Решения задач М96—М100; Ф108—Ф115

42

РЕШЕНИЯ

В этом номере мы публикуем решения задач М96—М100

М96

Про пять положительных чисел извесно, что если из суммы любых трех из них вычесть сумму двух остальных, то разность будет положительной. Доказите, что произведение всех десяти таких разностей не превыходит квадрата произведения данных пятей чисел.

Пусть $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ — данные числа Тогда $(a_1+a_2+a_3-a_4)(a_1+a_3+a_4-a_2-a_5)=a_1^2-(a_2+a_5-a_3-a_4)^2\leq a_1^2$.

Аналогично доказывается, что $(a_2+a_3+a_1-a_4-a_5)\times(a_2+a_4+a_5-a_3-a_1)\leq a_2^3$,
$(a_3+a_4+a_2-a_5-a_1)\times(a_3+a_5+a_1-a_4-a_2)\leq a_3^2$,
$(a_4+a_5+a_3-a_1-a_2)\times(a_4+a_1+a_2-a_5-a_3)\leq a_4^2$,
$(a_5+a_1+a_4-a_2-a_3)\times(a_5+a_2+a_3-a_1-a_4)\leq a_5^2$.

Остается перемножить эти неравенства, и задача решена.

Доказите более общее утверждение: если данные $2n+1$ положительных чисел, что разность между суммой любых $n+1$ чисел и суммой $n$ остальных положительных, то произведение $B$ всех $C_{2n+1}^n$ таких разностей и произведение $A$ всех $2n+1$ данных чисел связаны неравенством

$$B^n\leq A^{C_{2n+1}^n}$$

М97

В трапеции $ABCD$ с основанием $AB=a$ и $CD=b$ проведен отрезок $A_1B_1$, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции $A_1B_1CD$ снова проведен отрезок $A_2B_2$, соединяющий середины диагоналей, и так далее (рис. 1). может ли в последовательности длини отрезков $AB, A_1B_1, A_2B_2, \dots$ какое-то число встретиется дважды? Будет ли эта последовательность монотной (возрастющей или убывающей?) Стремится ли она к какому-нибудь пределу?

Пусть $A_1$ и $B_1$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции, $E$ и $F$ — середины боко-

43

вых сторон AD и BC (рис. 2). Поскольку $A_1F$ — средняя линия треугольника ACB, а $B_1F$ — средняя линия треугольника DCB, то точки $A_1$ и $B_1$ лежат на отрезке EF и

$$a_1 = A_1B_1 = |A_1F - B_1F| = \left| \frac{a-b}{2} \right|.$$

(Эта формула верна независямо от того, какое из чисел $a$ и $b$ больше). Точно так же доказывается, что

$$a_{n+1} = \left| \frac{a_n - b}{2} \right|,$$

(1)

где $a_n = A_nB_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) – интересующая нас последовательность. Тем самым задача сведена к числу алгебраической задаче о последовательности, определяемой соответствием (1) с изначальным членом $a_0 = a > 0$.

Если $a_n > b$, то $a_{n+1} = \frac{a_n - b}{2} < a_n - b$.

Поэтому если $a > b$, то каждый член последовательности будет меньше предыдущего по крайней мере на $b$ до тех пор, пока не встретился член $a_m$ такой, что $a_m \leq b$ (если $a \leq b$, то положим $m=0$, $a_m = a_0 = a$; многие читатели рассматривали только этот случай; только он рассматривается и в книге «Matематические задачи» *).

Итак, мы рассматриаем теперь только $n \geq m$.

Если $a_n \leq b$, то $a_{n+1} = \frac{b - a_n}{2} \leq \frac{b}{2} < b$.

Таким образом, все следующие за $a_m$ членов последовательности будут меньше $b$ и поэтому при всех $n \geq m$

$$a_{n+1} = \frac{b - a_n}{2}.$$

(2)

Рис. 2.

*) Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь, А. К. Толыгю, «Matематические задачи», изд. 3-е, «Наука», 1971, задача 147.

