Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov

47

Đại học quốc gia Moscow
được đặt theo tên của M.V. Lomonosov

Chúng ta đã nói về các khoa vật lý và toán học tại Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov *). Dưới đây là tài liệu ôn thi tuyển sinh môn Toán và Vật lý năm 1973 tại các khoa này.

Matematika

Khoa Cơ học và Toán học
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$2(\cos x)^{5/2} - \cos 2x = 1 + \frac{\sin x}{\sqrt{3}}(1 - \sqrt{\cos x}).$$

2. Trong hình thang $ABCD$, điểm $K$ là trung điểm của đáy $AB$, điểm $M$ là trung điểm của đáy $CD$. Tìm diện tích hình thang nếu biết $DK$ là phân giác của góc $D$ của hình thang, $BM$ là phân giác của góc $B$ của hình thang, góc thấp nhất ở đáy hình thang là $60^\circ$ và chu vi là 30.

3. Giải bất đẳng thức
   $$5x + \sqrt{6x^2 + x^3 - x^4} \log_2 x > (x^2 - x) \log_2 x + 5 + 5\sqrt{6 + x - x^2}.$$

4. Các điểm $K$ và $M$ là các cạnh tương ứng $AB$ và $AC$ của paramid tam giác $ABCD$ có diện tích đáy $ABC$ là $p$. Tìm diện tích khuôn mặt $BDC$ nếu phần $MDK$ có diện tích $q$ và đáy của đường cao của paramid rơi vào giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

5. Tìm tất cả các cặp số $x, y$ thỏa mãn điều kiện
   $$\begin{cases} \sqrt{2x^2y^2 - x^4y^4} = y^6 + x^2(1 - x), \\ \sqrt{1 + (x + y)^2} + x(2y^3 + x^2) \leq 0. \end{cases}$$

*) Xem «Kvant», 1973, số 4.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$1 + \cos 2x + \cos^2 x \log \sqrt{3} tg^2 x + 3 \sin x = 2 \sin x \log_{1/3} tg^3 x.$$

2. Trong hình thang $ABCD$, các điểm $K$ và $M$ là trung điểm tương ứng của các đáy $AB$ và $CD$. Được biết, $AM \perp DK$ và $CK \perp BM$, và góc $CKD$ bằng $60^\circ$. Tìm diện tích hình thang nếu chiều cao của nó là 1.

3. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{2 - 5x - 3x^2} + 2x > 2x \times 3^x \sqrt{2 - 5x - 3x^2} + 4x^2 \cdot 3^x.$$

4. Trong tham số tam giác $ABCD$, qua cạnh $AD$, bằng $a$ và điểm $E$—giữa cạnh $BC$—một phần được vẽ tạo thành, với các gam $ACD$ và $ABD$, các góc tương ứng $\alpha$ và $\beta$. Tìm thể tích của paramid nếu diện tích mặt cắt ngang $ADE$ bằng $S$.

5. Tìm tất cả các cặp số $x, y$ thỏa mãn điều kiện
   $$\begin{cases} 4y^2 - 2x^2 = \sqrt{2(x + 2y)^2 - (x + 2y)^4}, \\ x^4 + 2 \leq 4y(x^2 - 1). \end{cases}$$

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

Tùy chọn 3

1. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \sin y \cos x + \sin x = 0, \\ 2 \cos^2 y + \sin y \sin x = \cos 2y \cos x. \end{cases}$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2 x - \frac{4}{25} \left( \frac{x^2 - 14x + 51}{50} \right) \leq 0.$$

3. Trong tam giác vuông $ACB$, từ đỉnh của góc vuông $C$ vẽ đường phân giác $CL = a$ và đường trung bình $CM = b$. Tìm diện tích tam giác $ACB$.

4. Các điểm $A, B, C, D, E, F$ nằm trên bề mặt của một quả bóng có bán kính $\sqrt{2}$.

48

Các đoạn AD, BE và CF cắt nhau tại một điểm S, cách tâm quả bóng một khoảng 1. Được biết, thể tích của các tham số SABC và SDEF có tỷ lệ 1:9, thể tích của các tham số SABF và SDEC theo tỷ lệ 4:9, và thể tích của các tham số SAEC và SDBF có tỷ lệ 9:4. Tìm độ dài các đoạn SA, SB, SC.

5. Ba vận động viên xuất phát cùng một lúc từ điểm A và sau một thời gian về đích cùng một lúc, chạy dọc theo một đoạn đường gồm các đoạn thẳng AB, BC, CA tạo thành tam giác ABC. Trên mỗi đoạn đường được chỉ định, tốc độ của người chạy không đổi và bằng nhau đối với người chạy thứ nhất lần lượt là 10 km/h, 16 km/h và 14 km/h, và đối với người chạy thứ hai lần lượt là 12 km/h, 10 km/h và 16 km/h. Người chạy thứ ba tại điểm B và C không đơn độc và chỉ chạy với tốc độ thấp hơn một lần trên toàn tuyến. Tam giác ABC nhọn hay tù?

