Truyền hình chuẩn bị vào đại học

50

TV
CHUẨN BỊ ĐẠI HỌC

Toán học

Vào tháng 4, tại khoa toán của các khóa học từ xa, các bài giảng được giảng theo các chủ đề: “Số phức”, “Nhiệm vụ soạn phương trình”, “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian”, “Khối đa diện”, “Các bề mặt và thể tích của các vật thể”. Một số bài toán bài tập về nhà về các chủ đề này được cung cấp bởi người đọc «Kvant» cho lời giải độc lập.

1. Tìm các giá trị thực của $x$ mà các số tuân thủ

$$z_1 = \sqrt{x^2 - 3} + 3 - i \sin \frac{\pi x}{4}$$

Và

$$z_2 = \sqrt{x^2 + 5} + 1 - i \sin^2 \frac{\pi x}{4}$$

là liên hợp.

2. Tích của một số tự nhiên nhất định và một số viết cùng chữ số nhưng theo thứ tự ngược lại bằng 1008. Tìm số ban đầu.

3. Nước chảy đều vào hố. 10 máy bơm giống hệt nhau hoạt động đồng thời có thể bơm nước ra khỏi hố đầy trong 12 giờ và 15 máy bơm giống hệt nhau hoạt động đồng thời có thể bơm nước ra khỏi hố trong 6 giờ. Hỏi 25 máy bơm giống nhau hoạt động đồng thời có thể bơm nước từ một hố đã đầy trong bao nhiêu giờ?

4. Tổng diện tích bề mặt của một hình bình hành hình chữ nhật là 192 $cm^2$; nếu độ dày của mỗi cạnh là một cm thì tổng bề mặt sẽ giảm 70 $cm^2$. Tìm độ dài đường chéo của hình bình hành.

5. Trong một hình song song nghiêng, hai mặt bên hỗn hợp có các mặt phẳng $S_1$ và $S_2$ và tạo thành một góc nhị diện bằng 150°. Tìm thể tích của hình bình hành nếu cạnh bên của nó bằng $a$.

6. Đáy của hình bình hành là một hình thang đều, có đáy là $a$ và $2a$. Các mặt bên song song với mặt phẳng đáy; chiều cao song song $a$. Tìm bề mặt bên của các đường song song.

7. Cạnh đáy của một hình tứ giác đều là $a$, chiều cao của hình tứ giác đều là $h$. Một mặt cắt được vẽ qua cạnh của đáy của các hình song song và giữa của cạnh bên, không giao nhau ở phía này. Xác định khoảng cách từ đỉnh các đường vĩ tuyến đến mặt phẳng của phần này.

8. Góc nhị diện ở cạnh bên của một tứ giác đều song song bằng $\alpha$. Xác định góc nhị diện ở đáy của các đường song song.

Trong số này, chúng tôi cũng xuất bản các bài kiểm tra số 4, 5 về các chủ đề được đề cập trong tháng Hai và tháng Ba. Lời giải bài toán bài kiểm tra có thể được gửi đến địa chỉ: 113162, Moscow, Shabolovka, 53, Moscow dự bị từ xa, toán học, KR số 4, 5. Đính kèm lời giải một phong bì không dán kín có địa chỉ của bạn.

Bài kiểm tra số 4

1. Giải phương trình

$$\sin^4 x + \cos^4 \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}.$$

2. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} \lg (x^2 + y^2) = \lg (2 \cdot 5^{\log_2 2500}), \\ \lg (x + y) - \lg (x - y) = \frac{\log_5 49}{\log_5 100}. \end{cases}$$

3. Giải bất đẳng thức

$$\frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{x} < 1.$$

4. Giải phương trình

$$2 \cos^2 x + \sin \frac{x}{3} + 1 = 0.$$

5. Giải bất đẳng thức

$$\log_x (3x) \leq \sqrt{\log_x (3x^3)}.$$

Bài kiểm tra số 5

1 (MSU, 1972). Từ hai điểm $A$ và $B$ nằm trên sông (trong dòng chảy bên dưới $A$), khoảng cách giữa đó là 36 km, hai chiếc thuyền đồng loạt xuất phát đuổi theo nhau (chiếc đầu tiên xuất phát từ điểm $A$) và gặp nhau sau 3 giờ rời bến. Vận tốc của thuyền thứ hai khi nước yên lặng gấp 4 lần vận tốc dòng sông. Quãng đường từ điểm $A$ đến điểm $B$ và quay về được chiếc thuyền thứ nhất đi hết trong 24 giờ. Tìm vận tốc dòng chảy của sông.

2 (MEPhI, 1972). Bộ sưu tập tem bao gồm ba album. Album đầu tiên chứa 1/5 số tem, album thứ hai chứa một số tem màu xám và album thứ ba chứa 303 tem. Có bao nhiêu con tem trong bộ sưu tập?

3 (MSU, 1972). Một quả cầu có bán kính $R$ nội tiếp đường thẳng ABCDA’B’C’D’, đáy dưới là hình thoi ABCD và AA’, BB’, CC’, DD’ là các cạnh bên. Tìm diện tích mặt cắt ngang của các mặt phẳng đi qua các đỉnh $A$, $B$ và $C'$, nếu biết rằng $BAD = \alpha$.

51

4. (MEPhI, 1973). Trong tam giác paramid SABC, độ dài cạnh SC là $a$. Cạnh này nghiêng với mặt phẳng đáy ABC một góc $\alpha$. Góc nhị diện ở cạnh SC bằng $\beta$, và góc nhị diện ở cạnh AB là góc thẳng; $SA = SB, AC = BC$. Tìm bán kính của quả bóng được ghi trong paramid.

