Конус максимального объёма в природе

28

Конус максимального объема в природе

С. М. Петров

Рассмотрим известную задачу:
Задача 1. Уеол при вершине в осевом сечении конуса равен $\alpha$. Найти центральный уеол $\beta$ в развертке его боковой поверхности.

Решение. Изображим на рисунке 1 осевое сечение конуса и на рисунке 2 — его развертку. Заметаем $*$), что $2\pi R = \beta L$ или

$$\beta = 2\pi \frac{R}{L} = 2\pi \sin \frac{\alpha}{2}. \tag{1}$$

Задача 2. Дан круг радиуса $L$ (рис. 2). Вырезать из него развертку конуса наибольшего объема.

Решение. Имеем (см. рис. 1)

$$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left(L \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2 \times L \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3} \pi L^3 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}. \tag{2}$$

Если зафиксировать образуюшую $L$ и менять угол $\alpha$, то объем $V$ достигнет наибольшего значения одновременного с функцией

$$y = \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}, \tag{3}$$

где $0 < \alpha < \pi$.

*) Разумеется, углы измеряют в радианах.

Сделаем замену переменных:

$$\sin \frac{\alpha}{2} = u.$$

Тогда

$$y = u^2 \sqrt{1 - u^2} = \sqrt{u^4 (1 - u^2)} = \sqrt{\frac{1}{2} u^2 u^2 (2 - 2u^2)}.$$

Так как $u^2 + u^2 + (2 - 2u^2) = 2 = \text{const}$, то подкоренное выражение достигнет своего максимума $*$) при $u^2 = u^2 = 2 - 2u^2$. Отсюда $u^2 = \frac{2}{3}$, и

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}, \tag{4}$$

$\alpha = 2 \arcsin \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 2 \arcsin \frac{2,44949}{3} \approx 2 \arcsin 0,8165 = 2 \cdot 54^\circ 44' = 109^\circ 28'$. \tag{5}

Учитывая (1) и (4), находим

$$\beta = 2\pi \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{2\pi \sqrt{6}}{3} \approx 120^\circ \cdot 2,44949 \approx 293^\circ 56'.$$ \tag{6}

*) См. статью А. П. Савина «Максимум, минимум и теорема о средних», «Квант» № 11, 1970.

29

ВЫЧИСЛИМ МАКСИМАЛЬНЫЙ ОБЪЕМ КОНУСА. ДЛЯ ЭТОГО Найденное в (4) значение sin $\frac{\alpha}{2}$ подставим в (2):

$$V_{\text{max}} = \frac{1}{3} \pi L^3 \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right)^2 \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right)^2} = \frac{1}{3} \pi L^3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2 \pi L^3 \sqrt{3}}{27} = 0,4030 L^3$$

Интересно отметить, что такие конусы встречаются в природе, разумеется, с известным приближением. Вот один физический пример.

Задание 3. Пусть электронная лампока может передвiazаться (например, на блоке) по вертикальной прямой OB (рис. 3). На каком расстоянии от горизональной плоскости OA ее следует помещить, чтобы в точке A получить наиболее освещенное?

Решение. Известно, что освещенность $E$ пропорциональная косинусу угла падения лучей ($\Rightarrow BAN = \frac{\alpha}{2}$) и обратно пропорциональная квадрату расстояния ($AB = L$), то есть

$$E = C \cdot \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{L^2},$$

где $C$ зависит от силы света лампоки.

Учитывая, что $L = \frac{R}{\sin \frac{\alpha}{2}}$, приведем формулу (8) к виду

$$E = \frac{C}{R^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}.$$

Подмечаем, что $E$ пропорциональная функция (3), то есть данная задача свелась к задаче 2.

Таким образом, если лампоку помещить в вершине конуса максимального объема, то окружность его основания получит наиболее освещенное (!).

Наконец, еще одно явление.

В учебнике по организационной химии Л. А. Цветкова («Просвещение», М., 1969, стр. 16) находится:

«Все валентные связи atoma углерода направлены к вершинам терраэдра, одинаково удалены друг от друга, угол между ними составляет 109°28′».

Проверим, что и здесь появляется освенноеечение конуса наиболее освещенное?

Пусть в центре $O$ правильно терраэдра $SABC$ (рис. 4) находится atom углерода, а четыре валентности направлены к его вершинам. Докажем, что треугольники $AOS, BOS$ являются освенными сечениями конуса максимального объема, то есть, что направер,

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}.$$

Обозначим $\Rightarrow AOS$ через $\alpha$. Проведем $ON \perp AS$, тогда $\Rightarrow NOS = \frac{\alpha}{2}$. Далее, $\triangle AO_1S \sim \triangle ONS$ (очевидно). Отсюда $\Rightarrow SAO_1 = \Rightarrow NOS = \frac{\alpha}{2}$.

Если обозначить ребро терраэдра через $a$, то $AO_1 = \frac{a \sqrt{3}}{3}$,

$$SO_1 = \sqrt{AS^2 - AO_1^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}.$$

Следовательно,

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \sin \Rightarrow NOS = \sin \Rightarrow SAO_1 =$$

$$= \frac{SO_1}{AS} = \frac{a \sqrt{6}}{3a} = \frac{\sqrt{6}}{3},$$

что соответствует формуле (4).

Интерес вызывает построение графика функции

$$y = \sin^2 x \cos x,$$

которое мы представляем читателем.