Bài toán về giải đấu cờ vua

25

NHIỆM VỤ
GIỚI THIỆU VỀ CỜ VƯƠNG
GIẢI ĐẤU

1. 8 kỳ thủ tham gia giải đấu*). Tất cả họ đều ghi được số điểm khác nhau và người đoạt giải nhì cũng ghi được số điểm bằng với tất cả các kỳ thủ xếp từ thứ 5 đến thứ 8. Các kỳ thủ xếp thứ 3 và thứ 5 đã thi đấu với nhau như thế nào?

2. Hai học sinh lớp 7 và một số học sinh lớp 8 đã tham gia giải đấu. Các học sinh lớp bảy cùng nhau ghi được 8 điểm, và tất cả các học sinh lớp tám đều ghi được bằng nhau. Có bao nhiêu học sinh lớp tám có thể tham gia giải đấu?

3. n kỳ thủ cờ vua—các kiện tướng và kiện tướng—đã tham gia giải đấu. Sau khi giải đấu kết thúc, hóa ra mỗi học sinh đã giành được một nửa số điểm của mình trong trận đấu với các cao thủ. Chứng minh rằng $\sqrt{n}$ là số nguyên.

4. Một người chơi cờ vua chơi ít nhất một ván mỗi ngày để rèn luyện và để không làm việc quá sức, không quá 12 ván một tuần. Chứng minh rằng có thể tìm được vài ngày liên tục anh ta chơi đúng 20 ván.

5. Mỗi kỳ thủ trong giải đấu đều ghi được một nửa số điểm của mình trong các trận đấu với các kỳ thủ đứng ở ba vị trí cuối cùng. Có bao nhiêu người tham gia giải đấu?

6. Chứng minh rằng vào cuối giải đấu, những người tham gia của nó có thể được xác định lại theo cách sao cho không một người tham gia nào thua người tiếp theo vô thời hạn sau anh ta.

*) Giả sử các kỳ thủ chơi cờ lần lượt với nhau, nghĩa là giải đấu được tổ chức theo một hiệp.