Khoa Vật lý

Tùy chọn 4

1. Giải phương trình
   2 sin x + cos 2x = 1.

2. Giải phương trình
   $$\left(\frac{1}{4}\right)^{3x} - \left(\frac{1}{8}\right)^{x-1} - 128 = 0.$$

3. Tổng các số hạng thứ năm đầu tiên của một cấp số nhân là 62. Biết rằng các số hạng thứ năm, thứ tám và thứ mười một của cấp số nhân này chính là các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ mười tương ứng của một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

4. Một hình nón tròn nguyên thủy có đỉnh S được nội tiếp trong tam giác SPQR sao cho đường tròn đáy của hình nón nội tiếp trong PQR đáy của paramid. Được biết, $PSR = \pi/2$, $SQR = \pi/4$, $PSQ = 7\pi/12$. Tìm tỉ số giữa diện tích bề mặt bên của hình nón và diện tích PQR đáy của paramid.

5. Cho đường tròn tâm O. Vẽ đường kính AB và dây CD đi qua một điểm bên trong đường tròn. Từ điểm D thả DF vuông góc lên dây AC (F nằm giữa A và C), và từ điểm F thả FH vuông góc lên AB. Điểm M là trung điểm của dây cung CD. Biết AM = 2MO, 8AH = 5AB. Tìm AMO.

Vật lý

Khoa Cơ học và Toán học, Toán tính toán và Điều khiển học

Vit 1

1. Một vật nhỏ trượt không vận tốc ban đầu từ một mặt phẳng nghiêng nhẵn có chiều dài l = 16 cm và góc nghiêng là α = 30°. Sau đó nó rơi xuống một mặt phẳng nằm ngang nhẵn cách đầu dưới của mặt phẳng nghiêng một khoảng h = 20 cm. Độ cao lớn nhất H tính từ mặt phẳng ngang mà vật dâng lên sau khi va chạm vào nó là bao nhiêu, nếu va chạm này là đàn hồi tuyệt đối?

2. Điện phân. Định luật Farad.

3. Thấu kính hội tụ và phân kỳ. Công thức thấu kính. Xây dựng ảnh trong thấu kính.

Vé 2

1. Một quả cầu nhỏ có khối lượng m = 1,3 c, có điện tích q = 2·10⁻⁵ κ, được treo trên một sợi dây bên trong một tụ điện bi tích điện, các bản của nó nằm ngang. Chu kỳ dao động nhỏ của quả cầu này là T₁ = 1 s. Nếu chúng ta đặt dấu điện tích của các bản tụ điện ngược lại, giữ nguyên các điện tích bên ngoài thì chu kỳ dao động của quả cầu sẽ trở thành T₂ = 1,5 s. Tìm điện áp E của điện trường trong tụ điện.

2. Luật Boyle - Mariotte, Gay-Lussk, Charles. Biểu đồ của các luật này. Thang nhiệt độ tuyệt đối. Định luật Boyle-Mariotte-Gay-Lussk khoanh tròn.

3. Quang thông, cường độ sáng, độ rọi.

Vé 3

1. Một chiếc đèn nhỏ được treo phía trên bàn, đặt ở phía trên của chao đèn hình nón, có góc giữa trục và đường sinh α = 30°. Một tấm kính phẳng song song có chiết suất n = 1,5 được đặt trên đường đi của tia sáng song song với mặt bàn. Trong trường hợp này, đường kính của điểm sáng trên bàn giảm đi d = 2 cm. Độ dày h của tấm là bao nhiêu?

2. Ví dụ về chuyển động dao động. Rung động hài hòa. Chu kỳ, tần số và biên độ của dao động. Chu kỳ dao động của ma trận toán học (không có đầu ra).

3. Thông lượng cảm ứng từ. Cảm ứng điện từ. Sức điện động cảm ứng. Định luật Lenz. Hiện tượng tự chuyển động.

Cơm. 1.

49

Vé 4

1. Một hình trụ nằm ngang có thể tích $V = 5,5$ l được chia thành hai phần bằng một piston mỏng chuyển động được. Cả hai đầu của hình trụ đều được đóng lại. Ở một bên của pít-tông có cái này ở nhiệt độ $t_1 = 77^\circ$ C, và ở phía bên kia có một heili ở nhiệt độ $t_2 = -23^\circ$ C. Khối lượng của các chất khí như nhau. Tìm thể tích $V_1$ và $V_2$ chiếm bởi nitơ và gel. Không có ma sát giữa thành xi lanh và piston.

