Kvant
Luyện thi đại học

Đối số số phức

Сидоров Ю. В.

Kvant 1974, số 4tr. 41-46Thẻ QDOI

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

41

Đối số số phức
Yu. V. Sidorov

Bài viết này nghiên cứu khái niệm lập luận của số phức và dạng lượng giác của cách viết số phức. Giả định rằng người đọc biết định nghĩa của số phức, khái niệm về mô hình và cách giải thích hình học của số phức *).

định nghĩa
Hãy bắt đầu bằng việc xác định đối số của một số phức. Thông thường có hai định nghĩa.

Định nghĩa 1. Đối số của số phức z≠0z \neq 0 là góc giữa trục thực và vectơ Oz⃗\vec{Oz}, được mô tả theo chiều dương của trục thực. Đồng thời, nếu

*) Ví dụ, xem V. G. Boltyansky, Yu. V. Sidorov, M. I. Shabunn, “Các bài giảng và bài toán về toán tiểu học”, M., “Nauka”, 1971, cũng như V. V. Pekarskaya, “Hình học của số phức”, «Kvant», 1973, Số 6, tr. 54.

Việc đếm được thực hiện tùy ý theo chiều kim đồng hồ, nhưng giá trị của giá trị được tính là dương, nếu không theo chiều kim đồng hồ thì có thể âm (xem hình).

Định nghĩa 2. Đối số của số phức a+bi≠0a + bi \neq 0 là góc φ thỏa mãn hai đẳng thức:

sin⁡φ=ba2+b2,cos⁡φ=−aa2+b2.\begin{align*} \sin \varphi &= \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \\ \cos \varphi &= -\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \end{align*}

Để hiểu đầy đủ định nghĩa của một lập luận, cần phải quy định như sau.

1°. Trong cả hai định nghĩa, một góc có thể được biểu thị bằng cả độ và radian. Trong một khóa học toán ở trường, cả hai mục đều bằng nhau. Để rõ ràng, các hợp đồng trong bài viết này chỉ thay đổi góc theo radian và từ “radIAN”, như thường lệ, sẽ bị bỏ qua. Sự lựa chọn này không phải ngẫu nhiên - trong toán học cao hơn, sự thay đổi radian của các góc thường được sử dụng nhất. Vì vậy, đối số của số phức nên được coi là số trừu tượng.

Do đó, trong Định nghĩa 1, từ “góc” phải được ghi nhớ là “góc đại số”, tức là một số trừu tượng biểu thị số radian của giá trị “góc hình học”. Tương tự, trong Định nghĩa 2, số φ có nghĩa là số radian chứ không phải độ.

42

2°. Định nghĩa 1 và 2 tương đương nhau: nếu φ là đối số của số z = a + bi ≠ 0 theo nghĩa của Định nghĩa 1 thì các đẳng thức (1) được thỏa mãn; ngược lại, nếu φ là đối số của số phức z = a + bi ≠ 0 theo nghĩa của Định nghĩa 2, thì φ là góc giữa hướng dương của trục thực và vectơ z. Mệnh đề này cho a > 0, b > 0 được rút ra trực tiếp từ hình vẽ (xem trang 41) và các định nghĩa về sin và cos. Đối với các số z khác, cách chứng minh cũng tương tự (kiểm tra lại!).

Vì vậy, không quan trọng định nghĩa nào trong số 1 hoặc 2 được chọn làm định nghĩa ban đầu - định nghĩa còn lại sẽ là tiêu chí cần thiết và xứng đáng.

3°. Đối với số z = 0 khái niệm đối số không tồn tại. Do đó, để cho ngắn gọn, trong tất cả các cuộc thảo luận tiếp theo liên quan đến khái niệm lập luận, chúng ta sẽ giả sử (và điều này không được quên!) rằng z ≠ 0.

