Описанная трапеция и средние

Рис. 14.

то все они пересекутся в одной точке, над которой является сыемка. В правильных калейдоскопах вдоль этих линей изображения слияются, в неправильных наихом появляется «излом».

Упражнения

9. Образует ли пара параллельных зеркал «правильный калейдоскоп» (хотя он и не подходит под нашей определенные калейдоскопа, можно проверить, удовлетворяет ли эта оптическая система определенную правильности, данному выше)?

10. Какое максимальное число изображений одной точки можно увидеть в двух зеркалах, поставленных под углом $\alpha$ друг к другу, если $\frac{180^\circ}{\alpha} = r$ и a) $r$ — целое; b) $r$ — не целое?

11. Опять два зеркала образуют угол $\alpha$. Каково наиболее число точек функентального «двуугольника» (угла), изображения которых можно увидеть в некоторой фиксированной точке $A$ картиной плоскости такого калейдоскопа, меняя точку наблюдания? Изображения скольких точек функентального многоугольника накладываются в точке $A$ с точки зрения геометрии? Расмотите три случая: $\alpha = \frac{180^\circ}{r}$ и a) $r$ — irrationalное; b) $r = \frac{p}{q}$ (несократимая дробь), $q \neq 1$; b) $r$ — натуральное число.

12. Что видно в «цилиндрической калейдоскоп», если глаз расположить на оси цилиндра?

13. Два плоских зеркала расположены под углом $40^\circ$ друг к другу. Какое максимальное число отражений светового луча возможно в этой оптической системе?

14. В задаче 7 есть решение $n_1 = \infty$, $n_2 = 2$, $n_3 = 2\left(\frac{180^\circ}{\infty}\right)$ мы считаем равным нулю). Какому «калейдоскопу» соответствует это решение (каков физический смысл этого решения)?

ОПИСАННАЯ ТРАПЕЦИЯ И СРЕДНИЕ

Взгляните на рисунок. Описанная трапеция, в которой проведены высота $BH$ и отрезок $HG$, перpendикулярный стороне $AB$. Казалось бы, ничего особенно применительно в этой фигуре нет, однако этот чертеж обладает удивительным свойством. На нем вместе с верхним основанием $a$ и нижним основанием $b$ уже содержатся все три средние этих отрезков: среднее арфметическое, среднее геометрическое и среднее гармоничское, а именно:

$$AB = \frac{a+b}{2},$$

$$BH = \sqrt{ab},$$

$$BG = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}.$$

Попробуйте самостояльно доказать эти утверждения.

А теперь достаточно одного взгляда на чертеж, чтобы убедиться, что между средними выполнены следующие:

$$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}.$$

Действительно, $AB$ и $BH$ являются наклонной и перpendикулярным, проведенным к прямой $AD$ из точки $B$, а $BH$ и $BG$ — наклонная и перpendикулярная из точки $B$ к прямой $HG$.

А. Савин, В. Сендеров