Thẳng và phẳng

54

Năm 1962, có rất nhiều sinh viên vào Khoa Toán Quốc tế của Đại học Tổng hợp Moscow gặp phải vấn đề như vậy.

Bài toán 1. Trong tam giác ABCD, đường cao AK đi qua điểm K của giao điểm các đường cao đáy BCD, các cạnh AB và AC phân bố lại cho nhau. Tìm tỉ số diện tích của các đường biên bên ADB và ADC, nếu AB=b, AC=c.

Sự phát triển mới này nằm ngoài tầm hiểu biết của hầu hết học sinh. Tại sao? bài toán có thực sự khó đến vậy không? Chúng tôi khuyên bạn nên tự suy nghĩ về vấn đề này và các vấn đề cạnh tranh danh dự khác sẽ được xem xét ở đây, và nếu bạn gặp khó khăn, chúng ta sẽ cùng nhau cố gắng hiểu nguyên tắc thất bại.

Nhiều người dường như đã quyết định rằng mọi thứ đều phụ thuộc vào những tính toán thông minh, bởi vì họ đã quen với việc giải hầu hết các phép tính bài toán ở trường. Trong khi đó, phép xoắn bài toán “chỉ” để chứng minh rằng AD⊥AB, AD⊥AC, rồi mọi chuyện đều đơn giản:

$$S_{\Delta ADB} = \frac{1}{2} AD \cdot AB = \frac{1}{2} AD \cdot b,$$

$$S_{\Delta ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot AC = \frac{1}{2} AD \cdot c,$$

$$\frac{S_{\Delta ADB}}{S_{\Delta ADC}} = \frac{b}{c}.$$

Do đó, điều chính trong bài toán là bằng chứng của một thực tế, như chúng ta sẽ thấy, dựa trên phần quan trọng của phép đo lập thể “Đường thẳng và mặt phẳng”. Chúng ta sẽ quay lại ví dụ của chúng ta sau. Và bây giờ hãy để tôi nhấn mạnh rằng nguyên nhân dẫn đến nhiều thất bại trong phép đo lập thể là do việc đánh giá thấp phần “Đường thẳng và mặt phẳng”. Các định lý của phần này thường được dạy theo công thức và không cố định trên lời giải một số lượng đủ máy chủ lập thể bài toán. Trong khi đó, lời giải lập thể bài toán hầu như luôn dựa trên các định lý biểu thị mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng: tính song song và tính lặp lại, góc và khoảng cách, thuộc về và giao nhau. Sẽ rất hữu ích nếu trong khi phân tích lời giải của chúng tôi, bạn nhận thấy những nơi áp dụng định lý này hoặc định lý kia và hình thành rõ ràng từng định lý đó.

Chúng ta hãy xét mối quan hệ tiền tiền tố của đường thẳng và mặt phẳng, hệ thức này đóng vai trò quyết định trong bài toán đầu tiên và trong nhiều bài toán khác. Định lý này được nhiều người biết đến.

Định lý 1. Nếu đường thẳng h tiền tỉ lệ với hai đường thẳng m và n theo mặt phẳng P đi qua giao điểm K của h với mặt phẳng P thì đường thẳng h tiền tỉ lệ với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng P đi qua K.

57

Mặt phẳng $P$ sẽ không thay đổi nếu mặt phẳng $P$ được thay thế bằng mặt phẳng $P' \parallel P$ (Hình 5).

Thật vậy, hình $A_1D_1C_1B_1A_2D_2C_2B_2$ là một hình lăng trụ chữ nhật và hai hình chiếu của tứ giác $(A_1B_1C_1D_1$ và $A_2B_2C_2D_2)$ là các đáy bằng nhau của nó. Do đó, các hình chiếu của tứ giác $ABCD$ vẫn là hình vuông tính từ cạnh $a$, nếu chúng ta giả sử rằng các mặt phẳng $Q'$ và $Q''$, mỗi mặt phẳng song song với chính nó, cắt nhau tại điểm $A$. Điều này sẽ đơn giản hóa việc vẽ và tính toán.