4°. Đối với số phức cố định z ≠ 0, đối số được xác định một cách mơ hồ: nếu φ₀ là đối số không phải là tác nhân của số z thì mỗi số

φ0+2kπ,k=0,±1,±2,…,\varphi_0 + 2k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots,

cũng là một đối số của cùng số z và không có số nào không trùng với bất kỳ số nào được chỉ ra trong (2) là đối số của số z (hãy chứng minh điều đó!).

Do đó, với mọi số cố định z ≠ 0 có vô số đối số, trong đó cứ hai số âm của dyres là bội số của 2π.

5°. Sự mơ hồ của đối số, được mô tả ở phần 4°, khiến cho việc hiểu các phép toán trên đối số của một số phức trở nên khó khăn. Nhưng thường thì chính nhờ sự mơ hồ này mà người ta mới có thể giải quyết được những vấn đề khá khó khăn bài toán.

Trong một số toán học cơ bản gần đây, định nghĩa của đối số bao gồm một hạn chế ở dạng 0 ≤ φ < 2π, nghĩa là người ta tin rằng đối số của số phức z là góc không âm nhỏ nhất giữa trục dương và vectơ z. Khi đó với mỗi số z, đối số được xác định duy nhất và thoạt nhìn có vẻ như toàn bộ lý thuyết sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên, hạn chế như vậy chỉ làm phức tạp thêm hoạt động chính xác của các đối số (ví dụ: tổng các đối số của hai số phức không phải lúc nào cũng là đối số của bất kỳ số phức nào). Đôi khi điều này dẫn đến * có ý nghĩa không rõ ràng), vì vậy tốt hơn là bạn nên bám sát mức độ ưu tiên chung của định nghĩa (1 hoặc 2).

Đối số số phức

Chúng ta hãy xem xét vấn đề tìm đối số của một số phức. Nhưng trước tiên, hãy đồng ý về ký hiệu.

Để chỉ ra thực tế rằng số φ là đối số của số phức z, chúng ta viết

φ=arg⁡z или arg⁡z=φ.\varphi = \arg z \text{ или } \arg z = \varphi.

(3) Ví dụ, sự tương ứng nào

π2=arg⁡i\frac{\pi}{2} = \arg i

Và

arg⁡i=π2\arg i = \frac{\pi}{2}

chỉ có nghĩa là số π/2 là đối số của số i.

Lưu ý rằng sự tương ứng (3), mặc dù về mặt hình thức trông giống như đẳng thức, nhưng lại không đếm được. Tuy nhiên, trong số các tính chất của các đẳng thức thông thường, chẳng hạn như sau: nếu A = B và B = C thì A = C (A, B, C là các số hoặc hình hình học). Nhưng đẳng thức (3) không có tính chất này. Ví dụ, chúng ta có thể viết rằng

π4=arg⁡(1+i),arg⁡(1+i)=9π4,\frac{\pi}{4} = \arg (1 + i), \arg (1 + i) = \frac{9\pi}{4},

*) Xem ví dụ, V.V. Zaitsev, V.V. Ryzhkov, I.M. Skanavi, “Toán học cơ bản”, M., “Nauka”, 1967, tr. 41: trong công thức (15.1) tổng φ₁ + φ₂ có thể lớn hơn 2π, và do đó ý nghĩa của định lý sau công thức này không rõ ràng. Một điều không hiển nhiên tương tự đã được thừa nhận trên cùng một trang trong công thức (15.2) và trong văn bản sau nó.

Và chưa được chỉnh sửa. Một ấn bản mới, có sửa đổi của cuốn sách này hiện đang được chuẩn bị; nó sẽ được xuất bản vào năm 1974.

43

π4≠9π4\frac{\pi}{4} \neq \frac{9\pi}{4}.

