О механике Аристотеля

32

О механике Аристотеля

М. И. Каганов, Л. Я. Любарский

Процесс познания природы не ограничивает спокояным накоплением фактов и формировкой на их основе абсолютоно точных утверждений — законов природы. По словам Альберта Эйнштейна, «идет драматическая борьба между старым и новым» *).

Не следует, однако, думать, что новые теории попросту отменяют (ниспровергают) старые. Как правило, новая теория указывает старой «ее место». Утверждения, ранее казавшиеся абсолютиными, справедливыми всегда и веде, как показывает анализ с позиций новой теории, справедливых лишь в определенных рамках, ограниченных определенными условиями.

В области, где она справедлива, старая теория по-прежнему хорошо. Иначе зачем ее было создавать?

Сравнивая механику Аристотеля с механикой Ньютона, мы показем, в каких условиях механика Аристотеля — правильная теория. Этот пример помогет разобраться, как совершается переход от новой теории к старой.

Галилей и Аристотель

Одним из выдающихся образцов смелой научной критики и в то же время классический примером «мысленного эксперимента» является расчужнение Галилея о падащем камне. Это расчужнение направлено против тестиса Аристотеля о пропорциональности силы и скорости и заключается в следующем.

Если взять два камня, один полегче, второй потяжелее, и сбросить их с базни, то согласно Аристотелью более тяжелый камень будет падать

*) А. Эйнштейн. Собранные научных трудов, т. IV, стр. 543, «Нуука», 1967.

быстрее, чем легкий, так как на него действует большая сила. Что же, тут как будто ничего неелепого нет. Каждый из нас знает, что металлическая монета падает быстро, чем пушинка.

Однако Галилей предлагает: соединним эти камни друг с другом. Что получится? Опять понятно. Более тяжелый камень будетускорять более легкий, а тот в свою очередь будет тормозить своего компанья. Так что соединенные вместе два камня будут падать несколько быстрее, чем падает свободный легкий камень, но медленней, чем падает тяжелый камень. Все это вытекает из тезиса Аристотеля и в то же время … противоречит этому тестису. В самом деле, соединенные вместе два камня мы вправа рассматривать как один камень с весом, равным сумме весов легкого и тяжелого камней. Так как вес двойного камня больше всего тяжелого камня, то он (согласно Аристотелью) будет падать быстрее, чем тяжелый камень. Итак, следуя Аристотелью, мы пришли к двум взаимно исключающим выводам. Поэтому тестис Аристотеля неверен.

Думается, что живой Аристотель сумел бы возразить Галилю. Но Галилей боролся не против живого Аристотеля, а против мертвой окостеншей догмы, в котором церковь превращила учение Аристотеля. И Галилю удалось победить эту догму.

Неправильные теории

«Всякое утверждение либо истинно, либо ложно». Это, конечно, верно. Однако это не лучший способ классификации утверждения. Поясним примером. Допустим, вы интересуетесь своим весом. Пусть весы показали 57 кГ 300 Г. Означает ли это, что ваш вес в точности равен

34

Рассмотрим сначала случай, когда $f=0$, то есть единственный силой, действующий на частиц, является сила треня. Из повседневного опыта известно, что скорость такой частицы все время будет уменьшаться и в конце концов частица остановится. Первая часть этого утверждения вытекает и из механики Ньютона. В самом деле, поскольку сила (в данном случае сила треня) направлена против скорости, то в ту же сторону направлено и ускорение, а это и означает, что скорость частицы уменьшается.

Насоклько быстро протекает этот процесс и сколько нужно ждать, пока частица остановится? Аналіз двijенения частицы под воздействием силы треня приводит к парадоксальному (на первый взгляд) результату: частица вовсе не остановится.

Правда, за время, равное $\frac{M}{\alpha} \ln 2$, ее скорость будет уменьшаться вдвое по сравнению с предыдущим значением.

Что значит «остановиться»?