Рис. 3. Члены последовательности $a_n$, определяемой условием $a_0 = a$, $a_{n+1} = \left| \frac{a_n - b}{2} \right|$ — абсциссы вершин ломаной, окруженной в зеленьй цвет. Звенья этой ломаной переменно параллельны осем $Ox$, $Oy$, а ее вершины лежат попеременно на прямой с уравнением $y = x$ и на графике функции $y = \left| \frac{x - b}{2} \right|$.

Рис. 4.

Уравнение $x = \frac{b - x}{2}$ имеет единственное решение $x = \frac{b}{3}$. Поэтому если по последовательности $\{a_n\}$ существует предел, то он равен $\frac{b}{3}$.

Пусть $a_m \neq \frac{b}{3}$. Положим $a_n = \frac{b}{3} + \delta_n$. Тогда из (2) следует, что $\frac{b}{3} + \delta_{n+1} = \frac{b}{3} - \frac{\delta_n}{2}$, то есть

$$\delta_{n+1} = -\frac{\delta_n}{2}$$

(3)

— при переходе от $n$ к $n+1$ разность $a_n - \frac{b}{3} = \delta_n$ меняет знак и по абсциссной величины уменьшается вдвое. Тепер все ясно: в последовательности $a_n$ никакое число может встретиться дважды, последку каждой члены к $\frac{b}{3}$, чем предыдущий. Эта последовательность не монотна, но стремится к пределу $\frac{b}{3}$ (рис. 3, 4).

44

Рис. 5.

К сожалению, неокоторые читатели пишут: «Поскольку последовательность не монотанная, она не стремиется к пределу».
Это рассуждение, конечно, неверно. Доказем строко, пользовать определением предела, что

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{b}{3}.$$

Пусть задано $\varepsilon > 0$. Тогда если $n > N$, где $N = N_{(\varepsilon)}$ — наименьшее целое число, для которого $2^N \varepsilon > 2^m |\delta_m|$, то $\left| a_n - \frac{b}{3} \right| = |\delta_n| = \frac{|\delta_m|}{2^n - m} < \frac{|\delta_m|}{2^N - m} < \varepsilon$.

Тем самым (4) доказано.

Разумеется, предел равен $\frac{b}{3}$ и в том случае, когда $a_m = \frac{b}{3}$ — в этом случае все последующие члены тоже равны $\frac{b}{3}$. Выясним, при каких значениях $a$ возникает этот случай. Если $m = 0$, то $a = \frac{b}{3}$. Если $m = 1$ и $a_1 = \frac{a - b}{2} = \frac{b}{3}$, то $a = \frac{5b}{3}$.

Рис. 6.

Вообщее, если $a_m = \frac{b}{3}$, то $a = a_0$ получается из $a_m = \frac{b}{3}$ после $m$-кратного применения формулы $a_{n-1} = 2a_n + b$. Таким образом, как нетрудно проверить, значения $a$, при которых $a_m = \frac{b}{3}$, составляют последовательность $\frac{b}{3}, \frac{5b}{3}, \frac{13b}{3}, \ldots, \frac{(2^k - 3)b}{3}$, … При этих (и только этих) значениях $a$ последовательность получается монотной (и с некоторого места — постоянной).

Мы не видели отдельно случай, когда $a_m = b$ (при этом $a_{m+1} = 0, a_{m+2} = \frac{b}{2}, \ldots$), — с алгебраической точки зрения он ничего не применяется, но соответствующие $n = m$ и $n = m+1$ трапеции вырождаются в параллелограмм и в треугольник (точки $B_{m+1}$ и $C_{m+1}$ совпадают, рис. 5); начиная с $n = m+2$, получаются настояние трапеции, и, как всегда, $a_n$ стремится к пределу $\frac{b}{3}$.

М98

Докажите, что в таблице

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

где каждое число равно сумме трех, стоящих над ним, в каждой строке (начиная с третьей) есть четное число. В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, делящая на три?

