Thế vận hội được tiến hành bằng máy tính điện tử

58

OLYMPICS ĐƯỢC TIẾN HÀNH BẰNG MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ

Yu. I. Sorkin,
N. B. Shkundina

Vào tháng 1 - 4 năm nay, lần đầu tiên Viện Kinh tế và Thống kê Mátxcơva tổ chức kỳ thi Olympic toán học dành cho học sinh trung học, có tính đến máy tính điện tử. Thế vận hội được tổ chức thành hai vòng. Vòng thứ hai được thực hiện bằng máy Minsk-22; chỉ những học sinh hoàn thành xuất sắc vòng đầu tiên mới được phép tham gia.

Vòng đầu tiên được tổ chức vắng mặt. Tất cả học sinh quan tâm từ Moscow và các vùng lân cận của khu vực Moscow đều tham gia. Trên lời giải gót bài toán của loại đầu tiên, một khoảng thời gian vài tháng đã được đưa ra (tức là cho đến ngày 15 tháng 2).

Bài toán vòng đầu tiên

1. Một hình lập phương có một cạnh và một mặt phẳng ở giữa các góc sao cho mỗi mặt vẫn là một đa giác đều. Tìm khối lượng của cơ thể kết quả.
2. Liệu phương trình $b^2x^2 + (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2 = 0$, trong đó a, b và c là độ dài các cạnh của một tam giác nhất định, có số thực lời giải không?
3. Tổng của một số số tự nhiên liên tiếp là 1000. Tìm tất cả các dãy số đó.
4. Chứng minh rằng đối với một tam giác tù thì bất đẳng thức $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C > 1$ đúng.

59

5. Xác định góc của tam giác biết đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao chia góc thành bốn phần.

Phân tích bài toán của vòng đầu tiên

1. Rõ ràng là mỗi vật trong số tám vật bao quanh khối lập phương ở các góc của cơ thể là một hình tam giác đều có các góc vuông giữa các gân bên (Hình 1). Nếu như

Cơm. 1.

biểu thị cạnh của đáy của hình gốc bằng $b$, sau đó là $AD = \frac{b\sqrt{3}}{2}, OD = \frac{b\sqrt{3}}{6}, CD = \frac{b}{2}$, và sau đó, theo định lý Pythagore, chiều cao của hình gốc là $EO = \frac{b\sqrt{6}}{6}$. Diện tích của đáy là $\frac{b^2\sqrt{3}}{4}$. Do đó, thể tích của một khối nguyên thủy như vậy bằng $\frac{b^3\sqrt{2}}{24}$ và thể tích của một vật thu được từ một khối lập phương trong số tám khối nguyên thủy đó bằng

$$a^3 - \frac{b^3\sqrt{2}}{3}.$$

Vì, theo điều kiện bài toán, các đa giác đều phải nằm cách xa các mặt của hình lập phương, nên nghiệm là hai. Có thể có hình bát giác hoặc hình vuông (Hình 2 $a, 6$).

Trong trường hợp đầu tiên, $b = a(\sqrt{2} - 1)$, và sau đó từ (1) sau khi biến đổi, chúng ta thu được $V = \frac{7a^3(\sqrt{2} - 1)}{3}$.

Trong trường hợp thứ hai, $b = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, và từ (1) chúng ta tìm thấy $V = \frac{5a^3}{6}$.

Lưu ý rằng chỉ có 20% học sinh tìm thấy cả hai lời giải bài toán. Các lần xuất hiện còn lại chỉ có một lời giải. Trong trường hợp này, không có tùy chọn trước cho bất kỳ một trong hai đa giác - nhận được số lượng đầu xấp xỉ bằng nhau.

2. Hãy chứng minh rằng phân biệt $D$ của phương trình bậc hai này

Cơm. 2a.

Cơm. 26.

60

tiêu cực Thực sự,
$$D = (b^2 + c^2 - a^2)^2 - 4b^2c^2 = (b^2 + c^2 - a^2 - 2bc)(b^2 + c^2 - a^2 + 2bc) = [(b - c)^2 - a^2] \times [(b + c)^2 - a^2]$$
nhưng vì $a, b$ và $c$ là độ dài các cạnh của tam giác, nên $|b - c| < a$ và $b + c > a$, nghĩa là tương ứng với $(b - c)^2 - a^2 < 0$ và $(b + c)^2 - a^2 > 0$, tức là $D < 0$.

