Các vật thể rơi tự do trên Trái đất đang quay

18

A.K. KIKOIN
THÂN THỂ RẤT TỰ DO
TRÊN
TRÁI ĐẤT QUAY

Đôi khi bạn có thể bắt gặp một phát biểu rằng, do Trái đất quay quanh trục của nó nên lực mềm tác dụng lên một vật thể là khác nhau ở những nơi khác nhau trên bề mặt Trái đất. Họ cũng nói rằng trọng lượng cơ thể khác nhau ở những nơi khác nhau trên Trái đất. Cả mối liên hệ này và những mối liên hệ khác đều là do ở những nơi khác nhau trên Trái đất đang quay, gia tốc rơi tự do của vật là khác nhau. Tất cả điều này có đúng không? Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng trả lời câu hỏi này.

1. Chuyển động cơ học, như chúng ta biết, là tương đối. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta sử dụng các hệ thống báo cáo khác nhau, thì chuyển động của cùng một cơ thể sẽ khác so với các hệ thống này. Ví dụ: nếu chúng ta liên kết hệ tọa độ với một chiếc máy bay bay với tốc độ không đổi theo hướng ngang, thì trong hệ tọa độ này, hàng hóa bị rơi (hay đúng hơn là rơi) từ máy bay sẽ di chuyển xuống theo một đường thẳng đứng (Hình 1). Nhưng trong một hệ tọa độ liên kết với một số điểm trên bề mặt Trái đất, chẳng hạn như điểm O (xem Hình 2), tải trọng tương tự sẽ di chuyển dọc theo một đường cong gọi là parabol. Do đó, quỹ đạo chuyển động là khác nhau. Tốc độ di chuyển cũng khác nhau. Nếu chúng ta thường coi hệ tọa độ liên kết với Trái đất là đứng yên thì với tốc độ chuyển động của máy bay (và hệ tọa độ liên kết) so với Trái đất bằng $v_c$ thì tốc độ $v$ của tải trọng đối với Trái đất tại bất kỳ thời điểm nào cũng bằng

$$v = v_c + v_r,$$

(1)

trong đó $v_r$ là tốc độ di chuyển của hàng hóa so với máy bay ở khoảng cách xa tại một thời điểm. Vì tốc độ $v_r$ là tốc độ rơi tự do nên

$$v_r = gt,$$

trong đó $g$ là gia tốc trọng trường và $t$ là thời gian, tương ứng với

Cơm. 1.
Cơm. 2.

20

Cơm. 3.

Newton và định luật vạn vật hấp dẫn, giá trị tuyệt đối của gia tốc này bằng

$$g = \gamma \frac{M}{R^2},$$

trong đó $\gamma$ là hằng số hấp dẫn, $M$ là khối lượng của Trái đất và $R$ là bán kính của nó. Gia tốc này hướng dọc theo bán kính cực về phía tâm Trái đất. Giá trị $g = \gamma \frac{M}{R^2}$ là giá trị gia tốc của radium tự do so với hệ quy chiếu đứng yên (quán tính).

Và gia tốc của vật rơi sẽ thu được giá trị nào khi thay đổi ở xích đạo? Đối với những thay đổi này, ở đây bạn cũng cần cài đặt thước có tỷ lệ (Hình 4). Ở đây chúng ta cũng sẽ hướng trục tọa độ về tâm Trái đất dọc theo bán kính xích đạo. Tất nhiên, ở xích đạo giá trị tuyệt đối của gia tốc do trọng lực của Trái đất gây ra sẽ bằng giá trị ở cực. Sự quay của Trái đất không ảnh hưởng đến lực mà nó thu hút các vật thể *). Nhưng sự thay đổi gia tốc ở xích đạo được thực hiện so với hệ quy chiếu, hệ quy chiếu này tự chuyển động với gia tốc so với hệ quy chiếu đã chọn

$$g = g' + \omega^2 R$$

(gia tốc của một vật rơi tự do so với hệ tọa độ cố định ($g$) bằng tổng gia tốc của vật đó so với hệ chuyển động ($g'$) và gia tốc của chính hệ chuyển động so với hệ tọa độ cố định ($\omega^2 R$)).

Nói cách khác, gia tốc $g'$ của rơi tự do, thay đổi ở xích đạo, tức là gia tốc tương đối của hệ quy chiếu chuyển động, không bằng gia tốc $g$, độ thay đổi ở cực. Nó nhỏ hơn $g$ theo số lượng $\omega^2 R$:

$$g' = g - \omega^2 R.$$

21

3. Chúng ta đã xét trường hợp một vật rơi tự do ở cực và ở xích đạo của Trái Đất. Bây giờ chúng ta xét sự rơi tự do của một vật ở một vị trí tùy ý (ở đâu đó giữa xích đạo và các đường của Trái đất).