2. Nếu hình chiếu của tứ giác $ABCD$ là hình vuông thì bản thân tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Điều này xuất phát từ thực tế là mặt phẳng $ADD_1A_1$ (Hình 5) song song với mặt phẳng $BCC_1B_1$ $(A_1D_1 \parallel B_1C_1$ và $AA_1 \parallel BB_1)$, và trong trường hợp này là $AD \parallel BC$; tương tự như $AB \parallel DC$.

3. Theo điều kiện $AB' = AB'' = a$. Chúng ta hãy vẽ mặt phẳng $BB'B''B'''$ qua các đường vuông góc chiếu $BB'$ và $BB''$ (Hình 4). Mặt phẳng này vuông góc với cả mặt phẳng $Q'$ và mặt phẳng $Q''$ (theo định lý nào?).

Do đó, đường thẳng $l$ vuông góc với các mặt phẳng $BB'B''B'''$ và $\Rightarrow B'B''B''' = 90^\circ$ (các mặt phẳng $Q'$ và $Q''$ vuông góc). Do đó, $BB'B''B'''$ là hình chữ nhật. Nhưng tam giác vuông $ABB'$ bằng tam giác $ABB''$ (hãy nhớ rằng $AB' = AB'' = a$), vì vậy $BB' = BB''$ và do đó,

$$BB' = B'B''$$

Tương tự, người ta chứng minh rằng

$$DD' = D'D''$$

(bất kể điểm $D$ được đặt như thế nào so với mặt phẳng $Q'$ và $Q''$).

Trên cơ sở này, cuối cùng chúng tôi thực hiện một số tính toán.

TÍNH TOÁN. Vì theo điều kiện có $AB = \frac{a}{2}\sqrt{5}$ và $AB' = a$ nên $B'B'' = BB' = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\sqrt{5}\right)^2 - a^2} = \frac{a}{2}$. Do đó, trong một tam giác vuông, $AB'$ sẽ không thay đổi nếu mặt phẳng là $P' \parallel P$ (Hình 5).

Cơm. 5.

hình vuông $AB'B'''$ được thực thi tương ứng với: $B'B''' = \frac{1}{2}AB'$ và $\Rightarrow B'AB''' = 30^\circ$. Nhưng $\Rightarrow B'AD' = 90^\circ$ có nghĩa là $\Rightarrow D'AD''' = 60^\circ$. Điều này có nghĩa là $AD' = a$, chúng tôi tìm thấy

$$DD' = D'D'' = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Và cuối cùng, từ tam giác vuông $ADD'$ ta tìm được

$$AD = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{a}{2}\sqrt{7}$$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên chu vi của nó bằng

$$2(AB + AD) = a(\sqrt{5} + \sqrt{7})$$

bài toán sau đây được thực hiện trong kỳ thi viết của Khoa Vật lý của Đại học quốc gia Moscow năm 1964.

Bài 4. Hai vòng $Ax \perp AB$ và $By \perp AB$ xuất phát từ hai đầu của đoạn $AB = a$ và $Ax \perp By$. Trên lutz $Ax$ có một đoạn $AP = u$, và trên lutz $By$ có một đoạn $BQ = v$ cây anh túc, đó là $2uv = a^2$. Chứng minh rằng việc xét từ giữa đoạn $AB$ đến đường thẳng $PQ$ bằng $\frac{a}{2}$.

58

Nếu bạn nghĩ về điều kiện bài toán, bạn sẽ nhận thấy sự ngạc nhiên về việc chúng ta phải chứng minh. Trên thực tế, đoạn $PQ$ (Hình 6) không chiếm một vị trí cố định, vì các đoạn $AP=u$ và $BQ=v$ có thể thay đổi, miễn là $2uv=a^2$ không đổi. Chưa hết, khoảng cách từ giữa $AB$ đến đoạn chuyển động $PQ$ phải không đổi, cụ thể là $\frac{a}{2}$.