Như vậy, tương ứng (3) có thể đọc như sau: “φ bằng đối số của số zz hoặc “đối số của số zz bằng φ\varphi”, nhưng ý nghĩa của các cụm từ này chỉ có một: φ\varphi là đối số của số zz hay nói cách khác, φ\varphi là một trong các đối số của số zz, như đã lưu ý ở (2). Thực tế này được viết dưới dạng một công thức.

arg⁡z=φ0+2kπ,\arg z = \varphi_0 + 2k\pi,

k=0,±1,±2,…k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots

Ví dụ: tất cả các giá trị của đối số của số ii đều có trong công thức

arg⁡i=π2+2kπ,k=0,±1,±2,…\arg i = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots

Lưu ý rằng “các đẳng thức” thấy trong (4) thường xảy ra đối với các phương trình lượng giác lời giải. Ví dụ: lời giải của phương trình sin⁡x=1\sin x = 1 được viết như sau:

x=π2+2kπ,k=0,±1,±2,…x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots

Ý nghĩa của “bình đẳng” cuối cùng cũng giống như sự tương ứng (4): với mỗi số nguyên kk, số π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi thỏa mãn phương trình sin⁡x=1\sin x = 1 và chỉ những số này là nghiệm của phương trình sin⁡x=1\sin x = 1.

Để tìm tất cả các giá trị của đối số của số phức z=a+bi≠0z = a + bi \neq 0, bạn cần tìm tất cả các số φ\varphi thỏa mãn cả hai đẳng thức (1), tức là giải các phương trình (1) cùng nhau.

Ví dụ 1. Tên của tất cả các giá trị đối số của số z=−5z = -5.

Vì a=Rez=−5,b=Imz=0a = \text{Re} z = -5, b = \text{Im} z = 0, nghiệm của phương trình thứ nhất cos⁡φ=−1\cos \varphi = -1 từ hệ (1) là các số φ=π+2kπ,k=0,±1,±2,…\varphi = \pi + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots và nghiệm của phương trình thứ hai sin⁡φ=0\sin \varphi = 0 là các số φ=nπ,n=0,±1,±2,…\varphi = n\pi, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots.

Các nghiệm chung của phương trình là các số

φ=π+2kπ,k=0,±1,±2,…\varphi = \pi + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots

Đáp số: arg⁡(−5)=π+2kπ,k=0,±1,±2,…\arg (-5) = \pi + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots.

Lưu ý rằng đáp số trong ví dụ 1 có thể được viết dưới dạng khác, ví dụ:

arg⁡(−5)=−π+2nπ,n=0,±1,±2,…,\arg (-5) = -\pi + 2n\pi, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots,

hoặc

arg⁡(−5)=3π+2mπ,m=0,±1,±2,…\arg (-5) = 3\pi + 2m\pi, m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots

Cần phải lưu ý rằng tất cả các công thức này đều là các mục khác nhau tương đương nhau (mỗi mục trong số đáp số này chứa tất cả các giá trị của đối số của số −5-5), tức là chúng giống nhau đáp số, được viết bởi các công thức khác nhau.

Đối số của số phức z=a+bi≠0z = a + bi \neq 0 bạn có thể tìm điểm đầu tiên của quy trình z=a+biz = a + bi (ví dụ: sử dụng cách diễn giải hình học của số phức), sau đó sử dụng một (bất kỳ) phương trình (1) (chứng minh đáp số theo công thức (4)).

Đáp số: arg⁡(−1+i)=3π4+2kπ,k=0,±1,±2,…\arg (-1 + i) = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots.

Lưu ý rằng nếu φ=arg⁡(a+bi),a≠0\varphi = \arg (a + bi), a \neq 0 thì

tgφ=ba.\tg \varphi = \frac{b}{a}.

Tuy nhiên, phát biểu ngược lại không đúng: từ phương trình (5) không thể

44

đọc cái đó φ=arg⁡(a+bi)\varphi = \arg(a + bi). Ví dụ: đối với số −1+i-1 + i, giá trị φ=−π/4\varphi = -\pi/4 là nghiệm của phương trình (5), nhưng không phải là đối số của số này.