2. Lực đàn hồi. định luật Hooke.

3. Định luật khúc xạ ánh sáng. Chỉ số khúc xạ tương đối và tuyệt đối. Đường đi của tia trong lăng kính. Phản xạ toàn phần. Góc giới hạn

Khoa Vật lý

Dưới đây là một số bài toán các phương án thi tuyển sinh vào Khoa Vật lý.

1. Hai vật nhỏ, có khối lượng tỷ lệ 1:2, đồng thời bắt đầu trượt không ma sát dọc theo bề mặt bên trong của một bán cầu có bán kính $R$ (Hình 1). Tác động của cơ thể là hoàn toàn không đàn hồi. Ở góc nào $\alpha$ thì vật bị lệch so với phương thẳng đứng sau khi va chạm?

2. Tại các mép của một bệ chuyển động có chiều dài $l = 10$ m, trọng lượng $P = 500$ kg, có hai người: trọng lượng của người thứ nhất là $P_1 = 60$ kg, và người thứ hai là $P_2 = 40$ kg. Tại thời điểm $t = 0$ họ bắt đầu chạy dọc theo sân ga về phía nhau và tốc độ của người thứ nhất gấp đôi tốc độ của người thứ hai. Nền tảng sẽ lăn bao xa $x$ khi người đầu tiên về đích? Bỏ qua ma sát của sàn lên ray.

3. Một mảnh băng trôi nổi trong một bình chứa nước, trong đó có một con lợn săn bị mắc kẹt. Khối lượng của nước đá là $M$, khối lượng của máy nghiền là $m$, nhiệt độ của nước trong bình là $0^\circ$ C. Nhiệt lượng cần tỏa ra ít nhất là bao nhiêu để máy nghiền bắt đầu chìm? Mật độ băng $\rho_1$, ẩn nhiệt nóng chảy của băng $\lambda$, mật độ chì $\rho_2$.

4. Chu trình bao gồm hai đồng vị và hai đồng vị (Hình 2). Nhiệt độ khí tại điểm 1 và 3 bằng $T_1$ và $T_3$ tương ứng. Xác định công do một gam phân tử khí thực hiện trong một chu trình nếu biết điểm 2 và điểm 4 nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt.

5. Khi một bóng đèn mắc vào mạng có điện áp $U = 200$v thì tiêu thụ điện năng $W_1 = 40$vm và cháy sáng, nhiệt độ của bóng đèn là $t_1 = 3000^\circ$C. Khi kết nối mạng với $U = 100$vm, bóng đèn tiêu thụ điện năng $W_2 = 25$vm và vẫn sáng vì nhiệt độ của bóng đèn là $t_2 = 1000^\circ$C. Tìm giá trị điện trở của bóng đèn $R_0$ ở nhiệt độ $t = 0^\circ$ C.

6. Xác định nồng độ electron trong chùm tia catôt của máy hiện sóng gần màn. Tiết diện của chùm tia là $S = 1$ mm², cường độ dòng điện là $I = 1,6$ mA. Các electron chảy ra khỏi cực âm không có tốc độ ban đầu và được gia tốc giữa cực âm và anome bằng một điện trường có hiệu điện thế $U = 28500$ V.

Điện tích $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ k, khối lượng $m = 9,1 \cdot 10^{-31}$ k$^2$.

7. Hai tia tới một gương bán cầu CAD có bán kính $R = 30$ cm, song song với đường thẳng $AB$, đi qua tâm $O$ và vuông góc với CD (Hình 3).

Một tia truyền ở khoảng cách $a = 24$ cm và tia kia cách đường thẳng $AB$ $a_1 = 1$ cm. Sau khi phản xạ từ gương, các tia này sẽ cắt nhau $AB$ tại hai điểm. Tìm khoảng cách $x$ giữa các điểm này.

8. Một lăng kính thủy tinh có góc khúc xạ $\alpha = 45^\circ$ và chiết suất thủy tinh $n$ và một đường thẳng mỏng có tiêu cự $f$ được đặt trên bàn. Trục quang chính của thấu kính vuông góc với mặt thẳng đứng của lăng kính, trên đó chiếu chùm ánh sáng song song nằm ngang có bước sóng xác định. Ở khoảng cách nào $x$ tính từ trục quang chính sẽ có một điểm mà tại đó các tia truyền qua thấu kính và thấu kính sẽ gặp nhau?

SỬA ĐỔI

Trong «Kvant» số 2 năm 1974 trên trang. 61 đầu lời giải bài toán 1 (NSU, tùy chọn 1) sẽ trông như thế này: $u = 22, |1 - y^2| = 3^{11}$, từ đó, tính đến ODZ, chúng ta nhận được $y = -\sqrt{3^{11} + 1}$.

Ban biên tập xin cảm ơn độc giả V. S. Marochin (Perm), người đã lưu ý chúng tôi về lỗi trong lời giải.