Отверстие-линза

50

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

ОТВЕРСТИЕ - ЛИНЗА

В. В. Майер

Дифракция света
на круглом ответсти

Наблюдая дифракцию света на прорезанном в непрозрачном экране круглом ответсти, можно заметить ряд интереснейших закономерностей*). Если расстояние от ответстия до плоскости наблюдания неveliko, то дифракционная картина представляется собой семейство концентрических светлых и темных колес, в центре которого может находиться как светлое, так и темное пятно. Будем увеличивать расстояние между ответстием и плоскостью наблюдания. Общий характер картины сохраняется, но в центре последовательно сменяются светлые и темные пятна. При еще большем увеличении расстояния до плоскости наблюдания в центре дифракционной картины появляются

*) Метод наблюдания дифракции света на круглом ответсти описан в статье Г. И. Косоурова «Шарик вместе линзы» («Квант» № 9, 1970).

ляется и при дальнейшем удалении остается светлое пятно (рис. 1).

Все эти закономерности можно объяснить, воспользовавшись методом построения зон Френеля.

Будем считать, что точный источник света $S$ находится в бесконечности, так что к экрану $\partial_1$ с круглым ответстем приходит плоская световая волна, параллельная плоскости экрана (рис. 2). Нам нужно оценить освещенность центральной точки $A$ дифракционной картины, получающейся на экране $\partial_2$.

Вicio площадь ответстия разобем на такие колщевые зоны, чтобы расстояния $AB_1, AB_2, \dots, AB_k$ удовлетворили условия:

$$AB_1 - AO = AB_2 - AB_1 = \dots = AB_k - AB_{k-1} = \frac{\lambda}{2},$$

где $\lambda$ — длина волны падающего света.

Это означает, что волны, приходящие в точку $A$ с границей соседних

Рис. 1. Распределение освещенности при дифракции света на круглом ответсти.
a) Расстояние от ответстия до плоскости наблюдания минимально; заметны неправильности дифракционной картины, обусловленные неравностями края ответстия.
b, в, г) При увеличении расстояния до плоскости наблюдания в центре дифракционной картины последовательно сменяются светлые и темные пятна.
d) При дальнейшем увеличении расстояния в центре остаются светлое пятно.

51

Рис. 2. Построение зон Френеля.

зон, имеют разность хода λ/2, то есть находятся в противофазе. Тогда для каждой точки любой зоны найдется такая точка соседней зоны, что волны из этих точек приходят в центр диффракционной картины в противофазе. Зоны, построенные таким образом, носят название зон Френеля.

Колебания, вызываемые в точке А волнами, идущими из двух соседних зон, взаимно компенсируются.

Ясно, что если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в точке А амплитуда результирующего колебания будет минимальная, а значит, минимальная будет и освещенность экрана $\Delta_2$ в этой точке. Максимальный освещенность точки А будет в том случае, если отверстие открывает нечетное число зон. Именно поэтому при удалении плоскости наблюдается от экрана с ответственным темные и светлые пятна в центре диффракционной картины последовательно смениют друг друга.

Оптическое изображение

Проколите в одной из стенок непрозрачной коробки небольшое ответственное хорошего натянутой пилиросной бумаги (или, еще лучше, матовым стеклом). У вас получилась камера-обскура — простейший прибор, дающий изображения предметов, прибор, в котором изображение создает круглым ответственным.

Но ведь отверстие не может дать иного распределения освещенности на плоскости наблюдается, кроме того, которое получается в результате диффракции света. Какое же из этих распределений можно считать изображением светящейся точки с большим основанием? Конечно то, которое больше всего напоминает саму светящую точку, то есть такое, в котором центральное светлое пятно имеет наиболее освещность, а окружающие его светлые колыца — наиболее освещную.

Такое распределение освещности будет на плоскости, бесконечно удаленной от ответствия. Действительно, в бесконечно удаленную точку, лежащую на оси ответствия, все волны, идущее от источника света (также лежащого в бесконечности), приходят в фазе, и их амплитуды в этой точке в результате интерференции суммируются. Во все другие точки осветления волны от источника света приходят уже с некоторой разностью хода, так что интенсивность света в них меньше, чем могла бы быть, если бы волны приходили в них в фазе. Раз интенсивность в центральной точке диффракционной картины стала меньше, то согласно закону сохранения энергии интенсивность света в окружающих ее колых возросла. А это означает, что изображение точного источника света ухудшилось.

Итак, наличище изображение светящейся точки, создаваемое ответством, есть диффракционная картина, в центре которого находится светлое пятно, причем разность хода волн, приходящей в центре этого пятна, равна нулю.

Но это идеальный случай. Практические волны в центре изображения всегда приходят с некоторой разностью хода. Каким должно быть максимальное значение этой разности хода, чтобы изображение можно было считать не слишком отличимся от идеального? Сразу можно сказать, что максимальная разность хода не должна превышать половины длины волны, потому что в этом случае отверстие открывает не более одной зоны Френеля, и интенсивность света в центре диффракционной картины много больше, чем в окру-

52

жаощих его колых. В центре картины получается светлое пятно. Но физики несколько более строго относится к подобным вешам. Поэтому они согласились с предложением Рэлея*) считать изображение не слишком сильно отличующим от идеального, если максимальная разность хода волн, индуших из источника в центр изображения, не превышает четырёх волны. Это предложение получило название критерия Рэлея.