В действительности никакого противления между теории экпериментом необходимо, чтобы расхождение между ними было меньше погрешности экперимента. В данном случае это условие не выполняется, так как предсказываемая теория скорость неограниченно убивает с течение времени и начиная с некоторого момента остановится меньше погрешности экперимента. Если состояние покоя фиксировать не визуально (на глаз), а пользоваться достаточно точными инструментами, то в случае микросоппечного тела можно обнаружить хорошо известное бруновское движение. Это, действительно, будет опроверженем теории, однако в таком опроверженении нет ничего удивительного, так как с самого начала мы учитывали только среднее действие частиц окружающей среды — например, молекул газа. Если тестенное, что основанная на этом предположении картина не отражает суляных ударов отдельных молекул о частиц, которые все вместе (усредненные) являются, как мы знаем, причиной треня.

Следовательно, вопрос: «Сколько времени прошедет до остановки?» — поставлен неправильно. Его следует заменить вопрос: «Когда скорость частицы станет практическим неотличимой от нуля?».

Понятие «практическим неотличимой от нуля скорость» нуждается, разумется, в дальнейшей расшифровке. В зависимости от целей, ради которой нужно остановить тело (например, катер у причала, с тем чтобы можно было набросить канат на кнехты), практические равная нулю скорость может составлять одну сотую, тысячную или, скажем, миллионную часть первогоначальной скорости. Для определения примем, что практическим неотличимой от нуля скорость составляет одну тысячную долю первогоначальной скорости. Мы уже говорили, что за время $\frac{M}{\alpha} \ln 2$ скорость частицы уменьшается вдвое. Назовем величины $\tau = \frac{M}{\alpha} \ln 2$ постоянной времени. (Эту величины называют временем свободного пробета, если речь идет не о макросоппеском теле, а об atomной частице… Ничего не поделаешь, часто одну и ту же величины в разных областях физики именуют по-разному.) По проществу времени в 10т скорость уменьшится более чем в $2^{10}=1024$ раза. Таким образом, время остановки равно удестеренной постоянной времени. Если считать частиц остановившейся лишь тогда, когда ее первогоначальная скорость уменьшится в миллион раз, то время остановки увеличится всего лишь вдвое, то есть станет равным 20т.

Вернемся к основной задаче — к изучению движения тела в вззкой среде под действием постоянной силы $f$. В этом случае, как мы говорили, особую роль играет скорость $v_0$ те-

36

Обратимся теперь к очень важному вопросу о соответствии классической теории и теории, ее обобщшей.

Все (и физики, и математики, и даже физиофы) стalkиваются с очень трудными задачими при изучении этого своего образного вопроса. Естественно ожидать, что чем «проще» и привлечей сравниваемые теории, тем легче усмотреть те связи, которые для них характерны. Поэтому заменив подобно рассмотреть самую простую пару теории: механика Аристотеля — механика Ньютона.

Рассмотрим несколько функательных физических понятий в рамках этих двух теорий.

Состояние системы

Понятие состояния системы не следует путь с описанием системы. Так, например, если мы скажем, что система состоит из двух шаров радиуса $r$ и массы $M$, связанных друг с другом прижиной, естественнаялина которой равна $L$, а жесткость — $k$, то из такого описания системы нельзя сделать вывод о положении и скорости каждой из шаров, о расстоянии между ними, обускренни шаров, в обшем, о всех тех величины, которые меняются с течение времени. Подобные величины (будем их называть переменными параметрами) могут носить и гораддо более сложный характер. Так, если система является atmosфера Земли, то к числу переменных параметров относится и температура как функция высоты и географических координат, и скорость ветра как функция от этих же переменных, и много других параметров.

Выберем некоторый набор $x_i$ ($i=1,2,...$) переменных параметров так, чтобы удовлетворить следующим двум условиям:

1. Любой набор значений параметров $x_i$ может осуществиться, то есть система можно привести в состояние, в котором каждой из параметров $x_i$ принимает предписание значения.

2. Зная в начальной момент $t=t_0$ значения всех параметров $x_i$, можно вычислить их значения в любой последующей момент времени.

Рассмотрим пример — электрон в постоянном электромагнитном поле. Для того чтобы описать эту систему в механиках Ньютона и Эйнштейна, нужно, помимо описания электромагнитного поля, указать массу и заряд электрона; в механике Аристотеля нужно задать его подвижность.