3. Cho dãy cần có dạng
   $$k + 1, k + 2, \dots, n - 1, n$$
   Khi đó, tổng của nó có thể được biểu diễn dưới dạng hiệu giữa tổng các đoạn của chuỗi tự nhiên từ 1 đến $n$ và từ 1 đến $k$, nghĩa là
   $$\frac{(n + 1)n}{2} - \frac{(k + 1)k}{2} = 1000$$
   hoặc $n^2 + n - k^2 - k = 2000$.
   Chúng ta hãy phân tích vế trái của đẳng thức này thành hai thừa số và vế phải thành thừa số nguyên tố:
   $$(n + k + 1)(n - k) = 2^4 \cdot 5^3$$
   Lưu ý rằng cả hai thừa số $n + k + 1$ và $n - k$ ở vế trái của đẳng thức này không thể chẵn vì tổng $2n + 1$ của chúng là số lẻ. Ngoài ra, yếu tố đầu tiên lớn hơn yếu tố thứ hai. Vì vậy, chúng ta đi đến một bộ gồm bốn hệ thống:
   $$\begin{cases} n + k + 1 = 2000, \\ n - k = 1, \end{cases} \quad \begin{cases} n + k + 1 = 400, \\ n - k = 5, \end{cases} \quad \begin{cases} n + k + 1 = 80, \\ n - k = 25, \end{cases} \quad \begin{cases} n + k + 1 = 125, \\ n - k = 16. \end{cases}$$
   Hệ thống đầu tiên đưa ra một “chuỗi” ba phần gồm số ít 1000. Các hệ thống còn lại đưa ra chuỗi:
   198, 199, 200, 201, 202;
   28, 29, …, 51, 52;
   54, 55, …, 69, 70.

4. Sử dụng góc $C$ để xác định loại. Sau đó $0 < B < \frac{\pi}{2} - A$, và do đó
   $$\cos B > \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right) = \sin A > 0$$
   và do đó $\cos^2 B > \sin^2 A$.

Khi đó $\cos^2 A + \cos^2 B > \cos^2 A + \sin^2 A = 1$, tức là $\cos^2 A + \cos^2 B > 1$, và thậm chí còn hơn thế nữa
$$\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C > 1$$
Q.E.D.

5. Số lượng người tham gia cuộc thi áp đảo đã giải quyết được điều này bài toán

Cơm. 3.
Giới thiệu việc xét đường tròn phụ (xem «Kvant» Số 1, 1971). Tuy nhiên, bài toán này cho phép học lời giải ngắn hơn (Galina Averbukh, $10^6$ lớp học số 200, Alexey Vodovozov, $10^a$ lớp học số 569).

Đặt trong tam giác $ABC$ (Hình 3), đường trung tuyến $BD$, bisserris $BE$ và đường cao $BF$ chia góc $B$ thành bốn phần bằng nhau, mỗi phần được ký hiệu là $\alpha$. Sau đó
$$AF = h \ tg 3\alpha; DF = h \ tg 2\alpha$$
và $FC = h \ tg \alpha$.
Kế tiếp
$$AD = AF - DF = h \ (tg 3\alpha - tg 2\alpha)$$
$$DC = DF + FC = h \ (tg 2\alpha + tg \alpha)$$
nhưng theo điều kiện $AD = DC$, tức là
$$tg 3\alpha - tg 2\alpha = tg 2\alpha + tg \alpha$$
hoặc
$$2 \ tg 2\alpha = tg 3\alpha - tg \alpha$$
$$\frac{2 \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 3\alpha \cos \alpha}$$

Vì $\sin 2\alpha \neq 0$, thì $2 \cos 3\alpha \cos \alpha = \cos 2\alpha$ hoặc
$$\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = \cos 2\alpha$$
nghĩa là, $\cos 4\alpha = 0$.
Theo đó, góc $B$ thuộc về.