Интересно, что в том случае, когда отверстие открываетровно однуону Френеля, яркость пятна в центре картины в четыре раза больше, чем при отсутствии экрана.

Фокусы круглого отверстия

Поскольку отверстие дает изображение, мы впраve ввести для него понятия, аналогичные тем, которые вводятся при изучении идеальной линии. Будем называть оптическим центром О круглого отверстия его центр, а главной оптической осью X — прямую, прохождение через оптический центр отверстия перпендикулярно плоскости непрозрачного экрана Э (рис. 3).

Пусть на прорезанное в непрозрачном экране Э круглое отверстие падает плоская световая волна от

*) Лорд Рэлей (1842—1919) — выдающийся английский физик, основные работы которого посвящены изучению колебаний и волн различной природы.

Рис. 3. Фокусы круглого отверстия.

бесконечно удаленного точного источника света S. Найдем точки главной оптической оси, в которых находится центра изображения источника света.

Обозначим диаметр отверстия через D, а максимальный разность хода волн через δ. Для любой точки x, лежащей на главной оптической оси, согласно теореме Пифагора можно записать:

$$\left(\frac{D}{2}\right)^2 = (x + \delta)^2 - x^2,$$

или

$$\frac{D^2}{4} = 2\delta x + \delta^2.$$

Величина δ² мала по сравнению с остальныеми величиными, входящими в эту формулу, можно его пренебреть. Тогда

$$x = \frac{D^2}{8\delta}.$$

Согласно критерию Рэлея максимальная разность хода δ не должна превышать четырёх волны, то есть 0 ≤ δ ≤ $\frac{\lambda}{4}$. Подставляя эти значения δ в формулу (1), получим

$$\frac{D^2}{2\lambda} \leq x < \infty.$$

Однако критерию Рэлея определяется не только многоестрою точек (2), но еще и симметрично расположенное ему относительно центра отверстия многоестрою точек (см. рис. 3),

$$-\infty < x \leq -\frac{D^2}{2\lambda}.$$

Оба многоестроя бесконечно удаленного источника света, лежащero на главной оптической оси отверстия. Но также точки принято называть фокусами системы. Таким образом, многоестроя бесконечно удаленного источника света, лежащero на главной оптической оси отверстия. У собирающей линзы фокус действительный (фокусное расстояние положительное), а у рассеивающей — минимый (фокусное расстояние отрицательное). Отверстие же, как показано.

53

зывают выражения (2) и (3), имеет и действительный, и минимый формулы. Следовательно, прорезанное в непрозрачном экране круглое отверстие одновременно действует и как собирающая, и как рассеивающая линза!

Отверстие — лупа

Поскольку отверстие действует аналогично линзе, для него должны быть справедливы все формулы, выведенные для идеальной линзы, только вместе значения формулора расстояния линзы нужно подставить множество значений формулы расстояний линзы, выраженное в миллиметрах.

Из формулы (2) видно, что минимальное значение формулора расстояния круглого отверстия, действующего как собирающая линза, равно $f' = \frac{D^2}{2\lambda}$. Следовательно, при использовании отверстия в качестве лупы максимальное увеличение составляет

$$N = \frac{500\lambda}{D^2}.$$

Положим, что длина волны света $\lambda = 6 \cdot 10^{-4}$ мм, и выберем два значения диаметра отверстия: $D_1 = 0,1$ мм и $D_2 = 0,2$ мм. Подставляя эти значения в формулу (4), получим, что максимальное увеличение, которое

Рис. 4.

Рис. 5. В качестве лупы использовались проколоты в листочке фольги отверстия диаметром 0,2; 0,3 и 0,4 мм. В качестве объекта была использована сетка с размером ячеек $0,5 \times 0,5$ мм.

a) Расстояние до сетки 140 мм. Отверстия дают практические одинаковые изображения.

b) Расстояние до сетки 30 мм. Нанлучшие изображения дают отверстия 1 и 2.

b) Расстояние до сетки 10 мм. Нанлучшие изображения дают отверстие 1, имеющее наименьший диаметр.

можно получить с отверстием диаметром 0,1 мм, — 30, а с отверстием диаметром 0,2 мм — 7,5!

54

Это можно проверить. Проколите иглоей в листочке станиловой фольги рядом отверстий последовательно уменышающего диаметра. Следать это нужно по возможности аккуратно. Отверстия должны быть близки к круглым, для этого при прокалывании отверстий в фольге осторожно поворачивать иглу.