Исследуем сначала вопрос о делимости на два. Будем в нашей таблице вместе чисел писать 0, а вместо нечетных — 1. Тогда таблицу из 0 и 1 нужно будет составлять по тому же правила (кажде число получается как сумма трех, стоящих над ним в предыдущей строке), только сложение нужно выполнять «по модулю два» — по правилам $0+0=0, 0+1=1+0=1, 1+1=0$.

Первоение основано на таком совокупении: последние четные числа в каждой строке зависит только от того, каковы последние четные числа в предыдущей строке, и поэтому нет ничего удивительного в том, что эта четвёрка периодическая повторяется (с периодом 4, см. рис. 6) *).

*) Аналогичное решение приводится в книге Д. О. Шклярского, Н. Н. Ченцова и И. М. Яглома «Избранные задачи и теоремы элементарной математики», изд. 4-е, «Нука», 1965, задача 10.

45

Другое решение, предложенное рядом читателей — доказательство от противного. Предположим, что какая-то строка целиком состоит из единиц:

111 … 111

Тогда предыдущая строка, как легко убедиться, может быть только такой:

100100 … 001001,

а идущая перед ней — только такой:

110000110000 … 000011000011.

Но это невозможно, поскольку в каждой строке нашей таблицы нечетное количество чисел.

Что касается делимости на 3, то, как легко убедиться, уже в следующей, четвертой строке таблицы (верхней строке из одной единицы удобно присвоить номер 0)

1 4 10 16 19 16 10 4 1

ни одно число не делится на 3 (причем все дают при делении на три остаток 1). Разобравшись в структуре нашей таблицы «по модулю 3» (на рис. 7 числа, дающие при делении на три остаток 0, 1 и 2, заменены соответственно желтыми, черными и красными кругочками), можно заметить, что тем же свойством будут обладать строки с номерами 1, 1+3=4, 1+3+3^2=13, 1+3+3^2+3^3=40 и т. д.

Читатели в своих письмах сообщают и о других свойствах чисел этой таблицы. Много разных свойства можно вывести, пользоваться тем, что в n-й строке нашей таблицы стоит коэффициенты многочлена

$$(1+x+x^2)^n = \sum_{k=0}^{2n} B_n^k x^k$$

(действия примерно так же, как в статье «Арифметика биомпальных коэффициентов», «Кваант» № 6, 1970). Например, сразу ясно, что $\sum_{k=0}^{2n} B_n^k = 3^n$, $\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k B_n^k = 1$, и нетрудно доказать, что $\sum_{k=0}^{n} (B_n^k) = B_{2n}^n$ (см. задачу 61 в книге А. М. и И. М. Ягломов «Незlementарные задачи в элементарном изложении», Гостехидат, 1954). Проверьте, что

Рис. 7.

Рис. 8.

если $p$ — простое, $s < p$ и $r < p$, то

$$B_{lp+s}^l B_{m+r}^m \equiv B_{l}^l B_{m}^s + B_{l-1}^l B_{m}^s + p$$ (mod $p$)

(если $k > 2n$, то $B_{n}^k$ считается равным 0).

Решения задач M96 — M98 прислали многочлены читателя. Не менее двух из этих задач решили А. Гризорян (Баку), С. Коняzin (Саратов), А. Меркурьев (Ленинград), М. Розов (Минск), М. Преезер (Томск), А. Слинкин (Москва), А. Черняк (Минск), Э. Туркевич (Черновцы), С. Команов (п. Цалка Грузинской ССР), Г. Тимофеев (Саратов), Ю. Кисин (Страная Русса), В. Надежко (Ленинград), А. Блюхин (Киселевск Кемеровской обл.), Е. Гундурь (Ворошилговряд), А. Макарыцев (Львов), И. Шпарлинский (Москва).

М99

В треугольнике ABC сторона AC — наиболеешая. Доказите, что для любой точки M плоскости AM+CM не меньше ВM. В каких случаях возможно равенство?

Доказем сначала такую лемму.

Лемма. Для любых четырех точки A, B, C, M на плоскости

$$AC \cdot BM \leq AB \cdot CM + BC \cdot AM$$ (1)

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда ABCM — выпуклый вписанный четырехугольник (или когда одно из слагаемых в правой части равно нулю из-за того, что некоторые две точки совпадают).