Từ Hình 5, rõ ràng bây giờ gia tốc hướng tâm liên quan đến chuyển động quay của Trái đất hướng vào đường xích đạo và hướng về điểm đó trên trục quay của Trái đất, là tâm của vòng tròn song song tương ứng. (Bán kính của đường tròn này trong Hình 5 được ký hiệu bằng chữ r.) Lặp lại lập luận trên, chúng ta sẽ đi đến kết luận rằng gia tốc trọng trường $g'$, thay đổi ở bất kỳ vị trí nào, sẽ nhỏ hơn gia tốc $g$, thay đổi ở cực. Cần phải tính đến gia tốc hướng tâm của điểm tương ứng trên bề mặt trái đất. Nhưng bây giờ các hướng gia tốc $g$ và $\omega^2 r$ có trong công thức (4) tạo thành một góc $\varphi$, là vĩ độ của điểm mà gia tốc $g'$ thay đổi. Sử dụng quy tắc cộng vectơ, chúng ta sẽ thấy rằng vectơ $g'$ không còn hướng về tâm Trái đất mà hơi lệch về phía xích đạo (xem Hình 5).

Rõ ràng là gia tốc $\omega^2 r$ ở vĩ độ $\varphi$ nhỏ hơn gia tốc $\omega^2 R$ ở xích đạo. Dễ dàng nhận thấy ở bất kỳ vĩ độ nào $\varphi$ tỷ lệ $r/R$

Cơm. 5.

bằng φ, do đó $r = R$ cos $\varphi$ và $\omega^2 r = \omega^2 R$ cos $\varphi$. So khớp, $g' = g - \omega^2 R$ cos $\varphi$ *).

4. Bây giờ chúng ta hãy xem giá trị $g'$ của một vĩ độ nhất định $\varphi$ khác với $g$ như thế nào. Để làm điều này, rõ ràng, bạn chỉ cần tính các giá trị của $\omega^2 R$.

Vận tốc góc $\omega$ của chuyển động quay của Trái đất là nhỏ, vì chu kỳ quay của Trái đất bằng một ngày, tức là 86164 s. Kể từ đây,

$$\omega = \frac{2\pi}{86164} = 7.3 \cdot 10^{-5} \text{ рад/с.}$$

Bán kính Trái đất tại xích đạo là 6378 km, hay $\approx 6,38 \cdot 10^6$ m. Do đó, tại xích đạo ($\varphi = 0$)

$$\omega^2 R = (7.3 \cdot 10^{-5})^2 \cdot 6.38 \cdot 10^6 = 3.4 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2.$$

Gia tốc rơi tự do ở xích đạo khác với cột này với gia tốc sẽ quan sát được nếu Trái đất không thực hiện chuyển động hàng ngày của nó. Ở bất kỳ nơi nào khác, sự khác biệt này thậm chí còn nhỏ hơn. Sự khác biệt quá nhỏ nên sẽ không đáng để viết một bài về nó nếu nó không có tầm quan trọng cơ bản của chính câu hỏi về chuyển động của các vật thể so với gia tốc chuyển động của hệ tọa độ. Trong các vấn đề khác, có thể đáng nói thêm rằng cho dù sự khác biệt giữa $g'$ và $g$ nhỏ đến đâu thì đôi khi nó vẫn đóng một vai trò quan trọng. Vì vậy, ví dụ, một chiếc đồng hồ có một nam châm (chu kỳ của nam châm phụ thuộc vào gia tốc của vật tự do).

*) Chúng ta không dạy rằng tại điểm trên cùng của quỹ đạo vật thể có tốc độ quay tuyến tính quanh trục Trái đất, lớn hơn tốc độ quay của điểm quy chiếu trên Trái đất (vì tốc độ góc của chuyển động quay hàng ngày là như nhau và khoảng cách đến tâm quay tính từ điểm ban đầu rơi của vật thể lớn hơn so với tính từ điểm quy chiếu trên Trái đất). Do đó, phương trình của các vật thể sẽ dịch chuyển về phía đông so với đường thẳng của thước. Kết quả là, khi một vật rơi ở đầu trên của thước xuống Trái đất, một gia tốc bổ sung xuất hiện - cái gọi là gia tốc Korpolis - mà chúng ta không tính đến.

22

mùa thu) ở xích đạo từ việc thực hiện cùng số giờ đến mức lớn hơn 3 phút mỗi ngày. Trong hầu hết các trường hợp, có thể bỏ qua sự khác biệt giữa $g'$ và $g$.

5. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận câu hỏi về lực hấp dẫn tác dụng lên Trái đất đang quay và trọng lượng của các vật thể đặt lên nó.

Lực hấp dẫn tác dụng lên bất kỳ vật thể nào có khối lượng $m$ trên bề mặt Trái đất là lực hấp dẫn phổ quát giữa vật thể này và Trái đất. Giá trị tuyệt đối của lực này bằng

$$F = \gamma \frac{mM}{R^2},$$

và nó hướng về tâm Trái Đất. Rõ ràng là sự quay của Trái đất không thể ảnh hưởng đến lực này dưới bất kỳ hình thức nào.

Theo định luật thứ hai của Newton, lực này bằng tích của khối lượng của vật và gia tốc do lực này truyền:

$$\gamma \frac{mM}{R^2} = mg.$$

Kể từ đây,

$$g = \gamma \frac{M}{R^2}.$$

Gia tốc $g$, được bao gồm trong biểu thức của lực hấp dẫn, là gia tốc trong “đứng yên”, hay như người ta nói, trong hệ thống báo cáo quán tính. Như đã biết, các định luật chuyển động của Newton, mà chúng ta sử dụng khi viết công thức (5), chỉ đúng với những hệ như vậy. Tình hình lại khác với đại lượng gọi là trọng lượng cơ thể.

Trọng lượng của một vật là lực do vật tác dụng lên giá đỡ mà nó được đặt trên đó hoặc lên hệ thống treo mà nó được treo trên đó. Lực này có thể là bất kỳ, tùy thuộc vào gia tốc đối với hệ tọa độ chuyển động cố định của giá đỡ hoặc hệ thống treo cùng với cơ thể.

Nếu một vật đỡ hoặc hệ thống treo đứng yên so với một hệ tọa độ cố định hoặc chuyển động so với nó mà không có gia tốc thì trọng lượng của vật chỉ bằng lực hấp dẫn tác dụng lên nó.

Nhưng những chiếc cân, dùng để đo trọng lượng của cơ thể ở bất kỳ đâu trên Trái đất, ngoại trừ các sọc, sẽ chuyển động với gia tốc (do Trái đất quay). Vì vậy, ngoài những đường sọc, trọng lượng của tôi không bằng sức mạnh của sự mềm mại của tôi. Trọng lượng của vật $P$, bị thay đổi bởi các cân chuyển động với gia tốc $a$ so với Trái đất đứng yên, bằng

$$P = m(g - a).$$

Trong trường hợp của chúng tôi, vai trò của gia tốc $a$ được thực hiện bởi gia tốc $\omega^2 R \cos \varphi$. Đó là lý do tại sao

$$P = m(g - \omega^2 R \cos \varphi).$$

Vì gia tốc $\omega^2 R \cos \varphi$ khác nhau ở các gai khác nhau nên trọng lượng cơ thể thay đổi ở các gai khác nhau cũng khác nhau. Trọng lượng cơ thể thấp nhất sẽ ở xích đạo. Tuy nhiên, độ lớn trọng lượng của vật tại xích đạo và tổng chênh lệch nhỏ bằng độ lớn của gia tốc trọng trường thay đổi tại những điểm này.

Do đó, chúng ta thấy rằng khi chúng ta sử dụng hệ tọa độ quán tính “cố định”, thì đối với trọng lượng của vật, chúng ta có thể viết biểu thức

$$P = mg.$$

Nhưng khi chúng ta sử dụng hệ tọa độ không chu vi, tức là hệ tọa độ chuyển động với gia tốc, thì không thể sử dụng định luật thứ hai của Newton. Do đó, không thể sử dụng công thức $P = mg'$, công thức rút ra từ định luật thứ hai của Newton. Tuy nhiên, chúng tôi đã viết công thức (6) và (6a), điều này chỉ có nghĩa là $P = mg'$, trong đó $g'$ là gia tốc so với hệ tọa độ không chu vi. Nhưng điều này là “bất hợp pháp”, phải không? Vâng, nó là bất hợp pháp. Nhưng tại sao các công thức “bất hợp pháp” cũng được viết ra sẽ được thảo luận trong một bài viết khác.

Nhấn mạnh

1. Ở vị trí đảo ngược, hòn đá đi theo đường xích đạo do Trái đất tự quay. Ở vị trí phía Nam hòn đá sẽ lệch về đâu?

2. Trái đất phải quay với vận tốc góc bằng bao nhiêu để gia tốc rơi tự do của một vật ở xích đạo bằng 0? Trọng lượng cơ thể trong trường hợp này sẽ là bao nhiêu? Lực hấp dẫn nào đang tác dụng lên nó?