61

Vòng thứ hai

Bốn mươi em vượt qua vòng 1 thành công đã tụ tập tại MESI vào ngày 25/4 để tiếp tục “cuộc thi”.

Ở vòng 2, một trong những “thành viên” của Ban tổ chức Olympic là máy thêu điện tử Minsk-22. “Thành viên” này có công việc chính. Vài nghìn bài toán đã được lưu trong bộ nhớ máy. Mỗi bài toán được trang bị một mã đặc biệt cho biết phần toán học mà bài toán này thuộc về và mức độ khó (tất cả bài toán đều thuộc các phần khác nhau của toán học có cùng độ khó).

Máy dành cho mỗi vận động viên Olympic được gọi là Varnan.

Sau thời hạn (4 giờ 45 phút) công việc được tách vào máy để kiểm tra*). Máy so sánh kết quả lời giải bài toán với các thuộc tính và những người giải đúng cả năm bài toán được tuyên bố là người chiến thắng. Máy đã hoàn thành tất cả công việc này trong khi những người tham gia Olympic đang làm quen với viện.

Sáu học sinh lớp 10 của các trường Matxcova được trao chứng chỉ MESI và những phần quà đáng nhớ:

*Elena Savina, Victor Zak, Sergey Mapenov, Mark Ritzel, Alexander Rozin, Leonid Terekhov.

Tổ chức Olympic Toán bằng máy là khâu cuối cùng của công tác tiến hành các kỳ thi đại học môn Toán và Vật lý trên máy tính. Công trình to lớn này đang được thực hiện dưới sự lãnh đạo của Hiệu trưởng MESI, GS. M. A. Koroleva, giáo sư. I. G. Venetsky và Tiến sĩ Khoa học Kỹ thuật A. G. Morozov.

*) Tất cả bài toán đều có số đáp số.

1. Một hình trụ được mô tả xung quanh một hình lập phương sao cho đường chéo của hình lập phương đó là trục của hình trụ. Tìm diện tích bề mặt bên của hình trụ nếu diện tích mặt cắt ngang của hình lập phương là $18 - 6\sqrt{2}$.

2. Giải phương trình
   $$\lg^2 3 + \lg^2 2 = \lg^2 3x + \lg^2 2x.$$

3. Mặt cắt chia hình chóp tam giác thành hai khối đa diện. Thể tích của các khối đa diện này liên quan như thế nào nếu các cạnh được chia cho phần này theo tỷ lệ 1:2; 1:2; 1:3, tính từ trên xuống à?

4. Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình
   $$\frac{2}{\sqrt{x}} + x\bar{x} = 3.$$

5. Giải phương trình
   $$5^{3x} + 9 \cdot 5^x + 27 (5^{-3x} + 5^{-x}) = 64.$$

6. Đáy của kim tự tháp $SABCD$ là hình thoi có các đường chéo $AC=a; BD=b$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và bằng $q$. Qua điểm $A$ và điểm giữa $K$ của cạnh $SC$ một mặt phẳng được vẽ song song với đường chéo của đáy $BD$. Xác định diện tích mặt cắt ngang.

7. Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình
   $$\sqrt[4]{97-x} + \sqrt[4]{x-15} = 4.$$

8. Giải bất đẳng thức
   $$x^{\log_2 x}-4 < 32.$$

9. Hình nón và hình trụ có một đáy chung, đỉnh của hình nón nằm ở tâm của đáy còn lại của hình trụ. Sin của góc giữa trục của hình nón và lõi của nó là bao nhiêu, nếu biết rằng tổng bề mặt của hình trụ có liên hệ với tổng bề mặt của hình nón là bảy đến bốn?

10. Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình
    $$\sqrt[3]{x^2+14x+24} - \sqrt[3]{x^2-5x+14} = \sqrt[3]{x+2}.$$

62

Về bài viết “Hệ phương trình đại số”

1. (3, 1, -2); (-5, -3, 0).
2. (2, -1/2, 4); (-2, 1/2, -4);
   ($\sqrt{2}/2, \sqrt{2}, 2\sqrt{2}$);
   ($-1\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}, -2\sqrt{2}$).
3. (1, 0, -1/2); (-1, 0, 1/2);
   $(i/\sqrt{3}, -2i/\sqrt{3}, i/2\sqrt{3})$;
   $(-i/\sqrt{3}, 2i/\sqrt{3}, -i/2\sqrt{3})$.
4. (0, 0, 0); (1, 2, 5); (-1, 2, -5);
   (-1, -2, 5).
5. (0, 0, 0); $(-1/2, -1, 2)$
6. (0, 0, 0); (-1, 2, 3).
7. (0, 0, 0); $(-3/4, 1/2, -2/4, 1/2)$.
   $(3/4, 3/4, 7/4, 3/4)$.
   $-\frac{5}{4}, \frac{3}{4}, \frac{3}{4}$.

Về bài viết “Ghi chú cờ vua và toán học” (xem «Kvant» số 9)

1. Đánh dấu tất cả các ô vuông của bàn cờ (ngoại trừ ô trung tâm mà quân mã không thể lấy được) theo thứ tự mà quân mã đi qua chúng (Hình 1 a) và nhìn vào hình phụ 1 b.

Cơm. 1 một.
Cơm. 1 b.

2. Lấy một sân rộng 2 tầng chạy dọc theo mép bảng. Đảm bảo rằng con ngựa có thể đi qua tất cả các ô vuông của sọc này, dẫm lên từng ô một lần (bạn có thể bắt đầu từ bất kỳ ô vuông nào của sọc này). Chia toàn bộ bảng thành các sọc như vậy và bắt đầu con đường của bạn từ trường trung tâm.

3. $m^2n^2 - 9mn + 12m + 12n - 16$. Với $m = n = 8$ chúng ta nhận được 3696.

4. Chúng ta hãy biểu thị số trường được yêu cầu bằng $N(n)$. Thật dễ dàng để kiểm tra trực tiếp rằng $N(0) = 1$, $N(1) = 8$, $N(2) = 33$. Với $n = 3$, hiệp sĩ có thể kết thúc ở tất cả các ô vuông màu trắng của hiệp sĩ thứ tám với các ô vuông ở mỗi bên như trong Hình 2 (hình vuông ban đầu nằm ở giữa). Chứng minh phương pháp quy nạp toán học rằng với bất kỳ $n \geq 3$ trường bắt buộc nào được lấp đầy không có khoảng trống, tất cả các trường liên kết đơn tương ứng với đầu thứ tám của trường, chúng ta thu được: $N(n) = 17n^2 + 4n + 1$ cho $n \geq 3$.

5. Các số $m$ và $n$ phải là số nguyên tố cùng nhau và ít nhất một trong số chúng phải là số lẻ.

Cần lưu ý «Kvant» cho học sinh nhỏ

(«Kvant» Số 9, 1971, trang bìa thứ 3)

1. Nó bị cấm. Tuy nhiên, mặc dù cân được cân bằng nhưng các tải trọng có khối lượng bằng nhau đặt lên cân sẽ tạo ra các mômen khác nhau so với trục gông.

2. Vào buổi tối trời tối và do đó đồng tử của một người bị giãn ra. Nhưng thấu kính của mắt không phải là thấu kính hoàn hảo. Hình ảnh được tạo ra bởi các phần khác nhau của thấu kính bị trộn lẫn với nhau do quang sai. Ống kính càng “hoạt động” thì hình ảnh càng mờ.

3. Sau khi nhúng đầu quả bóng đèn vào thùng nước rồi đập vỡ, dùng thước để thay đổi thể tích nước. Sau đó, đổ đầy nước vào quả bóng và thay đổi thể tích của quả bóng. Sử dụng $p_1V_1 = p_2V_2$ đó, giờ đây người ta có thể dễ dàng tìm thấy áp suất trong xi lanh.

4. Nhúng quả bóng bay vào hồ nước phía trên nhà, dùng thước đo để thay đổi thể tích không khí còn lại. Sau đó thực hiện tương tự như trong bài toán 3.

5. Do sự phản xạ ánh sáng nhiều lần ở ranh giới của tinh thể.