Bài toán M156—M160; F168—F172

56

Bài toán

Trong số này, chúng tôi đặt bài toán, được đưa ra ở vòng cuối cùng của Olympic Toán học và Vật lý toàn Liên minh, được tổ chức vào tháng 4 năm nay.

Lời giải bài toán số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 15 tháng 9 tới địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, nhà xuất bản “Nauka”, tòa soạn tạp chí «Kvant».
Sau địa chỉ trên phong bì, hãy cho biết lời giải bạn đang gửi bài toán nào (ví dụ: “Sự cố «Kvant», M156, F157”).

Gửi Lời giải bài toán về toán học và vật lý, cũng như bài toán mới cho từng môn học trong các phong bì riêng biệt. Ở đầu thư, vui lòng cho biết họ, tên, họ hàng, địa chỉ nhà (cũng như lớp và trường bạn theo học).

M156. Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm cạnh AD, N là trung điểm cạnh BC. Trên đoạn thẳng dài DC, lấy điểm D là điểm P. Ta ký hiệu giao điểm của hai đường thẳng PM và AC bằng Q. Chứng minh rằng $\Rightarrow QNM = \Rightarrow MNP$ (ô thứ 8).

Yu. V. Mikheev

M157. Tổng $n$ của các số dương $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ bằng 1. Gọi $S$ là số lớn nhất trong các số

$$\frac{x_1}{1+x_1}, \frac{x_2}{1+x_2}, \frac{x_n}{1+x_n}, \ldots, \frac{x_n}{1+x_n}$$

Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $S$. Nó đạt được giá trị nào của $x_1, x_2, \ldots, x_n$ (10 ô)?

Yu. I. Ionin

M158. Bảng tam giác được xây dựng theo quy tắc sau: số tự nhiên $a > 1$ được viết ở dòng trên cùng, dưới mỗi số $k$ có dấu vết của $k^2$, và bên phải - số $k + 1$. Ví dụ: với $a = 2$ ta thu được bảng

Chứng minh rằng trên mỗi hàng của bảng tất cả các số đều khác nhau (9, 10 ô).

M159*. Có thể sắp xếp các số 0, 1, 2 trong các ô của một tờ giấy di động có kích thước $100 \times 100$ sao cho trong mỗi hình chữ nhật $3 \times 4$, các đường chạy dọc theo các cạnh của ô sẽ có ba số không, bốn số một và năm số hai (9 ô)?

V. E. Lapitsky

M160*. Khi giải đấu khúc côn cầu kết thúc (trong một hiệp), hóa ra đối với bất kỳ nhóm đội nào, bạn có thể tìm thấy một đội (có thể từ cùng một nhóm) ghi được số điểm lẻ trong các trận đấu với các đội thuộc nhóm này. Chứng minh số đội tham gia giải đấu. (Thua - 0 điểm, hòa - 1 điểm, thắng - 2 điểm.) (10 điểm).

G. A. Kasparov

F168. Một cây bút chì sáu cực được đẩy dọc theo mặt phẳng ngang như hình 1. Tại giá trị nào của hệ số

Cơm. 1. Hình 2.

ma sát α giữa bút chì và mặt phẳng, liệu bút chì có trượt dọc theo mặt phẳng mà không quay không? (lớp 8, lớp 9)

L. P. Bakanina

F169. Để liên lạc trong không gian khoảng cách xa, một vệ tinh có thể tích V=100 $m^3$, chứa đầy không khí trong điều kiện bình thường, được sử dụng. Metorite dẫn điện trong các vùng đối ứng S=1 $cm^2$. Tính thời gian sau đó áp suất bên trong vệ tinh thay đổi 1%. Nhiệt độ của khí được coi là không đổi. Hằng số khí phổ quát là 8,3 J/mol. (9 lớp)

A. R. Zilberman

F170. Trong plasma đồng nhất có mật độ (số điện tích của mỗi dấu trên một đơn vị thể tích là 1 $cm^3$) $n$, tất cả các electron ban đầu nằm trong một lớp có độ dày $x$ sẽ trộn theo pháp tuyến với lớp này ở khoảng cách $x$. Tìm điện trường $E$ trong phần SS (Hình 2). (9 lớp)

V. G. Averin

F171. Trên một cột ngang nhẵn, đặt một quả tạ theo chiều dọc, bao gồm một thanh không trọng lượng có hai quả bóng nhỏ giống hệt nhau ở hai đầu (Hình 3). Quả bóng phía trên được đánh với tốc độ $v$ theo phương ngang. Ở độ dài tối đa của quả tạ là bao nhiêu $l$ quả bóng ở phía dưới sẽ lập tức rời khỏi bàn? (lớp 8, lớp 9)

A. R. Zilberman

F172. Thanh dẫn điện được treo nằm ngang trên hai dây đèn trong từ trường thẳng đứng có chỉ báo $E=1$ $m/l$ (xem Hình 4). Chiều dài thanh $l=0,2$ $m$, trọng lượng $m=10$ $e$, chiều dài dây $l_1=0,1$ $m$. Để hình. 3. Hình 4.

Một tụ điện có công suất $C=100$ $m\phi$, được tích điện đến điện áp $U=100$ $v$, được nối với các điểm cố định dây. a) Xác định góc lệch lớn nhất của hệ thống so với vị trí cân bằng sau khi phóng điện tụ điện, giả sử rằng sự phóng điện sẽ xảy ra trong thời gian rất ngắn.

6. Xác định điện dung của tụ điện $C_1$, khi phóng điện hệ sẽ lệch một góc $\alpha=3^\circ$, nếu trong quá trình phóng điện tụ điện được tích điện cùng điện áp có điện dung $C_0=10$ $m\phi$ thì góc lệch bằng $\alpha_0=2^\circ$. (lớp 10) V. V. Svetomozarov