Доказательство леммы. Выберем точку P так, что $\Rightarrow BAP = \Rightarrow CAM$ и $\Rightarrow MAP = \Rightarrow CAB$, а PA = $\frac{AB \cdot AM}{AC}$ (рис. 8). Тогда $\triangle BAP \sim \triangle CAM$ (первая получает-

48

которой будет врашаться соломинка, не совпадет с ее серединой.

Сила трения каждой из кусков соломинки пропорциональна весу этих кусков

$$F_1 = m \frac{l - x}{l} gk, \quad F_2 = m \frac{x}{l} gk.$$

Теперь можно записать условие равенства нулю моментов сил относительно точки 0:

$$F(l - x) - F_1 \left( \frac{l - x}{2} \right) - F_2 \frac{x}{2} = 0.$$ (1)

Подставляя значения $F_1$, $F_2$ и $F \approx mgk$ (так как по условиям $F$ лишь несколько меньше $mgk$), найдем, что

$$x = \frac{l}{\sqrt{2}}.$$

Это расстояние меньше половины длины соломинки. Таким образом, соломинка врашается не вокруг середины, а вокруг точки, находящей близке к одному из концов. Повернуть соломинку на $180^\circ$, муравьи перевиднут ее на некоторое расстояние. Теперь всего операцию можно повторить, только соломинку с другого конца. И так далее.

Исследуем еще формулу (1). Подставляя в нее $F_1 = m \frac{l - x}{2} gk$ и $F_2 = m \frac{x}{l} gk$ и обозначая $\alpha = \frac{F}{mgk}$, получим

$$\alpha = \frac{2x^2 + l^2 - 2lx}{2l(l - x)}.$$

Te, кто умеет находить минимум функций, приравнять ее производуную нулю, могут найти, что $\alpha$ минимально при $x = l \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \approx 0,3l$. Оно равно 0,43. Таким образом, для того, чтобы врашать соломинку, муравьям достаточно приложить к одному из концов силу, равную 0,43 $mgk$.

Правильное решение прислада: В. Белов (Вологда), И. Брамовская (Усольье-Сибирское Иркутской обл.), М. Вайнхахер (Кривой Рог); Ф. Галцев (Ташкент); Е. Голубев (Мамонов Калининградской обл.), Д. Грак (Смолевич Минской обл.), Е. Громак (Новокузнецк); Г. Зайцев (Гагра); Л. Книжерман (Москва); С. Кузьмчи (Житомир); Е. Латышев (Баку), А. Левыкин (Райгахинск Амурской обл.), С. Легушиин (Днепропетровск), М. Преер (Томск), А. Редченko (с. Новопетровка Сумской обл.), А. Ренков (с. Поломшное Кемеровской обл.), Л. Салина (Благовещенск), В. Сервах (Фрунзе), Н. Федин (Омск), М. Флеров (Москва), Г. Шепенько (Давид-Gородок Брестской обл.), М. Юдсон (Волгоград), С. Чекмарев (Москва).

Ф109

В опыте было установлено, что температура $m=142$ е ледяной воды в легком состоянии, подвешенное посредине комнаты, поднялась на $\Delta t=4^\circ$ С за полчаса. Когда же в состоянии находилось такое же количество льда, то на его тяние потребовалось 10 часов. Какова, исходя из этого эксперимента, удельная теплота плавления льда? Удельная тепломкость воды $c_B=1$ кал/г.

Найдем количество теплла $Q$, которое подводится к сосуду за полчаса. Так как этого количество теплла оказалось достаточно для нагревания воды, то

$$Q = c_B m \Delta t.$$

За 10 часов к сосуду подводится в 20 раз больше количества теплла. Поэтому

$$\lambda m = 20 c_B m \Delta t.$$

Отсюда

$$\lambda = 20 c_B \Delta t = 80 \text{ кал/г}.$$

Правильное решение этой задачи прислада около 100 читаелей.