Сядьте перед окном и смотрите на небо (можно смотрить на любую достагоно сильно и равномерно освещенную поверхность, например, на побеленную стeny, лист белой бумаги). Близко к зрачку глаза Г (рис. 4) расположите листок фольги (экран Э) с одним из проколотых вами отверстий. На вытянутой руке перед глазом держите какой-нибудь небольший предмет R (иглу, металлический сетку с размером ячеек около 0,5×0,5 мм, редкую ткани) и приближайте этот предмет к глазу.

Начиная с расстояния между предметом и глазом меньше 250 мм и до расстояния, равного минимальным фокусом расстоянию отверстия, будет видно достагоно резкое увеличенное изображение предмета. Если вы приdvините предмет еще близке к глазу, изображение становится нерезким. Однако, поместив перед глазом отверстие меняшего диаметра, вы опять получите резкое, еще более увеличенное изображение предмета (рис. 5).

Попробуйте проделать опит со всеми изготовленными вами отверстиями.

«Дырочная» зрительная труба

На рисунке 6 показана оптическая схема «Дырочной» зрительной трубы, в которой объективом является проколотое в листе фольги круглое отверстие, а окуляром — лупа с фокусным расстоянием примерно 2—5 см. Светосила «объектив» такой зрительной трубы мала, поэтому в нее можно рассматривать только очень яркие предметы, например, нить электрической лампы накаливания.

Рис. 6.

Изготовив «дырочную» зрительную трубу, вы обнаружите, что она может быть использована и в качестве микрокоспа, и в качестве телефона! Чтобы «дырочная» зрительная труба работала как микрокоспоп, достаточно приблизить предмет к ее «объективу». Если предмет удален от «объектива», то зрительная труба работает как телефон (рис. 7).

Действительный и минимый фокусов отверстия

Убедившись, что отверстие действует как собирающая линза, проверим, верно ли, что оно действует и как рассеивающая линза.

Отверстие, прорезанное в непрозрачном экране Э1, создает действительное перевернуть R1 и минимое прямое R2 изображения предмета R (рис. 8). Изображения этих изображений с помощью линзы L можно получить на белом экране Э2.

Рис. 7. Изображение нити электрической лампы, полученное с помощью «дырочной» зрительной трубы:
a) рассмотрение лампы до «объектива» 2 м,
b) рассмотрение от спирали той же самой лампы до «объектива» 60 мм.

Рис. 8.

В качестве предмета $R$ можно использовать светящуюся нить электрической лампы. Лампу следует поместить в корпбу, в одной из стенок корпки проделать отверстие диаметром 40—80 мм. На расстоянии метра от лампы нужно поставить непрозрачный экран (например, лист фанеры) с отверстием диаметром около 10 мм. Это отверстие следует перекрывать листочком фолги с проколотым в нем отверстием (экран $\partial_1$). Для опыта можно использовать линзу $L$ с фокусным расстоянием 5—10 см. Белый экран $\partial_2$ (дист плотной белой бумаги) находится на расстоянии 1—2 метра от экрана $\partial_1$.

Рис. 9.

Линзу $L$ в начале опыта отвивить те от экрана $\partial_1$ на расстояние, превышающее сумму фокусных расстояний отверстия и линзы, а затем привиграйте ее к экрану $\partial_1$. На белом экране $\partial_2$ вы будете наблюдать изображение созданного отверстием действияного изображения $R_1$ предмета (рис. 9, а), затем — резкое изображение отверстия в экране $\partial_1$

(рис. 9, б), и, наконец, изображение созданного отверстием минимого изображения $R_2$ предмета (рис. 9, с). В первом случае на экране $\partial_2$ вы получите прямое изображение предмета $R$, в последнем — перевернуть.

Вместо того, чтобы приближать линзу $L$ к экрану $\partial_1$, можно перемешать экран $\partial_2$.

Проделанный опит показал, что отверстие дает действительное и минимое изображения предмета, то есть действует одновременно и как coinciaющая, и как рассеивающая линзы. Можно ли этой удивительнейшей способностью отверстия восполоваться на практике?

Упражнения

1. Для идеальной линзы справедлива формула

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f},$$

где $a$ — расстояние от предмета до линзы, $b$ — расстояние от линзы до изображения и $f$ — фокусное расстояние линзы. Получясь критерiem Рэлея, выведите аналогичную формулу для круглого отверстия. (Точечный источник света находится на главной оптической оси на расстоянии $a$ от отверстия.)

2. Предмет находится на конечном расстоянии от отверстия. Где находится наличище изображение предмета, создаваемое отверстием, и что оно собой представляется?

3. Длина тубуса «дырочную» критерий труда (расстояние между ее «объективом» и передней фокальной плоскостью окуляра) равна 500 мм. Каково максимальное значение диаметра отверстия «объектива», если трубу предполагается использовать в качестве телескола?

4. «Дырочную» критерий труда предполагает использовать в качестве микроскола. Длина тубуса 500 мм, а расстояние от предмета до «объектива» 50 мм. Каково максимальное значение диаметра отверстия объектива можно использовать и в качестве телескола.

5. Вам очень не хозяйство ставить довольный опит, описанный в стате, чтобы подтверить существование одновременного действияного и минимого изображения предмета. Придумайте (и поставьте) более простой опит.