Bài toán M256—M260; F268—F272

30

Bài toán

M256—M260; F268—F272

M256. Một đa giác được mô tả xung quanh một vòng tròn. Điểm tiếp xúc của các cạnh của nó với đường tròn là các điểm phục vụ của đa giác thứ hai nội tiếp trong đường tròn này. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M tùy ý của đường tròn đến các cạnh của một đa giác bằng tích khoảng cách từ điểm này đến các cạnh của đa giác thứ hai.

(Khi xét từ điểm M đến một cạnh, khoảng cách đến đường thẳng mà cạnh này nằm bị giẫm đạp.)

A.N. Chernyev

M257. Với số tự nhiên nào $n \geq 2$ thì bất đẳng thức
$$x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \geq p(x_1 x_2 + x_2 x_3 + \ldots + x_{n-1} x_n)$$
đúng với mọi số thực $x_1, x_2, \ldots, x_n$ nếu $p = 1$; 6) $p = \frac{4}{3}$; 8) $p = \frac{6}{5}$?

Heyer Kong Quil (Hà Nội, DRV)

M258. Trên mặt phẳng đáy có ba điểm K, L, N. Người ta biết rằng một tứ giác là lồi và trung điểm của một số trong ba cạnh của nó lần lượt nằm tại các điểm K, L, N. Tìm tập hợp các điểm có thể cắt nhau:
a) Trung điểm của tứ giác;
b) đỉnh của tứ giác này.

A. P. Savin

M259. Chúng ta hãy gọi một tứ giác là một hình tứ giác gồm các ô trên giấy ca rô, tâm của chúng nằm ở các đỉnh của hình chữ nhật có các cạnh song song với các đường lưới. (Ví dụ, trong Hình 1, ba tứ giác được vẽ không có các ô chung, bạn có thể đặt:
a) bình phương $5 \times 5$?

31

6. trong một ô hình chữ nhật $m \times n$?

A. Grigoryan, học sinh lớp 10

M260*. Vòng tròn được chia theo các điểm $A_1, A_2, \dots, A_n$ thành $n$ phần bằng nhau, mỗi phần được sơn một màu nhất định. Hai cung (có các đầu tại điểm phân chia) được gọi là có màu giống nhau nếu, với một số phép quay của đường tròn, một trong số chúng hoàn toàn, bao gồm cả màu của mỗi phần, trùng với phần kia. (Ví dụ: trong Hình 2, các cung $A_2A_6$ và $A_6A_{10}$ có màu như nhau.)

Chứng minh rằng nếu với mỗi điểm của phân vùng $A_i$ người ta có thể chỉ ra hai cung rời nhau, có màu giống hệt nhau với một điểm cuối chung $A_i$,

Cơm. 1.

thì toàn bộ hình tròn có thể được chia thành nhiều cung có màu bằng nhau, tức là màu sắc “định kỳ”. Đầu tiên hãy xem xét trường hợp chỉ có hai màu: đỏ và đen.

G. A. Gureevi

F268. Để xác định tỷ số nhiệt dung của một chất khí ở áp suất không đổi và thể tích không đổi, đôi khi người ta sử dụng phương pháp sau. Xác định lượng khí có nhiệt độ, thể tích và áp suất ban đầu bằng nhau?

Cơm. 3.