Попробуем задать состояние электрона, указав произвольное его координаты, скорость иускорение. Сразу видно, что в рамках механики Ньютона совокупность этих величины не годится для задания состояния. В самом деле, положение и скорость электрона определяют силу, действующую на него со стороны электромагнитного поля. Согласно механике Ньютона сила определяетускорение электрона. Поэтомуускорение нельзя произвольно и его надо исключить из набора параметров, заданной системе электрона. В механике Аристотеля из этого набора следует исключить и скорость, так как в рамках этой теории сила однозначно определяет скорость. Можно доказать математически, что, зная положение и скорость электрона в начальной момент времени, можно вычислить эти же величины в любой последующей момент времени, опираясь на второй закон Ньютона. Точно так же закон Аристотеля позволяет найти координаты точки в любой момент времени, если они известны в начальной момент.

Итак, в механике Ньютона состояние системы задается указанием всех точек системы и их скоростей.

В механике Аристотеля состояние системы известно, если известны положения всех ее точек.

Описание системы состоит из двух частей: описание внешних условий, в которых находится система, и собственное описание системы. Первая часть осуществляется путем задания сил, действующих на системе, для действия на системе со стойкой

37

роны «внешнего мира». Здесь отличные механики Аристотеля от механики Ньютона состоит в том, что в последней учитываются силы треня, а в первой они не заменяются. Вторая часть описания системы состоит в задании сил, с которых отдельные части системы взаимодействуют друг с другом, и в задании масс (в механике Ньютона) или подвижностей (в механике Аристотеля) каждой отдельной части системы.

Подытожим сказанное: каждое из двух понятый — описание системы и состояние системы — имеет различный смысл в механике Аристотеля и в механике Ньютона. Заметим, что при перехождение к квантовой механике оба эти понятия испытывают очередное и очень серbezное изменение.

Законы сохранения

Хорошо известно, что в механике Ньютона имеют место законы сохранения. Проще всего они формулируют для замкнутой системы. Так называется система тел, которые взаимодействуют друг с другом и не взаимодействуют ни с какими другими телами. Строю говоря, замкнутых систем в природа не существует. Правitationное и электромагнитное поля, потоки космических частиц не позволяют «замкнуться в себе» какой-либо системе тел. Существуют, однако, почти замкнутые системы. Силы, действующие на входящие в них тела со стороны посторонних тел, очень малы, и такие системы ведут себя почти неотличимо от замкнутых систем. Поэтому представляется важным познакомиться с основными свойствами замкнутых систем.

Оказывается, что семь величины энергия системы, три компоненты ее импульса и три компоненты ее момента количество движения — не изменяется с течение времени («сохраняются»), если система замкнута.

Легко найти закон сохранения и в механике Аристотеля. Расмотрим для этого какую-либо «замкнутую» систему тел. Слово замкнутая заключего в качестве с точки зрения механики Ньютона ни одна система тел в механике Аристотеля не является замкнутой — какое тело взаимодействует со средой, ответственный за силу треня.

Пусть $r_1(t), r_2(t), \ldots, r_n(t)$ — радиусы-векторы тел, образующих «замкнутую» систему. Построим вектор

$$R = \frac{\sum_i \frac{1}{\alpha_i} r_i(t)}{\sum_i \frac{1}{\alpha_i}}$$

и наозем его главным вектором системы. Предлагаем читателю самостоятельно доказать следующие утверждения: 1) главный вектор «замкнутой» системы сохраняет — не изменяется со временем; 2) если на тела действуют внешние силы, то конец главного вектора системы (телефу уже незамкнутой) движется как тело с подвижностью

$$\alpha = \frac{1}{\sum_i \frac{1}{\alpha_i}}$$

под действием суммы внешних сил, приложенных к системе. Это утверждение нетрудно доказать, пользоваться «Законом Аристотеля» и определением главного вектора системы.

Наблюдая за джедевой каплей

Как определить экспериментальное постоянную времени? Первое, что приходит в голову, — это изменить продолжительность переходного режима. Во многих случаях этот совет очень useful, что нам нужно изменить постоянную времени джедевой капли и способной не потерять ее из виду, пока она не станет падать равномерно.