Đã giải quyết và e. Vì $AB \perp AP$, nên $BP^2=u^2+a^2$. Nhưng $BQ \perp AB$ và $BQ \perp AP$ (theo điều kiện), do đó, theo Định lý 2, đường thẳng $BQ$ vuông góc với mặt phẳng $ABP$, và do đó $BQ \perp BP$, tức là $\triangle BQP$ là đường thẳng và $PQ^2=BP^2+BQ^2=u^2+a^2+v^2$. Và vì $2uv=a^2$, nên $PQ^2=u^2+2uv+v^2=(u+v)^2$, tức là $PQ=u+v$.

Vì vậy, chúng tôi nhận thấy rằng nó luôn là $PQ=BQ+AP$. Thực tế này, như chúng ta sẽ thấy, là lý do tại sao $OK=\frac{AB}{2}$. Để bị thuyết phục về điều này, chỉ cần nhìn kỹ vào Hình 6 và thấy không gian của nó. Nếu chúng ta cẩn thận tách các tam giác vuông $OBQ$ và $OAP$ khỏi hình và đặt chúng trong cùng một mặt phẳng với tam giác $OPQ$, thì chúng ta có thể nhận thấy rằng hỗn hợp tam giác của $OBQ$ và $OAP$ (Hình 7, a) hóa ra bằng tam giác $OPQ$ (Hình 7, b) chính xác là vì $PQ=PA+BQ$. Điều này chứng tỏ rằng $OK=\frac{a}{2}$.

Nhiệm vụ. 5. (MSU, cơ chế, 1971). Tất cả các mặt của một paramid hình tam giác đều là những tam giác đều bằng nhau và chiều cao của paramid trùng với chiều cao của một trong các mặt bên của nó. Tìm một đối tượng paramid nếu khoảng cách giữa các cạnh lớn nhất bằng một.

Đã giải quyết và e. Đặt $ABCD$ là paramid đã cho (Hình 8), trong đó, theo các điều kiện, $AB=AC=BD=CD$ và $AD=BC$ (không khó để chỉ ra rằng chính xác hai cạnh đối diện của paramid phải bằng đáy của một tam giác đều). Chúng ta hãy biểu thị độ dài của chiều cao $DK$ của paramid bằng $h$ (chúng ta chưa biết điểm $K$ nằm ở đâu). Trước hết, chúng ta phải tìm ra cạnh nào của paramid sẽ lớn nhất và chiều cao của paramid nằm ở cạnh nào.

Chiều cao của paramid không thể nằm ở mặt $ADC$ hoặc ở mặt $ABD$ bằng nó, vì chiều cao tương tự của mặt kia sẽ lớn hơn $h$ (chiều dài của mặt nghiêng lớn hơn chiều dài của đường vuông góc). Do đó, chiều cao của paramid $DK$ phải nằm ở mặt $BDC$, và do đó $DK \perp AK$.

59

Cơm. 9.

Nhưng theo điều kiện $DK=AK=h$, do đó $AD=BC=h\sqrt{2}$, $KC=\frac{h}{2}\sqrt{2}$ và $DC=\sqrt{h^2+\left(\frac{h}{2}\sqrt{2}\right)^2}=h\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Vì vậy, các cạnh $AD$ và $BC$ lớn hơn các cạnh $AB$, $AC$, $BD$, $CD$. Chúng ta hãy thả một đường vuông góc từ điểm $K$ đến cạnh $AD:KM \perp AD$. Một lần $BC \perp DK$ và $BC \perp AK$, sau đó $BC \perp KM$. Do đó, $KM$ là đường vuông góc chung của các cạnh $AD$ và $BC$, và theo giả định nó bằng 1; nhưng trong tam giác vuông cân $ADK$ các đẳng thức $KM=\frac{1}{2}AD=\frac{h}{2}\sqrt{2}$ thỏa mãn, do đó $\frac{1}{2}h\sqrt{2}=1$, $h=\sqrt{2}$.

