Варианты вступительных экзаменов по математике 1971 года

60

ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ 1971 ГОДА

Московский государственный университет
имени М. В. Ломоносова

Механико-mатематический факультет

1. Решить уравнение:
   $$x^2 \log_3(x^2) - (2x^2 + 3) \log_9(2x + 3) = 3 \log_3\left(\frac{x}{2x + 3}\right).$$
2. Найти все $x$ из отрезка $0 \leq x \leq \pi$, удовлетворяющие неравенству
   $$\sin 2x + \sin x - \sqrt{2} \cos x < \frac{1}{\sqrt{2}}.$$
3. Боковые грани четырехугольной пирамиды — равные равноведенные треугольники, а в основании пирамиды лежит ромб, одна диагональ которого в два раза длинее другой. Найти объем $V$ пирамиды, если известно, что площадь боковой поверхности равна 6, а средний боковый ребер есть два ребра, составляющих тупой угол.
4. Найти все значения $\alpha$, при которых система неравенств
   $$\begin{cases} x^2 + 4x + 3 \leq \alpha, \\ x^2 - 2x \leq 3 - 6\alpha \end{cases}$$
   имеет единственное решение.
5. В четырехугольник $ABCD$ можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагональ $AC$ делит площадь четырехугольника пополам. Найти длину diagonали $BD$, если радиус вписанной окружности равен $r$, а перimeter четырехугольника равен $p$.

Отделение структурной и прикладной лингвистики филологического факультета

1. Четверго лингвистов (каждый по отдельности) занимаются математической обработкой текста. Каждый из них работает с постояной произвольностью. Если первые трое будут работать по одному часу, а четвертый — два часа, то вместе они успешют обработать 26 страниц текста. Если третий будет работать два часа, а остальные — по часу, то будет обработано 32 страниц текста. Если второй будет работать два часа, а остальные — по часу, то будет обработано 40 страниц текста. Сколько страниц текста будет обработано, если первый будет работать три часа, второй — пять часов, а третий — семь часов?
2. Большая сторона прямогольника равна $d$. Проводится окружность с центром в одной из вершин прямогольника и радиусом, равным его меньшей стороне. Из прямогольника удаляется общая часть с полученным кругом.
   При каком значении длины меньше стороны площадь оставшейся части будет максимальной?
3. Определить, сколько целочисленных решений имеет неравенство
   $$(n^2 - 2)(n^2 - 22)(n^2 - 52)(n^2 - 152) < 0.$$
4. Определить, при каких $a$ неравенство $\log_{a(a+1)}(|x|+4) > 1$ выполняется при любом действительном $x$.
5. Средний комплексных чисел $z$ найти все те, для которых
   $$\log_2(1 + |z^2 - i|) + \log_{16}\frac{1}{(1 + |z^2 + i|)^4} = 0.$$
6. Исследовать и решить систему уравнений:
   $$\begin{cases} x^7y^{31} = a, \\ x^2y^9 = b. \end{cases}$$
7. Доказать, что если $p$ и $q$ — целые числа, причем $p^2 - 7q^2 = 2pq$, то $p=q=0$.