Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

34

А. А. Пресман

Графический способ решения квадратного уравнения с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов не велика.

И однажды, вспомнить про геометрические построения, учащся задачи мне такой вопрос: «А почему мы не решаем квадратные уравнения с помощью циркуля и линейки? Ведь окружность очень легко построить!».

Так возникла на уроке математическая проблема:

По данным действительным коэффициентам $a$, $b$ и $c$ уравнения $ax^2+bx+c=0$ определяют радиус и координаты центра окружности, пересекающей ось Ox в точках, абсциссы которых являются корнями данного уравнения (всюду далее мы считаем, что $a \neq 0$).

Сразу ясно, что таких окружностей много, поэтому допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках $B(x_1, 0)$ и $C(x_2, 0)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$, и проходит (для определения) через точку $A(0, 1)$ (рис. 1).

Тогда по теореме о. секущих

$$OC \cdot OB = OE \cdot OA,$$

откуда

$$OE = \frac{OB \cdot OC}{OA} = \frac{x_1 \cdot x_2}{1} = \frac{c}{a}.$$

Центр $S$ окружности находится в точке пересечения перпендикуляров $SF$ и $SK$, восставленных в серединах хорд $AE$ и $BC$, поэтому

$$OK = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-b}{2a},$$

$$OF = \frac{1 + \frac{c}{a}}{2} = \frac{a + c}{2a}.$$

Отсюда вытекает следующий способ нахождения корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ с помощью циркуля и линейки.

Построим точки $S\left(-\frac{b}{2a}, \frac{c+a}{2a}\right)$ (центр окружности) и $A(0, 1)$. Затем проведем окружность с радиусом $SA$. Абсциссы точки пересечения окружности с осью Ox являются корнями исходного квадратного уравнения.

Рис. 1.