Bài toán độc giả của chúng tôi

Bài toán độc giả của chúng tôi

1. Chứng minh rằng nếu $a_1 a_2 \ldots a_n = p^n$ ($p$, $n$ là số nguyên) thì bất đẳng thức đúng

$$(a_1^2+1)\,(a_2^2+1) \ldots (a_n^2+1) \geqq (p^2+1)^n.$$

VỚI. T. Berkolaiko

2. Tìm công thức đơn giản nhất có thể cho số hạng tổng quát của dãy
   1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, …

Có thể viết nó chỉ bằng các hàm

$$y = \sqrt{x}\,,\quad y = [x]$$

và các phép tính số học?

MỘT. M. Astashov

3. Dễ dàng kiểm tra các đẳng thức sau:

$$\sqrt{49} = 4 + \sqrt{9}\,,$$
$$\sqrt{64} = 6 + \sqrt{4}\,,$$
$$\sqrt{81} = 8 + \sqrt{1}\,,$$
$$\sqrt{100} = 10 + \sqrt{0}\,.$$

Loạt bài này có thể được tiếp tục như sau:

$$\sqrt{121} = 12 - \sqrt{1}\,,$$
$$\sqrt{144} = 14 - \sqrt{4}\,.$$

Bạn có thể rút ra một công thức tổng quát giải thích những đẳng thức này không?

VỚI. R. Huseynov

4. Có tam giác nào có đường phân giác cắt giao điểm của các đường phân giác đó không?

5. Chứng minh rằng giao điểm của các đường phân giác của một tam giác chia mỗi đường phân giác đó (tính từ đáy) theo tỉ số bằng tỉ số giữa đáy tam giác và tổng hai cạnh còn lại của nó.

VÀ. A. Strashkevich

8