Nhưng nếu trước tiên chúng ta xác định điểm a+bia + bi nằm ở góc phần tư nào, sau đó tìm lời giải của phương trình (5), tức là góc trong góc phần tư này, thì chúng ta thu được đối số của số a+bia + bi (bằng chứng!).

Ví dụ 3. Đặt tên từ các đối số của số 1−i31 - i\sqrt{3}.

Điểm 1−i31 - i\sqrt{3} nằm ở quý 4. Chúng ta tìm thấy một số lời giải của phương trình (5), tức là arg⁡(φ)=−3\arg(\varphi) = -\sqrt{3}, là góc trong phần tư này, ví dụ: φ=−π/3\varphi = -\pi/3.

Đáp số: arg⁡(1−i3)=−π3\arg(1 - i\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}.

Trong ví dụ này, ý nghĩa của câu hỏi đáp số không rõ ràng. đáp số sau đây cũng đúng:

arg⁡(1−i3)=5π3,\arg(1 - i\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{3},
arg⁡(1−i3)=−7π3,\arg(1 - i\sqrt{3}) = -\frac{7\pi}{3},
arg⁡(1−i3)=41π3\arg(1 - i\sqrt{3}) = \frac{41\pi}{3}

và những người khác.

Ví dụ 4. Tên của số 3+i\sqrt{3} + i.

Tương tự như cách thực hiện trong ví dụ 2 hoặc 3, chúng tôi thấy (tìm!):

arg⁡(3+i)=π6\arg(\sqrt{3} + i) = \frac{\pi}{6}

(tức là π/6\pi/6 là một trong các đối số của số 3+i\sqrt{3} + i). Vẫn còn phải tìm ra cách viết đáp số: chỉ ra một giá trị đối số có đủ hay bạn cần tìm tất cả?

Nhớ lại, ví dụ: bài toán: giải phương trình x2=1x^2 = 1. Phương trình này có hai nghiệm x1=1x_1 = 1 và x2=−1x_2 = -1. Để đáp số hoàn thiện, phải bao gồm cả hai gốc. đáp số cần thiết cũng thường gặp trong các bài toán hình học. Ví dụ: tìm cạnh ABAB của tam giác ABCABC nếu AC=8AC = 8 cm, BC=7BC = 7 cm, ∠A=π/3\angle A = \pi/3. đáp số đầy đủ phải là: AB=3AB = 3 cm hoặc AB=5AB = 5 cm (bằng chứng!).

Điều này cũng đúng trong ví dụ 4 của chúng ta: để đáp số hoàn chỉnh, chúng ta cần tìm tất cả các giá trị đối số của số 3+i\sqrt{3} + i. Vì một đối số π/6\pi/6 đã được tìm thấy nên chúng tôi tìm thấy tất cả các giá trị đối số của số này bằng công thức (4).

Đáp số: arg⁡(3+i)=π6+2kπ,k=0,±1,±2,…\arg(\sqrt{3} + i) = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots.

Vì vậy, câu hỏi 4 là phiên bản ngắn gọn đơn giản của câu hỏi 2.

Hãy chú ý đến một lỗi phổ biến. Mặt khác, người nộp đơn cố gắng tìm đối số của số a+bia + bi bằng công thức φ=arctgba\varphi = \arctg\frac{b}{a}, và một số thậm chí còn lấy công thức này làm định nghĩa của đối số. Tuy nhiên, đối với mỗi xx, hàm đối số xx chỉ có một giá trị, −π2<arctgx<π2-\frac{\pi}{2} < \arctg x < \frac{\pi}{2}. Điều này có nghĩa là công thức arg⁡(a+bi)=arctgba\arg(a + bi) = \arctg\frac{b}{a} chỉ hợp lệ cho a>0a > 0 và nó chỉ đưa ra một trong các giá trị của đối số.

