)] +$$
$$+ [2 \cdot 3 \dots (k + 1)] \times$$
$$\times [(n - 1)(n - 2) \dots (n - k)] +$$
$$+ [3 \cdot 4 \dots (k + 2)] \times$$
$$\times [(n - 2)(n - 1) \dots (n - k - 1)] + \dots$$
$$\dots + [(n - k)(n - k + 1) \dots (n - 1)] \times$$
$$\times [(k + 1)k \dots 2] +$$
$$+ [(n - k + 1)(n - k + 2) \dots n] \times$$
$$\times [k(k - 1) \dots 1].$$

V. N. Berezin