Bài toán 6. (MSU, Cơ học và Toán học, 1965). Trong tam giác paramid $SABC$ các đường thẳng ở đỉnh $S$ là đường thẳng. Chứng minh rằng đỉnh $S$, điểm $G$ giao nhau của các đường trung tuyến đáy $ABC$ và tâm $O$ của quả cầu ngoại tiếp cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải. Điểm $P$ (Hình 9) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, vì $AP=PC$, $\Rightarrow ASC=90^\circ$. Đường thẳng nối tâm quả bóng với tâm của đường tròn tiết diện vuông góc với mặt phẳng tiết diện, tức là $PO \perp ACS$. Tương tự như $QO \perp BCS$. Nhưng $SB \perp ACS$ và $AS \perp BCS$, bởi vì tất cả các đường thẳng ở đỉnh $S$ đều thẳng. Điều này có nghĩa là $PO \parallel SB$ và các điểm $P, O, S$ và $B$ nằm trong cùng một mặt phẳng, cũng như $OQ \parallel AS$ và các điểm $O, Q, A$ nằm trong cùng một mặt phẳng. Các mặt phẳng này có hai điểm chung (không trùng nhau) $S$ và $O$ nên đường thẳng $SO$ là giao điểm của các mặt phẳng này. Trong mặt phẳng thứ nhất là đường trung tuyến $BP$, và trong mặt phẳng thứ hai - đường trung bình $AQ$, do đó, điểm $G$ giao điểm của các đường trung tuyến nằm trong cả hai mặt phẳng, tức là trên đường thẳng $SO$ của giao điểm của các mặt phẳng, và đây là điều cần phải chứng minh.

Bài tập

1. Chứng minh định lý về ba đường vuông góc dựa trên Định lý 2.
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng tam giác đều và mọi đường thẳng có góc vuông tại đỉnh đều là đường trực tâm.
3. (MSU, Cơ học và Toán học, 1969). Các hình chiếu thẳng của tam giác $ABC$ lên hai mặt phẳng vuông góc với nhau là các tam giác đều có cạnh bằng 1. Tìm chu vi của tam giác $ABC$ nếu biết rằng $AB=\frac{1}{2}\sqrt{5}$.
4. (MSU, Cơ học và Toán học, 1970). Một đoạn $AB$ có độ dài đơn vị, là dây cung của hình cầu có bán kính 1, nằm ở một góc $π/3$ với đường kính $CD$ của hình cầu này. Khoảng cách từ đầu $C$ của đường kính đến đầu $A$ gần nhất của dây cung là $\sqrt{2}$. Xác định kích thước của đoạn $BD$.
5. (MSU, Cơ học và Toán học, 1971). Đáy của một paramid tứ giác là một hình vuông và tất cả các mặt bên đều là hình tam giác vuông, trong đó các đỉnh của góc vuông nằm trên đáy của paramid. Tìm thể tích của paramid nếu chiều cao của nó bằng một và một trong các góc hai chiều ở đỉnh là $120^\circ$.
6. (Khoa Vật lý, Đại học Tổng hợp Matxcova, 1970). Trong tam giác paramid $SABC$ tất cả các cạnh đều bằng nhau. Ở cạnh $SA$ chúng ta lấy điểm $M$ sao cho $SM=MA$, trên cạnh $SB$ chúng ta lấy điểm $N$ sao cho $SN=SB/3$. Qua các điểm $M$ và $N$, vẽ một mặt phẳng song song với các đường trung tuyến $ABC$. Tìm tỷ lệ thể tích của một paramid hình tam giác, bị cắt khỏi mặt phẳng được vẽ ban đầu, với thể tích của paramid $SABC$.
7. Ba gương tạo thành một góc tam giác, tất cả các góc hai chiều đều là góc vuông. Chứng tỏ rằng tia sáng tạo thành tam giác này dọc theo đường thẳng $l$, sau khi phản xạ từ các mặt gương sẽ đi dọc theo đường thẳng song song với $l$.
8. Dựng một đoạn có độ dài cho trước, song song với một mặt phẳng cho trước và các đầu của đoạn đó phải nằm trên hai đường thẳng cắt nhau.