Có thể chứng minh (chứng minh!) tính đúng đắn của công thức sau:

arg⁡(a+bi)={π2, если a=0,b>0;−π2, если a=0,b<0;arctgba, если a>0;π+arctgba, если a<0.\arg(a + bi) = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, \text{ если } a = 0, b > 0; \\ -\frac{\pi}{2}, \text{ если } a = 0, b < 0; \\ \arctg\frac{b}{a}, \text{ если } a > 0; \\ \pi + \arctg\frac{b}{a}, \text{ если } a < 0. \end{cases}

Sử dụng công thức này, bạn có thể tìm thấy một trong các giá trị của đối số, nhưng việc thực hiện như trong ví dụ 2 hoặc 3 thường dễ dàng hơn.

45

Dạng lượng giác của số phức

Hãy xem xét khái niệm dạng lượng giác của số phức. Hãy nhớ lại rằng mô đun của số phức z=a+biz = a + bi là số

r=∣a+bi∣=a2+b2.r = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}.

Giả sử φ=arg⁡(a+bi)\varphi = \arg(a + bi), chúng ta viết lại công thức (1) như sau:

cos⁡φ=ar,sin⁡φ=br,\cos \varphi = \frac{a}{r}, \sin \varphi = \frac{b}{r},

a=rcos⁡φ,b=rsin⁡φa = r \cos \varphi, b = r \sin \varphi đến từ đâu, và sau đó

a+bi=r(cos⁡φ+isin⁡φ).a + bi = r(\cos \varphi + i \sin \varphi).

Do đó, bất kỳ số phức a+bi≠0a + bi \neq 0 nào cũng có thể được viết dưới dạng (6), nếu rr là mô đun của số a+bia + bi và φ\varphi là một trong các đối số của số này:

r=∣a+bi∣,φ=arg⁡(a+bi).r = |a + bi|, \varphi = \arg(a + bi).

Mệnh đề ngược lại cũng đúng (bằng chứng!): nếu số phức a+bia + bi được biểu diễn dưới dạng (6), nếu r>0r > 0, thì

r=∣a+bi∣,φ=arg⁡(a+bi).r = |a + bi|, \varphi = \arg(a + bi).

Sự định nghĩa. Biểu diễn số phức zz dưới dạng

z=r(cos⁡φ+isin⁡φ),z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi),

(7) nếu r>0r > 0, được gọi là dạng lượng giác của cách viết số phức.

Điều trên có nghĩa là mỗi số phức z≠0z \neq 0 có thể được biểu diễn dưới dạng lượng giác (7) và

r=∣z∣,φ=arg⁡z.r = |z|, \varphi = \arg z.

Để tìm dạng lượng giác của một số phức cho trước, bạn cần tìm một phương thức của số, một đối số nào đó của số này, sau đó viết số này dưới dạng (7). Nếu trong trường hợp này ∣z∣=r=1|z| = r = 1, thì toàn bộ rr trong công thức (7), như thường lệ, bị bỏ qua, nghĩa là trong trường hợp này dạng ký hiệu lượng giác có dạng

z=cos⁡φ+isin⁡φ.z = \cos \varphi + i \sin \varphi.

Ví dụ: đối với số ii mục nhập

i=cos⁡π2+isin⁡π2i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}

là dạng lượng giác của cách viết số này.

Lưu ý rằng, do tính đa nghĩa của arg zz, dạng lượng giác của một số phức cố định cũng không rõ ràng. Ví dụ: đối với số ii dạng lượng giác cũng được viết

i=cos⁡5π2+isin⁡5π2,i = \cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2},

i=cos⁡(−3π2)+isin⁡(−3π2)i = \cos \left(-\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right)

và những người khác.

Cần nhấn mạnh rằng không phải mọi biểu diễn số phức thông qua các hàm lượng giác đều là dạng lượng giác của số này. Ví dụ: viết số ii dưới dạng i=cos⁡π2+isin⁡5π2i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2} hoặc i=(−1)(cos⁡3π2+isin⁡3π2)i = (-1)\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right) không phải là dạng lượng giác của số ii. Vì các đối số của số ii là số ii là số ii.