Ф110

Если волтметр подключит параллельно верхнему сопротивлению $r_1$ (рис. 11), то он показывает $u_1=6$ в, если параллельно нижнему сопротивлению $r_2$, то $u_2=4$ в, а если его подключит к точкам $A$ и $B$, то он показывает $u=12$ в. Каковы в действительности падения напряжения на сопротивлениях $r_1$ и $r_2$?

Внутреннее сопротивление источника пренежимо мало.

При подключитении волтметра к точкам $A$ и $B$ его показание равно эд. с. источника. Поэтому если волтметр подключит к сопротивлению $r_1$, а внутреннее сопротивление волтметра равно $r$, то по цепи идет ток

$$I = \frac{u}{r_2 + \frac{r_1 r}{r_1 + r}}.$$ (1)

Это означает, что

$$u_1 = \frac{u}{r_2 + \frac{r_1 r}{r_1 + r}}.$$ (1)

Рис. 11.

49

Точно так же

$$u_2 = \frac{u}{r_1 + \frac{r_2 r}{r_2 + r}} \frac{r_2 r}{r_2 + r}.$$

Разделив конечное уравнение (1) на уравнение (2), получим

$$\frac{u_1}{u_2} = \frac{r_1}{r_2}.$$

Таким образом, $$\frac{r_1}{r_2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.$$

При отключном волтметре падение направления на сопротивлениях $r_1$ и $r_2$ равно $u=12$ в. Так как отношение сопротивления известно, нетрудно найти и падение направления $u'_1$ и $u'_2$ на сопротивлениях:

$$u'_1 + u'_2 = u, \quad \frac{u'_1}{u'_2} = \frac{r_1}{r_2}.$$

Отсюда

$$u'_1 = \frac{u r_1}{r_1 + r_2} = \frac{u}{1 + \frac{r_2}{r_1}} = 7,2b;$$

$$u'_2 = u - u'_1 = 4,8b.$$

Правильное решение прислали: П. Аненко (с. Тоцкое Оренбургской обл.), Е. Долцов (Москва), А. Качильсон (Новомосковск Тульской обл.), С. Кузьмчи (Житомир), Е. Ламышев (Баку), А. Левыкин (Райгахинск Амурской обл.), А. Мамула (с. Дыбинцы Киевской обл.), В. Переседов (Похвистнево), М. Преезер (Томск), Л. Рудцер (Харьков), Л. Салница (Благовещенск), А. Сбоев (п. Медведок Кировской обл.), П. Сереев (Грозный), Ш. Сленой (Черновцы), Н. Ткаченко (Днепропетровск), И. Турищев (Кропоткин Краснодарского края), Н. Федин (Омск), Г. Цибенko (Славянск Донецкой обл.), Л. Циферблат (Львов), В. Шабунин (Москва), Е. Шахнович (Калинин обл.), Р. Шзаанов (Люберцы Московской обл.), И. Юрценко (Киев).

Ф111

Имеется однородный шнур со взрывчатым веществом. Скорость горения шнура равна $v$, скорость распространения взрывной волны по воздейству $c$. Найти форму линии, по которой нужно распростратить шнур, чтобы еолны от всех точек шнура прилили в заданную точку одновременно.

Можно ли сделать то же самое с поверхностью со взрывчатой и получить сходуляющая сферическую волну с большой плотностью энергики?

Если скорость распространения взрывной волны больше скорости горения шнура, то распростить шнур так, чтобы взрывные волны от всех точек шнура прилили в заданную точку одновременно, невозможно. Если $v=c$, то шнур, очень длинно, нужно распростить по прямой, проходящей через заданную точку. В случае $v>c$ ответ не так очень.

Разберем этот случай подробнее.

Пусть красная кривая на рисунке 12 — это линия, по которой нужно распростить шнур для того, чтобы взрывные волны прилили в точку $O$ одновременно. Выберем на линия две близкие точки $A$ и $B$ такие, чтобы кривую $AB$ можно было считать прямой (для этого отрезок $AB$ должен быть много меньше расстояний $r_0$ и $r_1$ от точки $O$ до точки $A$ и $B$). Время, за которой строет участок шнура $AB$, обозначим $\tau$. Тогда $AB=v\tau$. Малость $AB$ означает, что $\tau$ мало. При $\tau \rightarrow 0$ точка $B$ «стремится» к точке $A$, а направление отрезка $AB$ — к направлению касательной к красной кривой в точке $A$.

