Задачи М136—М140; Ф148—Ф152

Квант 1972, №4 с. 40-41 Тег X3IN

ЗАДАЧИ

В этом и следующих номерах в «Задачник «Кванта» включены некоторые задачи, предлагавшиеся в этом году на областных и ресурсных олимпiadах.

Решения задачи можно посылать не позднее чем через полтора месяца после выхода из печати соответствующего номера журнала по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», редакция журнала «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задачи вы посылаете; например: «Задачник «Кванта», М137, Ф139. В начале письма укажите свою фамилию, имя, отчество, домашний адрес (а также класс и школа, в котором Вы учитесь).

ЗАДАЧИ

M136. Можно ли увести из каменоломни 50 камней, веса которых 370 кг, 372 кг, 374 кг, …, 468 кг (все составляют арифметическую прогрессию с разностью 2 кг), на семи трехонках?

В. П. Федомов

M137. Пусть $a, b, c, d$ — длины четырех последовательных сторон четырехугольника, $S$ — его площадь.

a) Докажите, что $2S \leq ab + cd$ .
b) Докажите, что $2S \leq ac + bd$ .
b) Докажите, что если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырехугольник можно вписать в окружность.

M138. Докажите, что если $m$ и $n$ — целые числа и $1 \leq m < n$ , то

$\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^m C_n^k = 0,$

где $C_n^k$ — биомпальные коэффициенты, то есть коэффициенты многочлена

$(1+x)^m = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k.$

(Например, если $n=4$ , то $C_4^0=1$ , $C_4^1=4$ , $C_4^2=6$ , $C_4^3=4$ , $C_4^4=1$ и верны равенства

$-1 \cdot 4 + 2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 + 4 \cdot 1 = 0,$

$-1^2 \cdot 4 + 2^2 \cdot 6 - 3^2 \cdot 4 + 4^2 \cdot 1 = 0,$

$-1^3 \cdot 4 + 2^3 \cdot 6 - 3^3 \cdot 4 + 4^3 \cdot 1 = 0.$

M. И. Сидоров

M139. Из вершины $B$ параллелограмма $ABCD$ проведены его высоты $BK$ и $BH$ . Известны отрезки $KH=a$ и $BD=b$ . Найдите расстояние от точки $B$ до точки пересечения высот треугольника $BKH$ .

Ф. А. Барменев

M140. С натуральным числом (записьваемый в десятичной системе) разрешается проделать следующую операцию:

A) приписать в конце цифру 4;
B) приписать в конце цифру 0;
B) разделить на 2 (если число четно).

Например, если с числом 4 проделать последовательно операции $B$ , $B$ , $A$ и $B$ , то получится число 140.

a) Как из числа 4 получить число 1972?

- Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.

А. К. Толпьео

Ф148. Ядро массы $M$ , летящее со скоростью $V$ , распадается на два одинаковых осокла. Внутренняя энергия ядра $E_1$ , внутренняя энергия каждой из осоклов $E_2$ ( $E_1 > 2E_2$ ). Определить максимальное возможный угол между вектором скорости одного из осоклов и вектором $Y$ .

Ф149 *. Во сколько раз уменьшится сила притяжения двух маленьких шариков, один из которых заряжен, а другой нейтрален, если расстояние между шариками увеличить вдвое?

И. Ф. Гинзбург

Ф150. В некоторой галактике обнаружена звезда З с планетой П, делаяшей за время $T_1$ один оборот вокруг звезды и за время $T_2$ один оборот вокруг вокруг оси. Спутник S планеты П делает один оборот вокруг планеты за время $T_3$ . Через какое время повторяется в данном месте планеты затмение спутника S? Все тела врашаются в одной плоскости.

Г. Л. Комкин

Ф151. Два плоских зеркала образуют двумяный угол с растором $90^\circ$ . В угол вставлена линза с фокусным расстоянием $F$ так, что главная оптическая ось линзы составляет угол $45^\circ$ с каждой зеркалом. Радиус линзы равен ее фокусному расстоянию. Найти положение изображения источника, расположенного на главной оптической оси линзы на расстоянии 1,5 $F$ от нее.

Ф152. Объем газового пузыря, образованшегося в результате глубиной подводного взрыва, колблется с перiodом, пропорциональным $P^a \cdot \rho^b \cdot E^c$ ( $P$ — давление, $\rho$ — плотность воды, $E$ — полная энергия взрыва). Найти $a, b$ и $c$ .

ДВЕ ИГРЫ
(начало см. на стр. 27)

Новый ним

На столе лежат $n$ кучек камней; кроме того, каждый из двух играющих имеет некоторое число камней (возможное, играющее и не знают, сколько камней имеет противник). За ход можно либо взять любое число камней из одной кучки, либо положить любое число камней просто на стол, образовав тем самым еще одну кучку. Выигравшим считается тот,

кто после своего хода соберет у себя все камни.

Определите, при каких начальных положениях камней в каждой из кучек и у каждой из двух играющих) выигравает первый играющий, а при каких — второй.

А. Ю. Сойфер