π2+2kπ,k=0,±1,±2,…,\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots,

và chỉ có họ thì dạng lượng giác của số ii nhất thiết phải có dạng

z=1+cos⁡10π9+isin⁡10π9z = 1 + \cos \frac{10\pi}{9} + i \sin \frac{10\pi}{9}

có thể được biểu diễn dưới dạng (kiểm tra nó!):

z=2cos⁡5π9(cos⁡5π9+isin⁡5π9)=z = 2 \cos \frac{5\pi}{9} \left(\cos \frac{5\pi}{9} + i \sin \frac{5\pi}{9}\right) =

=2cos⁡14π9(cos⁡14π9+isin⁡14π9).= 2 \cos \frac{14\pi}{9} \left(\cos \frac{14\pi}{9} + i \sin \frac{14\pi}{9}\right).

Mục thứ hai trong số này là

46

dạng lượng giác của số này, nhưng số đầu tiên thì không, vì cos⁡5π9<0\cos \frac{5\pi}{9} < 0.

Vì vậy, nếu r=∣z∣r = |z|, φ0=arg⁡z\varphi_0 = \arg z (có lẽ φ0\varphi_0 là một trong các đối số của số zz), thì với mỗi số nguyên kk ký hiệu z=r[cos⁡(φ0+2kπ)+isin⁡(φ0+2kπ)]z = r[\cos(\varphi_0 + 2k\pi) + i\sin(\varphi_0 + 2k\pi)] là dạng lượng giác của số phức zz, và không có ký hiệu nào khác là dạng lượng giác của số này.

Điều này kết thúc việc xem xét các tính chất của lập luận của số phức trong môn toán ở trường.

Một thuộc tính đối số

Sử dụng dạng lượng giác, bạn có thể dễ dàng rút ra các quy tắc nhân và chia số phức sau đây (hãy xem thử!): nếu

z1=r1(cos⁡φ1+isin⁡φ1),z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1),
z2=r2(cos⁡φ2+isin⁡φ2),z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2),

mo

z1z2=r1r2[cos⁡(φ1+φ2)+isin⁡(φ1+φ2)],z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)],
z1z2=r1r2[cos⁡(φ1−φ2)+isin⁡(φ1−φ2)].\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)].

Định lý quan trọng sau đây tuân theo quy tắc này vô thời hạn: Đặt φ1=arg⁡z1\varphi_1 = \arg z_1 và φ2=arg⁡z2\varphi_2 = \arg z_2. Sau đó

φ1+φ2=arg⁡(z1z2),\varphi_1 + \varphi_2 = \arg(z_1z_2),
φ1−φ2=arg⁡z1z2.\varphi_1 - \varphi_2 = \arg\frac{z_1}{z_2}.

Hãy nhớ lại rằng ký hiệu φ=arg⁡z\varphi = \arg z chỉ có nghĩa là số φ\varphi là một trong các đối số của số phức zz. Điều này có nghĩa là các công thức trong định lý phải được đọc như sau: tổng các đối số của số phức zz là đối số của tích, và hiệu của các đối số của số bị chia và số bị chia là đối số của thương.

Hãy chú ý đến một lỗi phổ biến. Nord của định lý đặc biệt thứ nhất được viết dưới dạng “công thức”

arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2,\arg(z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2,

điều này vô nghĩa, vì arg zz là hàm đa giá trị và khóa học toán ở trường không đề cập đến khái niệm tổng và đẳng thức của hai hàm đa giá trị.

Cần lưu ý rằng nếu φ1=arg⁡z1\varphi_1 = \arg z_1, φ2=arg⁡z2\varphi_2 = \arg z_2 và φ=arg⁡(z1z2)\varphi = \arg(z_1z_2) thì