Задачи М156—М160; Ф168—Ф172

56

Задачи

В этом номере мы помещаем задачи, предлагавшиеся на заключительных турах Всесоюзной математической и физической олимпiad, проходивших в апреле этого года.

Решения задач этого номера можно присылать не позднее 15 сентября по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», редакция журнала «Квант».
После адреса на конверте укажите, решения каких задачи вы посылаете (например: «Задачик «Кванта», М156, Ф157»).

Решения задач по математике и физике, а также новые задачи по каждому предмету посылайте в отдельных конвертах. В начале писем укажите свое фамилию, имя, отчество, домашний адрес (а также класс и школа, в котором вы учитесь).

M156. В прямогольнике ABCD точка M — середина стороны AD, N — середина стороны BC. На продолжении отрезка DC за точку D берется точка P. Обозначим точку пересечения прямых PM и AC через Q. Доказать, что $\Rightarrow QNM = \Rightarrow MNP$ (8 кл.).

Ю. В. Михеев

M157. Сумма $n$ положительных чисел $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ равна 1. Пусть $S$ — наиболее из чисел

$$\frac{x_1}{1+x_1}, \frac{x_2}{1+x_2}, \frac{x_n}{1+x_n}, \ldots, \frac{x_n}{1+x_n}$$

Найти наименьшее возможное значение $S$. При каких значениях $x_1, x_2, \ldots, x_n$ оно достигается (10 кл.)?

Ю. И. Ионин

M158. Треугольная таблица строится по следующему правилау: в верхней строке написано натуральное число $a > 1$, а далее под каждим числом $k$ следа пшется $k^2$, а справа — число $k + 1$. Например, при $a = 2$ получается таблица

Доказать, что в каждой строке таблицы все числа различны (9, 10 кл.).

M159*. Можно ли расставить цифры 0, 1, 2 в клетках листа клеточного бумаги размером $100 \times 100$ таким образом, чтобы в каждой прямогольнике $3 \times 4$, строоны которого идут по сторонам клеток, оказалось бы три нуля, четыре единицы и пять двое (9 кл.)?

В. Е. Лапицкий

M160*. Когда закончился хокейный турир (в один круг), оказалось, что для любой группы команд можно найти команду (может быть, из этой же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечетное число очков. Доказать, что в турире участвовал человек число команд. (Поражение — 0 очков, ничья — 1 очко, выигрыш — 2 очка.) (10 кл.).

Г. А. Каспаров

Ф168. Шеступольный карандаш толкнул вдоль горизонтальной плоскости, как показано на рисунке 1. При каких значениях коэффициента

Рис. 1. Рис. 2.

трения α между карандашом и плоскостью карандаш будет скольить по плоскости, не вращаясь? (8 кл., 9 кл.)

Л. П. Баканина

Ф169. Для дальнейки космической связи используется спутник объемом V=100 $m^3$, наполненный воздуха при нормальных условиях. Меторит проводает в его корпусе ответные площадью S=1 $cm^2$. Оценить время, через которое давление внутри спутника изменится на 1%. Температуру газа считать неизменной. Универсальная газовая постоянная равна 8,3 дж/средом моль. (9 кл.)

А. Р. Зильберман

Ф170. В однородной плазме с плотностью (числом зарядов каждой знака в единице объема — в 1 $cm^3$) $n$ все электроны, первоначально находившиеся в слое толщиной $x$, смешаются по нормали к этому слюю на расстояние $x$. Найти электрическое поле $E$ в сечении SS (рис. 2). (9 кл.)

В. Г. Аверин

Ф171. На гладкий горизонтальной столпавли вертикально гантельку, состоящую из невесомого стержня с двумя одинаковыми маленькими шариками на концах (рис. 3). Верхнему шарику ударом сообщают скорость $v$ в горизонтальном направлении. При какой максимальной длине гантельки $l$ нижний шарик сразу оторвется от стола? (8 кл., 9 кл.)

А. Р. Зильберман

Ф172. Проводящий стержень подвешен горизонтально на двух легких проводах в вертикальном магнитном поле с индикцией $E=1$ $m/l$ (см. рис. 4). Длина стержня $l=0,2$ $m$, масса $m=10$ $e$, длина провода $l_1=0,1$ $m$. К рис. 3. Рис. 4.

точкам закрепления проводов подключают конденсатор емкостью $C=100$ $m\phi$, заряженный до напряжения $U=100$ $v$. а) Определить максимальный угол отклонения системы от положения равновесия после разряда конденсатора, считая, что разряд проискодит за очень малое время.

6. Определить емкость конденсатора $C_1$, при разряде которого система отклонится на угол $\alpha=3^\circ$, если при разряде заряженного до такого же напряжения конденсатора емкостью $C_0=10$ $m\phi$ угол отклонения равен $\alpha_0=2^\circ$. (10 кл.) В. В. Светомозаров