Lời giải phương trình bậc hai sử dụng la bàn và thước kẻ

34

A. A. Presman

Phương pháp đồ họa lời giải của phương trình bậc hai sử dụng parabol là bất tiện. Nếu bạn xây dựng một parabol từ các điểm sẽ mất rất nhiều thời gian và mức độ chính xác của kết quả thu được không lớn.

Và một ngày nọ, nhớ về các công trình hình học, trong khi học bài toán tôi đã hỏi câu hỏi sau: “Tại sao chúng ta không giải phương trình bậc hai bằng compa và thước kẻ? Rốt cuộc, việc dựng một đường tròn rất dễ dàng!”

Đây là cách một vấn đề toán học nảy sinh trong lớp:

Sử dụng các hệ số thực $a$, $b$ và $c$ này, các phương trình $ax^2+bx+c=0$ xác định bán kính và tọa độ của tâm đường tròn giao với trục Ox tại các điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình này (ở mọi nơi bên dưới, chúng tôi giả sử rằng $a \neq 0$).

Rõ ràng là có nhiều đường tròn như vậy, vì vậy chúng ta hãy giả sử rằng đường tròn mong muốn cắt trục x tại các điểm $B(x_1, 0)$ và $C(x_2, 0)$, trong đó $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ và đi qua (để định nghĩa) qua điểm $A(0, 1)$ (Hình 1).

Khi đó, theo định lý o. đường cắt

$$OC \cdot OB = OE \cdot OA,$$

Ở đâu

$$OE = \frac{OB \cdot OC}{OA} = \frac{x_1 \cdot x_2}{1} = \frac{c}{a}.$$

Tâm $S$ của đường tròn nằm tại giao điểm của các đường vuông góc $SF$ và $SK$, được khôi phục tại trung điểm của các dây cung $AE$ và $BC$, do đó

$$OK = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-b}{2a},$$

$$OF = \frac{1 + \frac{c}{a}}{2} = \frac{a + c}{2a}.$$

Điều này dẫn đến phương pháp sau đây để tìm nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ bằng la bàn và thước kẻ.

Hãy dựng các điểm $S\left(-\frac{b}{2a}, \frac{c+a}{2a}\right)$ (tâm đường tròn) và $A(0, 1)$. Sau đó vẽ một hình tròn có bán kính $SA$. Trục hoành của giao điểm của đường tròn với trục Ox là nghiệm của phương trình bậc hai ban đầu.

Cơm. 1.