Задачи наших читателей

событий, приводит классификацию возможностей: «невозможное», «редко возможное», «равновероятное», «возможное в большинстве случаев», «достоверное». Аль-Фараби призывает исследовать явления, «возможные в большинстве случаев», считая, что «опыт полезен в отношении явлений, возможных в большинстве случаев».

В «Большой книге музыки» и в его обработках «Альмагеста» широко рассматривались функциональные зависимости, комбинаторные задачи, инфинитезимальные идеи и другие вопросы математического содержания. Большой интерес представляют функциональные зависимости, рассмотренные аль-Фараби в связи с созданием теории музыки. Аль-Фараби, например, находит количественные соотношения между высотой звука ($y$) в трубе духового инструмента и другими физическими величинами в виде следующей функциональной зависимости:

$$y = \frac{k\sigma F h}{Dd},$$

где $k$ — коэффициент пропорциональности, $D$ — диаметр трубы, $h$ — расстояние отверстия от мундштука, $d$ — диаметр отверстия, $\sigma$ — характеристика гладкости, $F$ — сила вдувания источника. Все эти соотношения выражаются словесно.

Труды аль-Фараби по математике оказали большое влияние на математическое творчество Абу-л-Вафы (940—998), Ибн Сины (980—1037), аль-Бируни (973—1050), Омара Хайяма (1048—1131), Наср ад-Дина ат-Туси (1201—1274), Роджера Бэкона (1214—1294), Леонардо да Винчи (1452—1519) и других.

Задачи наших читателей

1. Доказать, что если $a_1 a_2 \ldots a_n = p^n$ ($p$, $n$ — целые), то справедливо неравенство

$$(a_1^2+1)\,(a_2^2+1) \ldots (a_n^2+1) \geqq (p^2+1)^n.$$

С. Т. Берколайко

2. Найти возможно более простую формулу общего члена последовательности
   1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, …

Можно ли ее записать, используя лишь функции

$$y = \sqrt{x}\,,\quad y = [x]$$

и арифметические операции?

А. М. Асташов

3. Легко проверить следующие равенства:

$$\sqrt{49} = 4 + \sqrt{9}\,,$$
$$\sqrt{64} = 6 + \sqrt{4}\,,$$
$$\sqrt{81} = 8 + \sqrt{1}\,,$$
$$\sqrt{100} = 10 + \sqrt{0}\,.$$

Этот ряд можно продолжить следующим образом:

$$\sqrt{121} = 12 - \sqrt{1}\,,$$
$$\sqrt{144} = 14 - \sqrt{4}\,.$$

Можете ли вы вывести общую формулу, объясняющую эти равенства?

С. Р. Гусейнов

4. Существует ли треугольник, у которого биссектриса делится точкой пересечения биссектрис пополам?

5. Доказать, что точка пересечения биссектрис треугольника делит каждую из них (считая от основания) в отношении, равном отношению основания треугольника к сумме двух других его сторон.

И. А. Страшкевич

8