Квант
Смесь

Задачи на неравенства

Берколайко С. Т.

Квант 1972, №8с. 16Тег TDGO

16

ЗАДАЧИ НА НЕРАВЕНСТВА

  1. Доказать неравенство
    x12+(1−x2)2+x22+(1−x3)2+x32+(1−x4)2+⋯+x2n2+(1−x1)2≥2⋅n.\sqrt{x_1^2 + (1-x_2)^2} + \sqrt{x_2^2 + (1-x_3)^2} + \sqrt{x_3^2 + (1-x_4)^2} + \dots + \sqrt{x_{2n}^2 + (1-x_1)^2} \geq \sqrt{2} \cdot n.

  2. Определить, что больше:
    103+8 или 5?\sqrt[3]{10} + \sqrt{8} \text{ или } 5?

  3. Доказать, что
    2−2+2+⋯+22−2+2+⋯+2>14\frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{2}} > \frac{1}{4}
    (в числеле nn радиkalов; в значенателе n−1n-1 радиkal).

(Продолжение см. на стр. 25)