Найдем угол $\alpha$, который образует отрезок $AB$ с радиусом $OA$. Для этого отключим на радиuce $OA$ отрезок $OC$, равный длине радиуса $r_2$, и проведем отрезок $BC$. Так как отрезок $AB$ мал, то отрезок $BC$ совпадает с другой okружности радиуса $r_1$ с центром в точке $O$ и угол $ACB$ близок к прямому (а при $\tau \rightarrow 0$ $\Rightarrow ACB \rightarrow \frac{\pi}{2}$). Это означает, что

$$\cos \alpha = \frac{AC}{AB}.$$

Но $AB=v\tau$, а $AC=r_0-r_1$. Так как время распространения взрывной волны из точки $B$ должно быть на т меньше времени распространения волны из точки $A$, то $r_1=r_0-c\tau$. Следовательно, $AC=r_0-r_0+c\tau=c\tau$ и

$$\cos \alpha = \frac{c\tau}{v\tau} = \frac{c}{v}.$$

Таким образом, угол, образующий касательной к красной кривой и радиусом, проведенный к точке кривой из точки $O$, не зависит от расстояния кривой до точки $O$, и красная кривая пересекает все лучи, выходит из точки $O$ под одним и тем же углом $\alpha = \arccos \frac{c}{v}$. Таким свойством,

51

Рис. 14.

падения и преломления луча для каждой из плоскок, мы получим, что угол, под которым идет луч в каждой из плоскок, такой же, как если бы свет падает на пеем из воздуха

$$\frac{\sin \beta_1}{\sin \gamma_i} = n_i$$

Отсюда, в частности, следует, что после прохождения всей стопки плоскок луч выйдет параллельным своему первоначальному направлению:

$$n_{k+1} = 1 \text{ и } \frac{\sin \beta_1}{\sin \gamma_{k+1}} = 1, \text{ то есть}$$

$$\beta_1 = \gamma_{k+1}$$

Смешение луча, очевидно, равно сумме его смешений в отдельных плоскках

$$h = h_1 + h_2 + \dots + h_k$$

Найдем смешение $h_i$ (рис. 14). Для этого вначале из треугольника ADB находим $AB$:

$$AB = \frac{AD}{\cos \gamma_i} = \frac{d}{\cos \gamma_i}$$

Тепер из треугольника ACB получаем

$$h_i = AB \cdot \sin (\beta_1 - \gamma_i)$$

$$= d \frac{\sin (\beta_1 - \gamma_i)}{\cos \gamma_i}$$

$$= d (\sin \beta_1 - \cos \beta_1 \mathrm{tg} \gamma_i)$$

Так как $tg \gamma_i = \frac{\sin \gamma_i}{\sqrt{1 - \sin^2 \gamma_i}}$

$$= \frac{\sin \beta_1}{n_i} \sqrt{1 - \left(\frac{\sin \beta_1}{n_i}\right)^2} = \frac{\sin \beta_1}{\sqrt{n_i^2 - \sin^2 \beta_1}}$$

то $h_i = d \sin \beta_1 \left(1 - \frac{\cos \beta_1}{\sqrt{n_i^2 - \sin^2 \beta_1}}\right)$

$$= d \cos \alpha \left(1 - \frac{\sin \alpha}{\sqrt{n_i^2 - \cos^2 \alpha}}\right)$$

Полное смешение луча равно

$$h = h_1 + h_2 + \dots + h_k$$

$$= d \cos \alpha \left( k - \frac{\sin \alpha}{\sqrt{n_1^2 - \cos^2 \alpha}} - \frac{\sin \alpha}{\sqrt{n_2^2 - \cos^2 \alpha}} - \dots - \frac{\sin \alpha}{\sqrt{n_k^2 - \cos^2 \alpha}} \right)$$

$$= d \cos \alpha \left( k - \sin \alpha \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{\sqrt{n_i^2 - \cos^2 \alpha}} \right)$$