5. (MEPhI, 1972). Tìm thể tích của hình nón nhỏ nhất trong số tất cả những hình nón có thể mô tả xung quanh một quả cầu có bán kính $R$.

Vật lý

Tại khoa vật lý của các khóa học vật lý và toán học qua điện thoại dành cho các ứng viên vào các trường đại học ở Matra - ngay từ năm 1974, phần “Dao động và Sóng” đã được nghiên cứu. Các bài giảng và lớp thực hành thảo luận các vấn đề liên quan đến dao động cơ học và sóng, âm thanh, dao động điện từ và sóng. Để kết luận, một bài giảng ôn tập về các quá trình sóng sẽ được đưa ra.

Dưới đây là các bài tập về nhà điển hình cho phần “Dao động và Sóng”.

1. Các vật có khối lượng khác nhau được treo vào hai lò xo thẳng đứng không trọng lượng giống hệt nhau. Chu kỳ dao động của lò xo khi chịu tải trọng tương ứng với $T_1 = 1,0$ s và $T_2 = 1,1$ s. Xác định độ dài của các lò xo ở vị trí cân bằng.

2. Tính toán sao cho khoảng cách giữa các vị trí cực trị của ma trận là $2A = 6,0$ cm, và tốc độ chuyển động tối đa của ma trận là $v_{\max} = 0,40$ m/s. Xác định chu kỳ dao động của ma trận.

3. Tần số dao động của hai ma trận toán học nằm ở cùng một vị trí trên Trái đất có liên hệ với nhau là $n = \frac{v_1}{v_2} = 0,90$. Xác định độ dài của ma trận $l_1$ và $l_2$ nếu hiệu của chúng là $\Delta l = l_1 - l_2 = 21$ cm.

4. Động năng của ma trận toán học khi nó đi qua vị trí cân bằng bằng $W_K = 0,10$ J. Xác định độ lớn của lực phục hồi tại thời điểm bằng 1/8 chu kỳ dao động của ma trận, nếu chiều dài sợi dây là $l = 1,0$ m và khối lượng của điểm ma trận là $m = 1,0$ ke.

5. Một điểm vật chất có khối lượng $m = 2,0$ e có điện tích $q = +8,0 \cdot 10^{-6}$ k, cố định ở đầu một sợi dây cách điện có chiều dài $l = 1,2$ m, nằm trong điện trường của trục ứng suất sao cho góc tạo bởi sợi dây với phương thẳng đứng là $\alpha = 20^\circ$. Tìm chu kỳ quay của điểm nếu các đường sức của điện trường thẳng đứng và hướng lên trên.

6. Trong một điện trường đều, các đường sức nằm ngang, một điểm vật chất có khối lượng $m = 15$ e mang điện tích $q = 3,0 \cdot 10^{-6}$ k được treo trên một sợi dây mỏng dài $l = 35$ cm. Tìm chu kỳ dao động tự nhiên của điểm nếu cường độ điện trường là $E = 4,0 \cdot 10^4$ v/m.

7. Xác định độ dài của sóng ngang truyền dọc theo dây nếu khoảng cách giữa hai điểm gần nhau có cùng độ dịch chuyển là $l = 0,40$ m và độ lệch pha giữa dao động của các điểm này là $\varphi_1 - \varphi_2 = 2\pi/3$.

8. Một cuộn dây có độ tự cảm $L = 0,13$ e được mắc nối tiếp vào mạng điện xoay chiều có tụ điện $C = 1,5$ uF. Xác định nhiệt lượng tỏa ra trong cuộn dây nếu giá trị hiệu dụng của điện áp trong mạng là $U = 100$ V, tần số là $v = 400$ ec, điện trở tác dụng của cuộn dây là $R = 15$ ohm.

9. Hai điện cực phẳng có cùng công thức được hạ song song với nhau thành chất điện phân có hằng số điện môi $\varepsilon = 24$. Tìm điện trở riêng của chất điện phân nếu ở tần số $v = 10^6$ điện trở hoạt động và điện dung của điện trở chất điện phân bằng nhau.

10. Trong mạch điện xoay chiều có tần số $v = 50$ mắc nối tiếp với điện trở $R = 100$ ohm, cuộn dây đầu tiên có độ tự cảm $L = 0,20$ en được mắc lần lượt, sau đó là tụ điện $C = 10$ µF. Xác định tỉ số các giá trị biên độ của dòng điện chạy qua điện trở $R$.

11. Khi giá trị em của tụ điện biến đổi thay đổi $\Delta C = 50$ nф thì tần số cộng hưởng của mạch tăng từ $v_1 = 100$ ke lên $v_2 = 120$ ke. Xác định giá trị điện cảm của bộ đếm.

12. Mạch dao động ổn định ở tần số $v = 15$ mcs, bao gồm một cuộn dây có độ tự cảm $L = 5,0 \cdot 10^{-6}$ en và một tụ điện phẳng trong đó khe hở giữa các bản được lấp đầy bằng mica. Tìm chiều rộng của lỗ nếu hằng số điện môi của mica là $\varepsilon = 6,0$ và diện tích của các tấm là $S = 15$ cm².

13. Mạch dao động gồm một cuộn dây có độ tự cảm $L = 15 \times 10^{-6}$ en và hai tụ điện mắc nối tiếp, sau khi phát triển chúng thì chiều dài sóng điện từ do mạch phát ra thay đổi $\Delta \lambda = 20$ m. Tìm giá trị của điện dung nếu điện dung của tụ thứ hai là $C_2 = 120$ nf.

A. N. Borzyak, V. I. Davydov, P. T. Dybov, I. A. Dykovov, A. S. Ivanov