Правильное решение прислали В. Белов (Вологда), Е. Доллов (Москва), А. Мамула (г. Дыбинцы Киевской обл.), В. Муханов (Канаш УАССР), С. Помашев (Ульяновск), М. Премер (Томск), Л. Рудцер (Харьков), А. Сбоев (п. Медведок Кировской обл.), П. Серееев (Грозный), Ш. Слепой (Черновцы), Н. Ткаченko (Днепропетровск), А. Удальцов (Калининград Московской обл.), Н. Федин (Омск), С. Филленко (Запорожье), Г. Фильковский (Баку), М. Флеров (Москва), С. Чекмарев (Москва), Г. Шенемько (Давид-Городок Брестской обл.).

Ф113

Сосуд наполовину заполнен водой, в которой плавает кусок льда. Поверх льда наливают керосин, верхний уровень которого установливается на высоте $h$ от дна соуса (рис. 15). Как изменится эта высота, когда лед растает?

В том случае, когда кусок льда полностью покрыт керосином (как это показано на рисунке), задача решается очень просто.

Зафиксируем мысленно оболочку, охватывающий кусок льда, и растопим лед. Очевидно, объем образованшей воды будет меньше объема льда. Следовательно, общий уровень жидкости в сосуда уменшится.

Предположим теперь, что керосин не покрывает лед.

Ясно, что если бы в сосуда были только вода и лед, то после таяния льда уровень воды не изменился бы. Действительно, так как сила давления на дно соуса равна весу содержимого соуса, а он при таянии льда не меняется, то не меняется и сила давления на дно соуса. Это означает, что не меняется и давление на дно соуса. Но лед не оказывает непосредственного давления на дно — он плавает. Поэтому давление на дно равное давлению воды

$$P = \rho_B g h_B$$

После таяния льда давление тоже равно давлению воды

$$P = \rho_B g h_B'$$

Это означает, что $h_B = h_B'$.

52

Рис. 15.

В нашем случае давление на дно тоже не меняется. Но теперь оно равно сумме давления стольов воды и керосина

$$P = \rho_B g h_1 + \rho_K g (h - h_1) = (\rho_B - \rho_K) g h_1 + \rho_K g h'$$

Если уровень воды в сосуде после таяния льда равен $h'_1$, а уровень керосина $h'$, то

$$(\rho_B - \rho_K) g h'_1 + \rho_K g h' = (\rho_B - \rho_K) g h_1 + \rho_K g h'$$

Пусть объем льда, находящейся в воде, равен $V_1$, объем льда, находящейся в керосине, равен $V_2$, а масса льда равна $m$. Представим себе, что, убрав лед, мы оставили его невесомую оболочку и налили в нее воду и керосин так, что уровень их в оболочке совпадет с уровнем воды в сосуде. Ясно, что эта оболочка будет находится в равновесии. Но это означает, что на оболочку состояны воды действует архимедова выталкивающая сила $F$, равная весу налитых в оболочку жидкости

$$F = \rho_B g V_1 + \rho_K g V_2$$

Если в оболочку помещить сам лед, то сила $F$ не изменится. Но лед плавает. Это означает, что $F = mg$ и

$$\rho_B g V_1 + \rho_K g V_2 = mg.$$

Если бы в сосуде находились только лед и вода, то в воде находился бы такой объем льда $V'_1$, что

$$\rho_B g V'_1 = mg.$$

Из формул (1) и (2) следует, что в нашем случае в воде находится объем $V_1$, который меньше $V'_1$, то есть меньше льда, который был погружен в воду в отсутствие керосина над ним. Но в последнем случае, как мы показали, уровень воды в сосуде не изменился бы. Это означает, что вода, образованшая при таянии льда, заполнила бы как раз объем $V'_1$ погруженной в воду части льда.

В нашем случае объем воды, образованший при таянии льда, тот же, а объем